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(cos(θ)+sin(θ))^2= 3/2

Solución

(cos (θ) + sin (θ))^{2} = \frac{3}{2}

Solución

θ = 2 πn + \frac{13 π}{12}, θ = 2 πn + \frac{17 π}{12}, θ = 2 πn + \frac{π}{12}, θ = 2 πn + \frac{5 π}{12}

Grados

θ = 19 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 25 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 1 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 7 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

(cos (θ) + sin (θ))^{2} = \frac{3}{2}

Restar

\frac{3}{2}

de ambos lados

(cos (θ) + sin (θ))^{2} - \frac{3}{2} = 0

Simplificar

(cos (θ) + sin (θ))^{2} - \frac{3}{2} : \frac{2 ( cos ( θ ) + sin ( θ ) ) ^{2} - 3}{2}

(cos (θ) + sin (θ))^{2} - \frac{3}{2}

Convertir a fracción:

(cos (θ) + sin (θ))^{2} = \frac{( cos ( θ ) + sin ( θ ) ) ^{2} 2}{2}

= \frac{( cos ( θ ) + sin ( θ ) ) ^{2} \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{( cos ( θ ) + sin ( θ ) ) ^{2} \cdot 2 - 3}{2}

\frac{2 ( cos ( θ ) + sin ( θ ) ) ^{2} - 3}{2} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

2 (cos (θ) + sin (θ))^{2} - 3 = 0

Factorizar

2 (cos (θ) + sin (θ))^{2} - 3 : (2 (cos (θ) + sin (θ)) + 3) (2 (cos (θ) + sin (θ)) - 3)

2 (cos (θ) + sin (θ))^{2} - 3

Reescribir

2 (cos (θ) + sin (θ))^{2} - 3

como

(2 (cos (θ) + sin (θ)))^{2} - (3)^{2}

2 (cos (θ) + sin (θ))^{2} - 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = (a)^{2}

2 = (2)^{2}

= (2)^{2} (cos (θ) + sin (θ))^{2} - 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = (a)^{2}

3 = (3)^{2}

= (2)^{2} (cos (θ) + sin (θ))^{2} - (3)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(2)^{2} (cos (θ) + sin (θ))^{2} = (2 (cos (θ) + sin (θ)))^{2}

= (2 (cos (θ) + sin (θ)))^{2} - (3)^{2}

= (2 (cos (θ) + sin (θ)))^{2} - (3)^{2}

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 (cos (θ) + sin (θ)))^{2} - (3)^{2} = (2 (cos (θ) + sin (θ)) + 3) (2 (cos (θ) + sin (θ)) - 3)

= (2 (cos (θ) + sin (θ)) + 3) (2 (cos (θ) + sin (θ)) - 3)

(2 (cos (θ) + sin (θ)) + 3) (2 (cos (θ) + sin (θ)) - 3) = 0

Resolver cada parte por separado

2 (cos (θ) + sin (θ)) + 3 = 0 or 2 (cos (θ) + sin (θ)) - 3 = 0

2 (cos (θ) + sin (θ)) + 3 = 0 : θ = 2 πn + \frac{13 π}{12}, θ = 2 πn + \frac{17 π}{12}

2 (cos (θ) + sin (θ)) + 3 = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

2 (cos (θ) + sin (θ)) + 3

sin (θ) + cos (θ) = 2 sin (θ + \frac{π}{4})

sin (θ) + cos (θ)

Reescribir como

= 2 (\frac{1}{2} sin (θ) + \frac{1}{2} cos (θ))

Utilizar la siguiente identidad trivial:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

Utilizar la siguiente identidad trivial:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

= 2 (cos (\frac{π}{4}) sin (θ) + sin (\frac{π}{4}) cos (θ))

Utilizar la identidad de suma de ángulos:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= 2 sin (θ + \frac{π}{4})

= 3 + 22 sin (θ + \frac{π}{4})

3 + 22 sin (θ + \frac{π}{4}) = 0

Aplicar las leyes de los exponentes:

a a = a

22 = 2

3 + 2 sin (θ + \frac{π}{4}) = 0

Mover

3

al lado derecho

3 + 2 sin (θ + \frac{π}{4}) = 0

Restar

3

de ambos lados

3 + 2 sin (θ + \frac{π}{4}) - 3 = 0 - 3

Simplificar

2 sin (θ + \frac{π}{4}) = - 3

2 sin (θ + \frac{π}{4}) = - 3

Dividir ambos lados entre

2

2 sin (θ + \frac{π}{4}) = - 3

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 sin ( θ + \frac{π}{4} )}{2} = \frac{- 3}{2}

Simplificar

sin (θ + \frac{π}{4}) = - \frac{3}{2}

sin (θ + \frac{π}{4}) = - \frac{3}{2}

Soluciones generales para

sin (θ + \frac{π}{4}) = - \frac{3}{2}

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ + \frac{π}{4} = \frac{4 π}{3} + 2 πn, θ + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{3} + 2 πn

θ + \frac{π}{4} = \frac{4 π}{3} + 2 πn, θ + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Resolver

θ + \frac{π}{4} = \frac{4 π}{3} + 2 πn : θ = 2 πn + \frac{13 π}{12}

θ + \frac{π}{4} = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Mover

\frac{π}{4}

al lado derecho

θ + \frac{π}{4} = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Restar

\frac{π}{4}

de ambos lados

θ + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{4 π}{3} + 2 πn - \frac{π}{4}

Simplificar

θ + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{4 π}{3} + 2 πn - \frac{π}{4}

Simplificar

θ + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} : θ

θ + \frac{π}{4} - \frac{π}{4}

Sumar elementos similares:

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} = 0

= θ

Simplificar

\frac{4 π}{3} + 2 πn - \frac{π}{4} : 2 πn + \frac{13 π}{12}

\frac{4 π}{3} + 2 πn - \frac{π}{4}

Agrupar términos semejantes

= 2 πn - \frac{π}{4} + \frac{4 π}{3}

Mínimo común múltiplo de

4, 3 : 12

4, 3

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

4 : 2 \cdot 2

4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Descomposición en factores primos de

3 : 3

3

3

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 3

Multiplicar cada factor el mayor número de veces que ocurra en cualquier

4

3

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{π}{4} :

multiplicar el denominador y el numerador por

3

\frac{π}{4} = \frac{π 3}{4 \cdot 3} = \frac{π 3}{12}

Para

\frac{4 π}{3} :

multiplicar el denominador y el numerador por

4

\frac{4 π}{3} = \frac{4 π 4}{3 \cdot 4} = \frac{16 π}{12}

= - \frac{π 3}{12} + \frac{16 π}{12}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 3 + 16 π}{12}

Sumar elementos similares:

- 3 π + 16 π = 13 π

= 2 πn + \frac{13 π}{12}

θ = 2 πn + \frac{13 π}{12}

θ = 2 πn + \frac{13 π}{12}

θ = 2 πn + \frac{13 π}{12}

Resolver

θ + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{3} + 2 πn : θ = 2 πn + \frac{17 π}{12}

θ + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Mover

\frac{π}{4}

al lado derecho

θ + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Restar

\frac{π}{4}

de ambos lados

θ + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{3} + 2 πn - \frac{π}{4}

Simplificar

θ + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{3} + 2 πn - \frac{π}{4}

Simplificar

θ + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} : θ

θ + \frac{π}{4} - \frac{π}{4}

Sumar elementos similares:

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} = 0

= θ

Simplificar

\frac{5 π}{3} + 2 πn - \frac{π}{4} : 2 πn + \frac{17 π}{12}

\frac{5 π}{3} + 2 πn - \frac{π}{4}

Agrupar términos semejantes

= 2 πn - \frac{π}{4} + \frac{5 π}{3}

Mínimo común múltiplo de

4, 3 : 12

4, 3

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

4 : 2 \cdot 2

4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Descomposición en factores primos de

3 : 3

3

3

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 3

Multiplicar cada factor el mayor número de veces que ocurra en cualquier

4

3

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{π}{4} :

multiplicar el denominador y el numerador por

3

\frac{π}{4} = \frac{π 3}{4 \cdot 3} = \frac{π 3}{12}

Para

\frac{5 π}{3} :

multiplicar el denominador y el numerador por

4

\frac{5 π}{3} = \frac{5 π 4}{3 \cdot 4} = \frac{20 π}{12}

= - \frac{π 3}{12} + \frac{20 π}{12}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 3 + 20 π}{12}

Sumar elementos similares:

- 3 π + 20 π = 17 π

= 2 πn + \frac{17 π}{12}

θ = 2 πn + \frac{17 π}{12}

θ = 2 πn + \frac{17 π}{12}

θ = 2 πn + \frac{17 π}{12}

θ = 2 πn + \frac{13 π}{12}, θ = 2 πn + \frac{17 π}{12}

2 (cos (θ) + sin (θ)) - 3 = 0 : θ = 2 πn + \frac{π}{12}, θ = 2 πn + \frac{5 π}{12}

2 (cos (θ) + sin (θ)) - 3 = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

2 (cos (θ) + sin (θ)) - 3

sin (θ) + cos (θ) = 2 sin (θ + \frac{π}{4})

sin (θ) + cos (θ)

Reescribir como

= 2 (\frac{1}{2} sin (θ) + \frac{1}{2} cos (θ))

Utilizar la siguiente identidad trivial:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

Utilizar la siguiente identidad trivial:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

= 2 (cos (\frac{π}{4}) sin (θ) + sin (\frac{π}{4}) cos (θ))

Utilizar la identidad de suma de ángulos:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= 2 sin (θ + \frac{π}{4})

= - 3 + 22 sin (θ + \frac{π}{4})

- 3 + 22 sin (θ + \frac{π}{4}) = 0

Aplicar las leyes de los exponentes:

a a = a

22 = 2

- 3 + 2 sin (θ + \frac{π}{4}) = 0

Mover

3

al lado derecho

- 3 + 2 sin (θ + \frac{π}{4}) = 0

Sumar

3

a ambos lados

- 3 + 2 sin (θ + \frac{π}{4}) + 3 = 0 + 3

Simplificar

2 sin (θ + \frac{π}{4}) = 3

2 sin (θ + \frac{π}{4}) = 3

Dividir ambos lados entre

2

2 sin (θ + \frac{π}{4}) = 3

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 sin ( θ + \frac{π}{4} )}{2} = \frac{3}{2}

Simplificar

sin (θ + \frac{π}{4}) = \frac{3}{2}

sin (θ + \frac{π}{4}) = \frac{3}{2}

Soluciones generales para

sin (θ + \frac{π}{4}) = \frac{3}{2}

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ + \frac{π}{4} = \frac{π}{3} + 2 πn, θ + \frac{π}{4} = \frac{2 π}{3} + 2 πn

θ + \frac{π}{4} = \frac{π}{3} + 2 πn, θ + \frac{π}{4} = \frac{2 π}{3} + 2 πn

Resolver

θ + \frac{π}{4} = \frac{π}{3} + 2 πn : θ = 2 πn + \frac{π}{12}

θ + \frac{π}{4} = \frac{π}{3} + 2 πn

Mover

\frac{π}{4}

al lado derecho

θ + \frac{π}{4} = \frac{π}{3} + 2 πn

Restar

\frac{π}{4}

de ambos lados

θ + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{π}{3} + 2 πn - \frac{π}{4}

Simplificar

θ + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{π}{3} + 2 πn - \frac{π}{4}

Simplificar

θ + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} : θ

θ + \frac{π}{4} - \frac{π}{4}

Sumar elementos similares:

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} = 0

= θ

Simplificar

\frac{π}{3} + 2 πn - \frac{π}{4} : 2 πn + \frac{π}{12}

\frac{π}{3} + 2 πn - \frac{π}{4}

Agrupar términos semejantes

= 2 πn + \frac{π}{3} - \frac{π}{4}

Mínimo común múltiplo de

3, 4 : 12

3, 4

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

3 : 3

3

3

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 3

Descomposición en factores primos de

4 : 2 \cdot 2

4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Multiplicar cada factor el mayor número de veces que ocurra en cualquier

3

4

= 3 \cdot 2 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 2 \cdot 2 = 12

= 12

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{π}{3} :

multiplicar el denominador y el numerador por

4

\frac{π}{3} = \frac{π 4}{3 \cdot 4} = \frac{π 4}{12}

Para

\frac{π}{4} :

multiplicar el denominador y el numerador por

3

\frac{π}{4} = \frac{π 3}{4 \cdot 3} = \frac{π 3}{12}

= \frac{π 4}{12} - \frac{π 3}{12}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 4 - π 3}{12}

Sumar elementos similares:

4 π - 3 π = π

= 2 πn + \frac{π}{12}

θ = 2 πn + \frac{π}{12}

θ = 2 πn + \frac{π}{12}

θ = 2 πn + \frac{π}{12}

Resolver

θ + \frac{π}{4} = \frac{2 π}{3} + 2 πn : θ = 2 πn + \frac{5 π}{12}

θ + \frac{π}{4} = \frac{2 π}{3} + 2 πn

Mover

\frac{π}{4}

al lado derecho

θ + \frac{π}{4} = \frac{2 π}{3} + 2 πn

Restar

\frac{π}{4}

de ambos lados

θ + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{2 π}{3} + 2 πn - \frac{π}{4}

Simplificar

θ + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{2 π}{3} + 2 πn - \frac{π}{4}

Simplificar

θ + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} : θ

θ + \frac{π}{4} - \frac{π}{4}

Sumar elementos similares:

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} = 0

= θ

Simplificar

\frac{2 π}{3} + 2 πn - \frac{π}{4} : 2 πn + \frac{5 π}{12}

\frac{2 π}{3} + 2 πn - \frac{π}{4}

Agrupar términos semejantes

= 2 πn - \frac{π}{4} + \frac{2 π}{3}

Mínimo común múltiplo de

4, 3 : 12

4, 3

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

4 : 2 \cdot 2

4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Descomposición en factores primos de

3 : 3

3

3

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 3

Multiplicar cada factor el mayor número de veces que ocurra en cualquier

4

3

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{π}{4} :

multiplicar el denominador y el numerador por

3

\frac{π}{4} = \frac{π 3}{4 \cdot 3} = \frac{π 3}{12}

Para

\frac{2 π}{3} :

multiplicar el denominador y el numerador por

4

\frac{2 π}{3} = \frac{2 π 4}{3 \cdot 4} = \frac{8 π}{12}

= - \frac{π 3}{12} + \frac{8 π}{12}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 3 + 8 π}{12}

Sumar elementos similares:

- 3 π + 8 π = 5 π

= 2 πn + \frac{5 π}{12}

θ = 2 πn + \frac{5 π}{12}

θ = 2 πn + \frac{5 π}{12}

θ = 2 πn + \frac{5 π}{12}

θ = 2 πn + \frac{π}{12}, θ = 2 πn + \frac{5 π}{12}

Combinar toda las soluciones

θ = 2 πn + \frac{13 π}{12}, θ = 2 πn + \frac{17 π}{12}, θ = 2 πn + \frac{π}{12}, θ = 2 πn + \frac{5 π}{12}

Ejemplos populares

-2sin^2(θ)+1=cos(θ)

- 2 sin^{2} (θ) + 1 = cos (θ)

solvefor x,sin(xy)=y resolver para

x, sin (x y) = y

12arcsin(x)=2pi

12 arcsin (x) = 2 π

csc(x)=-sqrt(1-cot(x))

csc (x) = - 1 - cot (x)

cos(2θ)+5cos(θ)+3=0

cos (2 θ) + 5 cos (θ) + 3 = 0