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-5cos^2(θ)-4cos(θ)+4=0

Solución

- 5 cos^{2} (θ) - 4 cos (θ) + 4 = 0

Solución

θ = 0.95231 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 0.95231 \dots + 2 πn

Grados

θ = 54.56381 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 305.43618 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

- 5 cos^{2} (θ) - 4 cos (θ) + 4 = 0

Usando el método de sustitución

- 5 cos^{2} (θ) - 4 cos (θ) + 4 = 0

Sea:

cos (θ) = u

- 5 u^{2} - 4 u + 4 = 0

- 5 u^{2} - 4 u + 4 = 0 : u = - \frac{2 ( 1 + 6 )}{5}, u = \frac{2 ( 6 - 1 )}{5}

- 5 u^{2} - 4 u + 4 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 5 u^{2} - 4 u + 4 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 5, b = - 4, c = 4

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 ( - 5 ) \cdot 4}{2 ( - 5 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 ( - 5 ) \cdot 4}{2 ( - 5 )}

(- 4)^{2} - 4 (- 5) \cdot 4 = 46

(- 4)^{2} - 4 (- 5) \cdot 4

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 4)^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 4

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 4

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 5 \cdot 4 = 80

= 4^{2} + 80

4^{2} = 16

= 16 + 80

Sumar:

16 + 80 = 96

= 96

Descomposición en factores primos de

96 : 2^{5} \cdot 3

96

96

divida por

296 = 48 \cdot 2

= 2 \cdot 48

48

divida por

248 = 24 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 24

24

divida por

224 = 12 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 12

12

divida por

212 = 6 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 6

6

divida por

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{5} \cdot 3

= 2^{5} \cdot 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{4} \cdot 2 \cdot 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 2^{4} 2 \cdot 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 2 \cdot 3

Simplificar

= 46

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 4 6}{2 ( - 5 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 4 ) + 4 6}{2 ( - 5 )}, u_{2} = \frac{- ( - 4 ) - 4 6}{2 ( - 5 )}

u = \frac{- ( - 4 ) + 4 6}{2 ( - 5 )} : - \frac{2 ( 1 + 6 )}{5}

\frac{- ( - 4 ) + 4 6}{2 ( - 5 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{4 + 4 6}{- 2 \cdot 5}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{4 + 4 6}{- 10}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4 + 4 6}{10}

Cancelar

\frac{4 + 4 6}{10} : \frac{2 ( 1 + 6 )}{5}

\frac{4 + 4 6}{10}

Factorizar

4 + 46 : 4 (1 + 6)

4 + 46

Reescribir como

= 4 \cdot 1 + 46

Factorizar el termino común

4

= 4 (1 + 6)

= \frac{4 ( 1 + 6 )}{10}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{2 ( 1 + 6 )}{5}

= - \frac{2 ( 1 + 6 )}{5}

u = \frac{- ( - 4 ) - 4 6}{2 ( - 5 )} : \frac{2 ( 6 - 1 )}{5}

\frac{- ( - 4 ) - 4 6}{2 ( - 5 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{4 - 4 6}{- 2 \cdot 5}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{4 - 4 6}{- 10}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

4 - 46 = - (46 - 4)

= \frac{4 6 - 4}{10}

Factorizar

46 - 4 : 4 (6 - 1)

46 - 4

Reescribir como

= 46 - 4 \cdot 1

Factorizar el termino común

4

= 4 (6 - 1)

= \frac{4 ( 6 - 1 )}{10}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{2 ( 6 - 1 )}{5}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - \frac{2 ( 1 + 6 )}{5}, u = \frac{2 ( 6 - 1 )}{5}

Sustituir en la ecuación

u = cos (θ)

cos (θ) = - \frac{2 ( 1 + 6 )}{5}, cos (θ) = \frac{2 ( 6 - 1 )}{5}

cos (θ) = - \frac{2 ( 1 + 6 )}{5}, cos (θ) = \frac{2 ( 6 - 1 )}{5}

cos (θ) = - \frac{2 ( 1 + 6 )}{5} :

Sin solución

cos (θ) = - \frac{2 ( 1 + 6 )}{5}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

cos (θ) = \frac{2 ( 6 - 1 )}{5} : θ = arccos (\frac{2 ( 6 - 1 )}{5}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2 ( 6 - 1 )}{5}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{2 ( 6 - 1 )}{5}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (θ) = \frac{2 ( 6 - 1 )}{5}

Soluciones generales para

cos (θ) = \frac{2 ( 6 - 1 )}{5}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{2 ( 6 - 1 )}{5}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2 ( 6 - 1 )}{5}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{2 ( 6 - 1 )}{5}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2 ( 6 - 1 )}{5}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

θ = arccos (\frac{2 ( 6 - 1 )}{5}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2 ( 6 - 1 )}{5}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

θ = 0.95231 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 0.95231 \dots + 2 πn

Ejemplos populares

cos(x)=0.159

cos (x) = 0.159

sin(2x)=1-cos(2x)

sin (2 x) = 1 - cos (2 x)

-1=cos(θ)

- 1 = cos (θ)

sin(θ)sec(θ)=tan^2(θ)

sin (θ) sec (θ) = tan^{2} (θ)

sin(3x)-2sin(x)=0

sin (3 x) - 2 sin (x) = 0