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integral de e^{-x/2}cos(x/2)

Solución

\int e^{- \frac{x}{2}} cos (\frac{x}{2}) d x

Solución

- e^{- \frac{x}{2}} cos (\frac{1}{2} x) - e^{- \frac{x}{2}} sin (\frac{1}{2} x) + 2 e^{- \frac{1}{2} x} sin (\frac{1}{2} x) + C

Pasos de solución

\int e^{- \frac{x}{2}} cos (\frac{x}{2}) d x

Aplicar las leyes de los exponentes:

\frac{1}{a ^{b}} = a^{- b}

\frac{x}{2} = (x) 2^{- 1}

= \int e^{- x \cdot 2^{- 1}} cos (\frac{x}{2}) d x

\frac{x}{2} = x \frac{1}{2}

= \int e^{- x \cdot 2^{- 1}} cos (x \frac{1}{2}) d x

2^{- 1} = \frac{1}{2}

= \int e^{- \frac{1}{2} x} cos (\frac{1}{2} x) d x

Aplicar integración por partes

: 2 e^{- \frac{1}{2} x} sin (\frac{1}{2} x) - \int - e^{- \frac{x}{2}} sin (\frac{1}{2} x) d x

= 2 e^{- \frac{1}{2} x} sin (\frac{1}{2} x) - \int - e^{- \frac{x}{2}} sin (\frac{1}{2} x) d x

Sacar la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 e^{- \frac{1}{2} x} sin (\frac{1}{2} x) - (- \int e^{- \frac{x}{2}} sin (\frac{1}{2} x) d x)

Aplicar integración por partes

: - 2 e^{- \frac{x}{2}} cos (\frac{1}{2} x) - \int e^{- \frac{x}{2}} cos (\frac{1}{2} x) d x

= 2 e^{- \frac{1}{2} x} sin (\frac{1}{2} x) - (- (- 2 e^{- \frac{x}{2}} cos (\frac{1}{2} x) - \int e^{- \frac{x}{2}} cos (\frac{1}{2} x) d x))

Aplicar integración por partes

: 2 e^{- \frac{x}{2}} sin (\frac{1}{2} x) - \int - e^{- \frac{x}{2}} sin (\frac{1}{2} x) d x

= 2 e^{- \frac{1}{2} x} sin (\frac{1}{2} x) - (- (- 2 e^{- \frac{x}{2}} cos (\frac{1}{2} x) - (2 e^{- \frac{x}{2}} sin (\frac{1}{2} x) - \int - e^{- \frac{x}{2}} sin (\frac{1}{2} x) d x)))

Por lo tanto

- \int - e^{- \frac{x}{2}} sin (\frac{1}{2} x) d x + 2 sin (\frac{1}{2} x) e^{- \frac{1}{2} x} = 2 e^{- \frac{1}{2} x} sin (\frac{1}{2} x) - (- (- 2 e^{- \frac{x}{2}} cos (\frac{1}{2} x) - (2 e^{- \frac{x}{2}} sin (\frac{1}{2} x) - \int - e^{- \frac{x}{2}} sin (\frac{1}{2} x) d x)))

Despejar

\int - e^{- \frac{x}{2}} sin (\frac{1}{2} x) d x

= - (e^{- \frac{x}{2}} cos (\frac{1}{2} x) + e^{- \frac{x}{2}} sin (\frac{1}{2} x)) + 2 sin (\frac{1}{2} x) e^{- \frac{1}{2} x}

Simplificar

- (e^{- \frac{x}{2}} cos (\frac{1}{2} x) + e^{- \frac{x}{2}} sin (\frac{1}{2} x)) + 2 sin (\frac{1}{2} x) e^{- \frac{1}{2} x} : - e^{- \frac{x}{2}} cos (\frac{1}{2} x) - e^{- \frac{x}{2}} sin (\frac{1}{2} x) + 2 e^{- \frac{1}{2} x} sin (\frac{1}{2} x)

= - e^{- \frac{x}{2}} cos (\frac{1}{2} x) - e^{- \frac{x}{2}} sin (\frac{1}{2} x) + 2 e^{- \frac{1}{2} x} sin (\frac{1}{2} x)

Agregar una constante a la solución

= - e^{- \frac{x}{2}} cos (\frac{1}{2} x) - e^{- \frac{x}{2}} sin (\frac{1}{2} x) + 2 e^{- \frac{1}{2} x} sin (\frac{1}{2} x) + C

Ejemplos populares

laplacetransformación 10sin(3t)transformaciónada de laplace

10 sin (3 t)

integral de (x+pi)sin(nx)

\int (x + π) sin (n x) d x

y'=0.0014y(1700-y)

y^{'} = 0.0014 y (1700 - y)

laplacetransformación 4cos^2(2t)transformaciónada de laplace

4 cos^{2} (2 t)

derivative (3x+7)/(4x-5)derivada de

\frac{3 x + 7}{4 x - 5}