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tan(2x)+2cos(x)=0

Solución

tan (2 x) + 2 cos (x) = 0

Solución

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Grados

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 21 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 33 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

tan (2 x) + 2 cos (x) = 0

Expresar con seno, coseno

tan (2 x) + 2 cos (x)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} + 2 cos (x)

Simplificar

\frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} + 2 cos (x) : \frac{sin ( 2 x ) + 2 cos ( x ) cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

\frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} + 2 cos (x)

Convertir a fracción:

2 cos (x) = \frac{2 cos ( x ) cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

= \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} + \frac{2 cos ( x ) cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( 2 x ) + 2 cos ( x ) cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

= \frac{sin ( 2 x ) + 2 cos ( x ) cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

\frac{sin ( 2 x ) + 2 cos ( 2 x ) cos ( x )}{cos ( 2 x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

sin (2 x) + 2 cos (2 x) cos (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

sin (2 x) + 2 cos (2 x) cos (x)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= 2 sin (x) cos (x) + 2 cos (2 x) cos (x)

2 cos (2 x) cos (x) + 2 cos (x) sin (x) = 0

Factorizar

2 cos (2 x) cos (x) + 2 cos (x) sin (x) : 2 cos (x) (cos (2 x) + sin (x))

2 cos (2 x) cos (x) + 2 cos (x) sin (x)

Reescribir como

= 2 cos (x) cos (2 x) + 2 cos (x) sin (x)

Factorizar el termino común

2 cos (x)

= 2 cos (x) (cos (2 x) + sin (x))

2 cos (x) (cos (2 x) + sin (x)) = 0

Resolver cada parte por separado

cos (x) = 0 or cos (2 x) + sin (x) = 0

cos (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = 0

Soluciones generales para

cos (x) = 0

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (2 x) + sin (x) = 0 : x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn

cos (2 x) + sin (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

cos (2 x) + sin (x)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= 1 - 2 sin^{2} (x) + sin (x)

1 + sin (x) - 2 sin^{2} (x) = 0

Usando el método de sustitución

1 + sin (x) - 2 sin^{2} (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

1 + u - 2 u^{2} = 0

1 + u - 2 u^{2} = 0 : u = - \frac{1}{2}, u = 1

1 + u - 2 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} + u + 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 2 u^{2} + u + 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 2, b = 1, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 1}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 1}{2 ( - 2 )}

1^{2} - 4 (- 2) \cdot 1 = 3

1^{2} - 4 (- 2) \cdot 1

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 (- 2) \cdot 1

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 2 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 1 + 8

Sumar:

1 + 8 = 9

= 9

Descomponer el número en factores primos:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

3^{2} = 3

= 3

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 3}{2 ( - 2 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 1 + 3}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- 1 - 3}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- 1 + 3}{2 ( - 2 )} : - \frac{1}{2}

\frac{- 1 + 3}{2 ( - 2 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 1 + 3}{- 2 \cdot 2}

Sumar/restar lo siguiente:

- 1 + 3 = 2

= \frac{2}{- 2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2}{- 4}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{4}

Eliminar los terminos comunes:

2

= - \frac{1}{2}

u = \frac{- 1 - 3}{2 ( - 2 )} : 1

\frac{- 1 - 3}{2 ( - 2 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 1 - 3}{- 2 \cdot 2}

Restar:

- 1 - 3 = - 4

= \frac{- 4}{- 2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 4}{- 4}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{4}{4}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= 1

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - \frac{1}{2}, u = 1

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) = - \frac{1}{2}, sin (x) = 1

sin (x) = - \frac{1}{2}, sin (x) = 1

sin (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{2}

Soluciones generales para

sin (x) = - \frac{1}{2}

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (x) = 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1

Soluciones generales para

sin (x) = 1

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Ejemplos populares

cos(3x)=2

cos (3 x) = 2

-sin(2x)+2cos(x)=0

- sin (2 x) + 2 cos (x) = 0

8cos^2(x)-4=0

8 cos^{2} (x) - 4 = 0

tan(x)=-5

tan (x) = - 5

6cos^2(x)-3=0

6 cos^{2} (x) - 3 = 0