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cos(x)+2sin(x)=2

Solución

cos (x) + 2 sin (x) = 2

Solución

x = 0.64350 \dots + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn

Grados

x = 36.86989 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

cos (x) + 2 sin (x) = 2

Restar

2 sin (x)

de ambos lados

cos (x) = 2 - 2 sin (x)

Elevar al cuadrado ambos lados

cos^{2} (x) = (2 - 2 sin (x))^{2}

Restar

(2 - 2 sin (x))^{2}

de ambos lados

cos^{2} (x) - 4 + 8 sin (x) - 4 sin^{2} (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 4 + cos^{2} (x) - 4 sin^{2} (x) + 8 sin (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 4 + 1 - sin^{2} (x) - 4 sin^{2} (x) + 8 sin (x)

Simplificar

- 4 + 1 - sin^{2} (x) - 4 sin^{2} (x) + 8 sin (x) : 8 sin (x) - 5 sin^{2} (x) - 3

- 4 + 1 - sin^{2} (x) - 4 sin^{2} (x) + 8 sin (x)

Sumar elementos similares:

- sin^{2} (x) - 4 sin^{2} (x) = - 5 sin^{2} (x)

= - 4 + 1 - 5 sin^{2} (x) + 8 sin (x)

Sumar/restar lo siguiente:

- 4 + 1 = - 3

= 8 sin (x) - 5 sin^{2} (x) - 3

= 8 sin (x) - 5 sin^{2} (x) - 3

- 3 - 5 sin^{2} (x) + 8 sin (x) = 0

Usando el método de sustitución

- 3 - 5 sin^{2} (x) + 8 sin (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

- 3 - 5 u^{2} + 8 u = 0

- 3 - 5 u^{2} + 8 u = 0 : u = \frac{3}{5}, u = 1

- 3 - 5 u^{2} + 8 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 5 u^{2} + 8 u - 3 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 5 u^{2} + 8 u - 3 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 5, b = 8, c = - 3

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 ( - 5 ) ( - 3 )}{2 ( - 5 )}

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 ( - 5 ) ( - 3 )}{2 ( - 5 )}

8^{2} - 4 (- 5) (- 3) = 2

8^{2} - 4 (- 5) (- 3)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 8^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 3

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 5 \cdot 3 = 60

= 8^{2} - 60

8^{2} = 64

= 64 - 60

Restar:

64 - 60 = 4

= 4

Descomponer el número en factores primos:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 2}{2 ( - 5 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 8 + 2}{2 ( - 5 )}, u_{2} = \frac{- 8 - 2}{2 ( - 5 )}

u = \frac{- 8 + 2}{2 ( - 5 )} : \frac{3}{5}

\frac{- 8 + 2}{2 ( - 5 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 8 + 2}{- 2 \cdot 5}

Sumar/restar lo siguiente:

- 8 + 2 = - 6

= \frac{- 6}{- 2 \cdot 5}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{- 6}{- 10}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{6}{10}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{3}{5}

u = \frac{- 8 - 2}{2 ( - 5 )} : 1

\frac{- 8 - 2}{2 ( - 5 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 8 - 2}{- 2 \cdot 5}

Restar:

- 8 - 2 = - 10

= \frac{- 10}{- 2 \cdot 5}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{- 10}{- 10}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{10}{10}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= 1

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{3}{5}, u = 1

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) = \frac{3}{5}, sin (x) = 1

sin (x) = \frac{3}{5}, sin (x) = 1

sin (x) = \frac{3}{5} : x = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

sin (x) = \frac{3}{5}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sin (x) = \frac{3}{5}

Soluciones generales para

sin (x) = \frac{3}{5}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

sin (x) = 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1

Soluciones generales para

sin (x) = 1

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

cos (x) + 2 sin (x) = 2

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn :

Verdadero

arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1

Multiplicar

cos (x) + 2 sin (x) = 2

por

x = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1

cos (arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1) + 2 sin (arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1) = 2

Simplificar

2 = 2

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn :

Falso

π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1

Multiplicar

cos (x) + 2 sin (x) = 2

por

x = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1

cos (π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1) + 2 sin (π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1) = 2

Simplificar

0.4 = 2

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

\frac{π}{2} + 2 πn :

Verdadero

\frac{π}{2} + 2 πn

Sustituir

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

Multiplicar

cos (x) + 2 sin (x) = 2

por

x = \frac{π}{2} + 2 π 1

cos (\frac{π}{2} + 2 π 1) + 2 sin (\frac{π}{2} + 2 π 1) = 2

Simplificar

2 = 2

\Rightarrow Verdadero

x = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 0.64350 \dots + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn

Ejemplos populares

csc(θ)=-sqrt(2)

csc (θ) = - 2

3cos(2t)+4=1

3 cos (2 t) + 4 = 1

sin^2(x)=4-2cos^2(x)

sin^{2} (x) = 4 - 2 cos^{2} (x)

sin(x)cos(x)= 1/2

sin (x) cos (x) = \frac{1}{2}

sin(x)cos(x)= 1/4

sin (x) cos (x) = \frac{1}{4}