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sec(2x)=tan(2x)+1

Solución

sec (2 x) = tan (2 x) + 1

Solución

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Grados

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

sec (2 x) = tan (2 x) + 1

Restar

tan (2 x) + 1

de ambos lados

sec (2 x) - tan (2 x) - 1 = 0

Expresar con seno, coseno

\frac{1}{cos ( 2 x )} - \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 1 = 0

Simplificar

\frac{1}{cos ( 2 x )} - \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 1 : \frac{1 - sin ( 2 x ) - cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

\frac{1}{cos ( 2 x )} - \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 1

Combinar las fracciones usando el mínimo común denominador:

\frac{1 - sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

= \frac{- sin ( 2 x ) + 1}{cos ( 2 x )} - 1

Convertir a fracción:

1 = \frac{1 cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

= \frac{1 - sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - \frac{1 \cdot cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - sin ( 2 x ) - 1 \cdot cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Multiplicar:

1 \cdot cos (2 x) = cos (2 x)

= \frac{1 - sin ( 2 x ) - cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

\frac{1 - sin ( 2 x ) - cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

1 - sin (2 x) - cos (2 x) = 0

Sumar

cos (2 x)

a ambos lados

1 - sin (2 x) = cos (2 x)

Elevar al cuadrado ambos lados

(1 - sin (2 x))^{2} = cos^{2} (2 x)

Restar

cos^{2} (2 x)

de ambos lados

(1 - sin (2 x))^{2} - cos^{2} (2 x) = 0

Factorizar

(1 - sin (2 x))^{2} - cos^{2} (2 x) : (1 - sin (2 x) + cos (2 x)) (1 - sin (2 x) - cos (2 x))

(1 - sin (2 x))^{2} - cos^{2} (2 x)

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(1 - sin (2 x))^{2} - cos^{2} (2 x) = ((1 - sin (2 x)) + cos (2 x)) ((1 - sin (2 x)) - cos (2 x))

= ((1 - sin (2 x)) + cos (2 x)) ((1 - sin (2 x)) - cos (2 x))

Simplificar

= (cos (2 x) - sin (2 x) + 1) (- sin (2 x) - cos (2 x) + 1)

(1 - sin (2 x) + cos (2 x)) (1 - sin (2 x) - cos (2 x)) = 0

Resolver cada parte por separado

1 - sin (2 x) + cos (2 x) = 0 or 1 - sin (2 x) - cos (2 x) = 0

1 - sin (2 x) + cos (2 x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = \frac{π}{4} + πn

1 - sin (2 x) + cos (2 x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

1 + cos (2 x) - sin (2 x)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= 1 + cos (2 x) - 2 sin (x) cos (x)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 1 + 2 cos^{2} (x) - 1 - 2 cos (x) sin (x)

Simplificar

1 + 2 cos^{2} (x) - 1 - 2 cos (x) sin (x) : 2 cos^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x)

1 + 2 cos^{2} (x) - 1 - 2 cos (x) sin (x)

Agrupar términos semejantes

= 2 cos^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 cos^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x)

= 2 cos^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x)

2 cos^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x) = 0

Factorizar

2 cos^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x) : 2 cos (x) (cos (x) - sin (x))

2 cos^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

cos^{2} (x) = cos (x) cos (x)

= 2 cos (x) cos (x) - 2 sin (x) cos (x)

Factorizar el termino común

2 cos (x)

= 2 cos (x) (cos (x) - sin (x))

2 cos (x) (cos (x) - sin (x)) = 0

Resolver cada parte por separado

cos (x) = 0 or cos (x) - sin (x) = 0

cos (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = 0

Soluciones generales para

cos (x) = 0

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) - sin (x) = 0 : x = \frac{π}{4} + πn

cos (x) - sin (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

cos (x) - sin (x) = 0

Dividir ambos lados entre

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Simplificar

1 - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} = 0

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

1 - tan (x) = 0

1 - tan (x) = 0

Mover

1

al lado derecho

1 - tan (x) = 0

Restar

1

de ambos lados

1 - tan (x) - 1 = 0 - 1

Simplificar

- tan (x) = - 1

- tan (x) = - 1

Dividir ambos lados entre

- 1

- tan (x) = - 1

Dividir ambos lados entre

- 1

\frac{- tan ( x )}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

Simplificar

tan (x) = 1

tan (x) = 1

Soluciones generales para

tan (x) = 1

tan (x)

tabla de valores periódicos con

πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

Combinar toda las soluciones

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = \frac{π}{4} + πn

1 - sin (2 x) - cos (2 x) = 0 : x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = \frac{π}{4} + πn

1 - sin (2 x) - cos (2 x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

1 - cos (2 x) - sin (2 x)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= 1 - cos (2 x) - 2 sin (x) cos (x)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= 1 - (1 - 2 sin^{2} (x)) - 2 cos (x) sin (x)

Simplificar

1 - (1 - 2 sin^{2} (x)) - 2 cos (x) sin (x) : 2 sin^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x)

1 - (1 - 2 sin^{2} (x)) - 2 cos (x) sin (x)

- (1 - 2 sin^{2} (x)) : - 1 + 2 sin^{2} (x)

- (1 - 2 sin^{2} (x))

Poner los parentesis

= - (1) - (- 2 sin^{2} (x))

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin^{2} (x)

= 1 - 1 + 2 sin^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x)

1 - 1 = 0

= 2 sin^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x)

= 2 sin^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x)

2 sin^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x) = 0

Factorizar

2 sin^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x) : 2 sin (x) (sin (x) - cos (x))

2 sin^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

sin^{2} (x) = sin (x) sin (x)

= 2 sin (x) sin (x) - 2 sin (x) cos (x)

Factorizar el termino común

2 sin (x)

= 2 sin (x) (sin (x) - cos (x))

2 sin (x) (sin (x) - cos (x)) = 0

Resolver cada parte por separado

sin (x) = 0 or sin (x) - cos (x) = 0

sin (x) = 0 : x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = 0

Soluciones generales para

sin (x) = 0

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Resolver

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) - cos (x) = 0 : x = \frac{π}{4} + πn

sin (x) - cos (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

sin (x) - cos (x) = 0

Dividir ambos lados entre

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{sin ( x ) - cos ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Simplificar

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 1 = 0

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

tan (x) - 1 = 0

tan (x) - 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

tan (x) - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

tan (x) - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

tan (x) = 1

tan (x) = 1

Soluciones generales para

tan (x) = 1

tan (x)

tabla de valores periódicos con

πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

Combinar toda las soluciones

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = \frac{π}{4} + πn

Combinar toda las soluciones

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = \frac{π}{4} + πn, x = 2 πn, x = π + 2 πn

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

sec (2 x) = tan (2 x) + 1

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

\frac{π}{2} + 2 πn :

Falso

\frac{π}{2} + 2 πn

Sustituir

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

Multiplicar

sec (2 x) = tan (2 x) + 1

por

x = \frac{π}{2} + 2 π 1

sec (2 (\frac{π}{2} + 2 π 1)) = tan (2 (\frac{π}{2} + 2 π 1)) + 1

Simplificar

- 1 = 1

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

\frac{3 π}{2} + 2 πn :

Falso

\frac{3 π}{2} + 2 πn

Sustituir

n = 1

\frac{3 π}{2} + 2 π 1

Multiplicar

sec (2 x) = tan (2 x) + 1

por

x = \frac{3 π}{2} + 2 π 1

sec (2 (\frac{3 π}{2} + 2 π 1)) = tan (2 (\frac{3 π}{2} + 2 π 1)) + 1

Simplificar

- 1 = 1

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

\frac{π}{4} + πn :

Verdadero

\frac{π}{4} + πn

Sustituir

n = 1

\frac{π}{4} + π 1

Multiplicar

sec (2 x) = tan (2 x) + 1

por

x = \frac{π}{4} + π 1

sec (2 (\frac{π}{4} + π 1)) = tan (2 (\frac{π}{4} + π 1)) + 1

Simplificar

\infty = \infty

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

2 πn :

Verdadero

2 πn

Sustituir

n = 1

2 π 1

Multiplicar

sec (2 x) = tan (2 x) + 1

por

x = 2 π 1

sec (2 \cdot 2 π 1) = tan (2 \cdot 2 π 1) + 1

Simplificar

1 = 1

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

π + 2 πn :

Verdadero

π + 2 πn

Sustituir

n = 1

π + 2 π 1

Multiplicar

sec (2 x) = tan (2 x) + 1

por

x = π + 2 π 1

sec (2 (π + 2 π 1)) = tan (2 (π + 2 π 1)) + 1

Simplificar

1 = 1

\Rightarrow Verdadero

x = \frac{π}{4} + πn, x = 2 πn, x = π + 2 πn

Siendo que la ecuación esta indefinida para:

\frac{π}{4} + πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Ejemplos populares

sec^2(x)+3sec(x)+2=0

sec^{2} (x) + 3 sec (x) + 2 = 0

3sin(x)cos(x)-2cos(x)=0

3 sin (x) cos (x) - 2 cos (x) = 0

sin(x)=cos(x)+1

sin (x) = cos (x) + 1

5sin(x)+2=0

5 sin (x) + 2 = 0

4-sec^2(x)=0

4 - sec^{2} (x) = 0