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cos(2θ)+8sin^2(θ)=4

Solución

cos (2 θ) + 8 sin^{2} (θ) = 4

Solución

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Grados

θ = 4 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 13 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 22 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 31 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

cos (2 θ) + 8 sin^{2} (θ) = 4

Restar

4

de ambos lados

cos (2 θ) + 8 sin^{2} (θ) - 4 = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 4 + cos (2 θ) + 8 sin^{2} (θ)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= - 4 + 1 - 2 sin^{2} (θ) + 8 sin^{2} (θ)

Simplificar

- 4 + 1 - 2 sin^{2} (θ) + 8 sin^{2} (θ) : 6 sin^{2} (θ) - 3

- 4 + 1 - 2 sin^{2} (θ) + 8 sin^{2} (θ)

Sumar elementos similares:

- 2 sin^{2} (θ) + 8 sin^{2} (θ) = 6 sin^{2} (θ)

= - 4 + 1 + 6 sin^{2} (θ)

Sumar/restar lo siguiente:

- 4 + 1 = - 3

= 6 sin^{2} (θ) - 3

= 6 sin^{2} (θ) - 3

- 3 + 6 sin^{2} (θ) = 0

Usando el método de sustitución

- 3 + 6 sin^{2} (θ) = 0

Sea:

sin (θ) = u

- 3 + 6 u^{2} = 0

- 3 + 6 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

- 3 + 6 u^{2} = 0

Mover

3

al lado derecho

- 3 + 6 u^{2} = 0

Sumar

3

a ambos lados

- 3 + 6 u^{2} + 3 = 0 + 3

Simplificar

6 u^{2} = 3

6 u^{2} = 3

Dividir ambos lados entre

6

6 u^{2} = 3

Dividir ambos lados entre

6

\frac{6 u ^{2}}{6} = \frac{3}{6}

Simplificar

u^{2} = \frac{1}{2}

u^{2} = \frac{1}{2}

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

Sustituir en la ecuación

u = sin (θ)

sin (θ) = \frac{1}{2}, sin (θ) = - \frac{1}{2}

sin (θ) = \frac{1}{2}, sin (θ) = - \frac{1}{2}

sin (θ) = \frac{1}{2} : θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

sin (θ) = \frac{1}{2}

Soluciones generales para

sin (θ) = \frac{1}{2}

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

sin (θ) = - \frac{1}{2} : θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

sin (θ) = - \frac{1}{2}

Soluciones generales para

sin (θ) = - \frac{1}{2}

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Ejemplos populares

2cos^2(θ)-5cos(θ)+2=0

2 cos^{2} (θ) - 5 cos (θ) + 2 = 0

tan^2(x)-3tan(x)-4=0

tan^{2} (x) - 3 tan (x) - 4 = 0

2cos(x)+4=5

2 cos (x) + 4 = 5

cos(2x-pi/2)=-1

cos (2 x - \frac{π}{2}) = - 1

cot(x)=-1/(sqrt(3))

cot (x) = - \frac{1}{3}