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10sec^2(x)+5tan^2(x)-15=0

Solución

10 sec^{2} (x) + 5 tan^{2} (x) - 15 = 0

Solución

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn

Grados

x = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 33 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 21 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

10 sec^{2} (x) + 5 tan^{2} (x) - 15 = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 15 + 10 sec^{2} (x) + 5 tan^{2} (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

tan^{2} (x) + 1 = sec^{2} (x)

tan^{2} (x) = sec^{2} (x) - 1

= - 15 + 10 sec^{2} (x) + 5 (sec^{2} (x) - 1)

Simplificar

- 15 + 10 sec^{2} (x) + 5 (sec^{2} (x) - 1) : 15 sec^{2} (x) - 20

- 15 + 10 sec^{2} (x) + 5 (sec^{2} (x) - 1)

Expandir

5 (sec^{2} (x) - 1) : 5 sec^{2} (x) - 5

5 (sec^{2} (x) - 1)

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 5, b = sec^{2} (x), c = 1

= 5 sec^{2} (x) - 5 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

5 \cdot 1 = 5

= 5 sec^{2} (x) - 5

= - 15 + 10 sec^{2} (x) + 5 sec^{2} (x) - 5

Simplificar

- 15 + 10 sec^{2} (x) + 5 sec^{2} (x) - 5 : 15 sec^{2} (x) - 20

- 15 + 10 sec^{2} (x) + 5 sec^{2} (x) - 5

Sumar elementos similares:

10 sec^{2} (x) + 5 sec^{2} (x) = 15 sec^{2} (x)

= - 15 + 15 sec^{2} (x) - 5

Agrupar términos semejantes

= 15 sec^{2} (x) - 15 - 5

Restar:

- 15 - 5 = - 20

= 15 sec^{2} (x) - 20

= 15 sec^{2} (x) - 20

= 15 sec^{2} (x) - 20

- 20 + 15 sec^{2} (x) = 0

Usando el método de sustitución

- 20 + 15 sec^{2} (x) = 0

Sea:

sec (x) = u

- 20 + 15 u^{2} = 0

- 20 + 15 u^{2} = 0 : u = \frac{2 3}{3}, u = - \frac{2 3}{3}

- 20 + 15 u^{2} = 0

Mover

20

al lado derecho

- 20 + 15 u^{2} = 0

Sumar

20

a ambos lados

- 20 + 15 u^{2} + 20 = 0 + 20

Simplificar

15 u^{2} = 20

15 u^{2} = 20

Dividir ambos lados entre

15

15 u^{2} = 20

Dividir ambos lados entre

15

\frac{15 u ^{2}}{15} = \frac{20}{15}

Simplificar

u^{2} = \frac{4}{3}

u^{2} = \frac{4}{3}

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = \frac{4}{3}, u = - \frac{4}{3}

\frac{4}{3} = \frac{2 3}{3}

\frac{4}{3}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{4}{3}

4 = 2

4

Descomponer el número en factores primos:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2

= \frac{2}{3}

Racionalizar

\frac{2}{3} : \frac{2 3}{3}

\frac{2}{3}

Multiplicar por el conjugado

\frac{3}{3}

= \frac{2 3}{3 3}

33 = 3

33

Aplicar las leyes de los exponentes:

a a = a

33 = 3

= 3

= \frac{2 3}{3}

= \frac{2 3}{3}

- \frac{4}{3} = - \frac{2 3}{3}

- \frac{4}{3}

Simplificar

\frac{4}{3} : \frac{2}{3}

\frac{4}{3}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{4}{3}

4 = 2

4

Descomponer el número en factores primos:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2

= \frac{2}{3}

= - \frac{2}{3}

Racionalizar

- \frac{2}{3} : - \frac{2 3}{3}

- \frac{2}{3}

Multiplicar por el conjugado

\frac{3}{3}

= - \frac{2 3}{3 3}

33 = 3

33

Aplicar las leyes de los exponentes:

a a = a

33 = 3

= 3

= - \frac{2 3}{3}

= - \frac{2 3}{3}

u = \frac{2 3}{3}, u = - \frac{2 3}{3}

Sustituir en la ecuación

u = sec (x)

sec (x) = \frac{2 3}{3}, sec (x) = - \frac{2 3}{3}

sec (x) = \frac{2 3}{3}, sec (x) = - \frac{2 3}{3}

sec (x) = \frac{2 3}{3} : x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sec (x) = \frac{2 3}{3}

Soluciones generales para

sec (x) = \frac{2 3}{3}

sec (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sec (x) = - \frac{2 3}{3} : x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn

sec (x) = - \frac{2 3}{3}

Soluciones generales para

sec (x) = - \frac{2 3}{3}

sec (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn

x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn

Ejemplos populares

sin(2x)+1=0

sin (2 x) + 1 = 0

cos(2x)cos(x)+sin(2x)sin(x)=1

cos (2 x) cos (x) + sin (2 x) sin (x) = 1

cos(2θ)+10sin^2(θ)=7

cos (2 θ) + 10 sin^{2} (θ) = 7

4cos(2t)+1=3

4 cos (2 t) + 1 = 3

cos(2x)-cos(x)=-1

cos (2 x) - cos (x) = - 1