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cos(2x)-sin^2(x)= 1/4

Solución

cos (2 x) - sin^{2} (x) = \frac{1}{4}

Solución

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Grados

x = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 21 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 33 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

cos (2 x) - sin^{2} (x) = \frac{1}{4}

Restar

\frac{1}{4}

de ambos lados

cos (2 x) - sin^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0

Simplificar

cos (2 x) - sin^{2} (x) - \frac{1}{4} : \frac{4 cos ( 2 x ) - 4 sin ^{2} ( x ) - 1}{4}

cos (2 x) - sin^{2} (x) - \frac{1}{4}

Convertir a fracción:

cos (2 x) = \frac{cos ( 2 x ) 4}{4}, sin^{2} (x) = \frac{sin ^{2} ( x ) 4}{4}

= \frac{cos ( 2 x ) \cdot 4}{4} - \frac{sin ^{2} ( x ) \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( 2 x ) \cdot 4 - sin ^{2} ( x ) \cdot 4 - 1}{4}

\frac{4 cos ( 2 x ) - 4 sin ^{2} ( x ) - 1}{4} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

4 cos (2 x) - 4 sin^{2} (x) - 1 = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 1 + 4 cos (2 x) - 4 sin^{2} (x)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= - 1 + 4 (1 - 2 sin^{2} (x)) - 4 sin^{2} (x)

Simplificar

- 1 + 4 (1 - 2 sin^{2} (x)) - 4 sin^{2} (x) : - 12 sin^{2} (x) + 3

- 1 + 4 (1 - 2 sin^{2} (x)) - 4 sin^{2} (x)

Expandir

4 (1 - 2 sin^{2} (x)) : 4 - 8 sin^{2} (x)

4 (1 - 2 sin^{2} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = 2 sin^{2} (x)

= 4 \cdot 1 - 4 \cdot 2 sin^{2} (x)

Simplificar

4 \cdot 1 - 4 \cdot 2 sin^{2} (x) : 4 - 8 sin^{2} (x)

4 \cdot 1 - 4 \cdot 2 sin^{2} (x)

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 \cdot 2 sin^{2} (x)

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 2 = 8

= 4 - 8 sin^{2} (x)

= 4 - 8 sin^{2} (x)

= - 1 + 4 - 8 sin^{2} (x) - 4 sin^{2} (x)

Simplificar

- 1 + 4 - 8 sin^{2} (x) - 4 sin^{2} (x) : - 12 sin^{2} (x) + 3

- 1 + 4 - 8 sin^{2} (x) - 4 sin^{2} (x)

Sumar elementos similares:

- 8 sin^{2} (x) - 4 sin^{2} (x) = - 12 sin^{2} (x)

= - 1 + 4 - 12 sin^{2} (x)

Sumar/restar lo siguiente:

- 1 + 4 = 3

= - 12 sin^{2} (x) + 3

= - 12 sin^{2} (x) + 3

= - 12 sin^{2} (x) + 3

3 - 12 sin^{2} (x) = 0

Usando el método de sustitución

3 - 12 sin^{2} (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

3 - 12 u^{2} = 0

3 - 12 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

3 - 12 u^{2} = 0

Mover

3

al lado derecho

3 - 12 u^{2} = 0

Restar

3

de ambos lados

3 - 12 u^{2} - 3 = 0 - 3

Simplificar

- 12 u^{2} = - 3

- 12 u^{2} = - 3

Dividir ambos lados entre

- 12

- 12 u^{2} = - 3

Dividir ambos lados entre

- 12

\frac{- 12 u ^{2}}{- 12} = \frac{- 3}{- 12}

Simplificar

\frac{- 12 u ^{2}}{- 12} = \frac{- 3}{- 12}

Simplificar

\frac{- 12 u ^{2}}{- 12} : u^{2}

\frac{- 12 u ^{2}}{- 12}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{12 u ^{2}}{12}

Dividir:

\frac{12}{12} = 1

= u^{2}

Simplificar

\frac{- 3}{- 12} : \frac{1}{4}

\frac{- 3}{- 12}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{3}{12}

Eliminar los terminos comunes:

3

= \frac{1}{4}

u^{2} = \frac{1}{4}

u^{2} = \frac{1}{4}

u^{2} = \frac{1}{4}

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1}{4}, u = - \frac{1}{4}

\frac{1}{4} = \frac{1}{2}

\frac{1}{4}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{4}

4 = 2

4

Descomponer el número en factores primos:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2

= \frac{1}{2}

Aplicar la regla

1 = 1

= \frac{1}{2}

- \frac{1}{4} = - \frac{1}{2}

- \frac{1}{4}

Simplificar

\frac{1}{4} : \frac{1}{2}

\frac{1}{4}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{4}

4 = 2

4

Descomponer el número en factores primos:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2

= \frac{1}{2}

= - \frac{1}{2}

Aplicar la regla

1 = 1

= - \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) = \frac{1}{2}, sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x) = \frac{1}{2}, sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) = \frac{1}{2}

Soluciones generales para

sin (x) = \frac{1}{2}

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{2}

Soluciones generales para

sin (x) = - \frac{1}{2}

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Ejemplos populares

sec(θ)csc(θ)+sqrt(2)csc(θ)=0

sec (θ) csc (θ) + 2 csc (θ) = 0

2sin^2(θ)-sin(θ)-1=0,0<= θ<= 2pi

2 sin^{2} (θ) - sin (θ) - 1 = 0, 0 \leq θ \leq 2 π

sin(3θ)=(sqrt(2))/2

sin (3 θ) = \frac{2}{2}

(tan^2(θ)-9)(2cos(θ)+1)=0

(tan^{2} (θ) - 9) (2 cos (θ) + 1) = 0

2sin(x)+cos(x)=1

2 sin (x) + cos (x) = 1