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tanh(x)= 12/13

Solución

tanh (x) = \frac{12}{13}

Solución

x = ln (5)

Grados

x = 92.21399 \dots^{\circ}

Pasos de solución

tanh (x) = \frac{12}{13}

Re-escribir usando identidades trigonométricas

tanh (x) = \frac{12}{13}

Utilizar la identidad hiperbólica:

tanh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}}

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} = \frac{12}{13}

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} = \frac{12}{13}

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} = \frac{12}{13} : x = ln (5)

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} = \frac{12}{13}

Utilizar multiplicación cruzada (regla de tres): Si

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

entonces

a \cdot d = b \cdot c

(e^{x} - e^{- x}) \cdot 13 = (e^{x} + e^{- x}) \cdot 12

Aplicar las leyes de los exponentes

(e^{x} - e^{- x}) \cdot 13 = (e^{x} + e^{- x}) \cdot 12

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

(e^{x} - (e^{x})^{- 1}) \cdot 13 = (e^{x} + (e^{x})^{- 1}) \cdot 12

(e^{x} - (e^{x})^{- 1}) \cdot 13 = (e^{x} + (e^{x})^{- 1}) \cdot 12

Re escribir la ecuación con

e^{x} = u

(u - (u)^{- 1}) \cdot 13 = (u + (u)^{- 1}) \cdot 12

Resolver

(u - u^{- 1}) \cdot 13 = (u + u^{- 1}) \cdot 12 : u = 5, u = - 5

(u - u^{- 1}) \cdot 13 = (u + u^{- 1}) \cdot 12

Simplificar

(u - \frac{1}{u}) \cdot 13 = (u + \frac{1}{u}) \cdot 12

Simplificar

(u - \frac{1}{u}) \cdot 13 = (u + \frac{1}{u}) \cdot 12

Simplificar

(u - \frac{1}{u}) \cdot 13 : 13 (u - \frac{1}{u})

(u - \frac{1}{u}) \cdot 13

Aplicar regla conmutativa:

(u - \frac{1}{u}) \cdot 13 = 13 (u - \frac{1}{u})

13 (u - \frac{1}{u})

Simplificar

(u + \frac{1}{u}) \cdot 12 : 12 (u + \frac{1}{u})

(u + \frac{1}{u}) \cdot 12

Aplicar regla conmutativa:

(u + \frac{1}{u}) \cdot 12 = 12 (u + \frac{1}{u})

12 (u + \frac{1}{u})

13 (u - \frac{1}{u}) = 12 (u + \frac{1}{u})

13 (u - \frac{1}{u}) = 12 (u + \frac{1}{u})

Desarrollar

13 (u - \frac{1}{u}) : 13 u - \frac{13}{u}

13 (u - \frac{1}{u})

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 13, b = u, c = \frac{1}{u}

= 13 u - 13 \cdot \frac{1}{u}

13 \cdot \frac{1}{u} = \frac{13}{u}

13 \cdot \frac{1}{u}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 13}{u}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 13 = 13

= \frac{13}{u}

= 13 u - \frac{13}{u}

Desarrollar

12 (u + \frac{1}{u}) : 12 u + \frac{12}{u}

12 (u + \frac{1}{u})

Poner los parentesis utilizando:

a (b + c) = ab + a c

a = 12, b = u, c = \frac{1}{u}

= 12 u + 12 \cdot \frac{1}{u}

12 \cdot \frac{1}{u} = \frac{12}{u}

12 \cdot \frac{1}{u}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 12}{u}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 12 = 12

= \frac{12}{u}

= 12 u + \frac{12}{u}

13 u - \frac{13}{u} = 12 u + \frac{12}{u}

Multiplicar ambos lados por

u

13 u - \frac{13}{u} = 12 u + \frac{12}{u}

Multiplicar ambos lados por

u

13 uu - \frac{13}{u} u = 12 uu + \frac{12}{u} u

Simplificar

13 uu - \frac{13}{u} u = 12 uu + \frac{12}{u} u

Simplificar

13 uu : 13 u^{2}

13 uu

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= 13 u^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= 13 u^{2}

Simplificar

- \frac{13}{u} u : - 13

- \frac{13}{u} u

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{13 u}{u}

Eliminar los terminos comunes:

u

= - 13

Simplificar

12 uu : 12 u^{2}

12 uu

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= 12 u^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= 12 u^{2}

Simplificar

\frac{12}{u} u : 12

\frac{12}{u} u

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{12 u}{u}

Eliminar los terminos comunes:

u

= 12

13 u^{2} - 13 = 12 u^{2} + 12

13 u^{2} - 13 = 12 u^{2} + 12

13 u^{2} - 13 = 12 u^{2} + 12

Resolver

13 u^{2} - 13 = 12 u^{2} + 12 : u = 5, u = - 5

13 u^{2} - 13 = 12 u^{2} + 12

Mover

13

al lado derecho

13 u^{2} - 13 = 12 u^{2} + 12

Sumar

13

a ambos lados

13 u^{2} - 13 + 13 = 12 u^{2} + 12 + 13

Simplificar

13 u^{2} = 12 u^{2} + 25

13 u^{2} = 12 u^{2} + 25

Mover

12 u^{2}

al lado izquierdo

13 u^{2} = 12 u^{2} + 25

Restar

12 u^{2}

de ambos lados

13 u^{2} - 12 u^{2} = 12 u^{2} + 25 - 12 u^{2}

Simplificar

u^{2} = 25

u^{2} = 25

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = 25, u = - 25

25 = 5

25

Descomponer el número en factores primos:

25 = 5^{2}

= 5^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{2} = a, a \geq 0

5^{2} = 5

= 5

- 25 = - 5

- 25

Descomponer el número en factores primos:

25 = 5^{2}

= - 5^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{2} = a, a \geq 0

5^{2} = - 5

= - 5

u = 5, u = - 5

u = 5, u = - 5

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

u = 0

Tomar el(los) denominador(es) de

(u - u^{- 1}) 13

y comparar con cero

u = 0

Tomar el(los) denominador(es) de

(u + u^{- 1}) 12

y comparar con cero

u = 0

Los siguientes puntos no están definidos

u = 0

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

u = 5, u = - 5

u = 5, u = - 5

Sustituir hacia atrás la

u = e^{x},

resolver para

x

Resolver

e^{x} = 5 : x = ln (5)

e^{x} = 5

Aplicar las leyes de los exponentes

e^{x} = 5

f (x) = g (x)

, entonces

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (5)

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (5)

x = ln (5)

Resolver

e^{x} = - 5 :

Sin solución para

x \in R

e^{x} = - 5

a^{f (x)}

no puede ser cero o negativo para

x \in R

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para x \in R

x = ln (5)

Verificar las soluciones:

x = ln (5)

Verdadero

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} = \frac{12}{13}

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Sustituir

x = ln (5) :

Verdadero

\frac{e ^{l n (5)} - e ^{- l n (5)}}{e ^{l n (5)} + e ^{- l n (5)}} = \frac{12}{13}

\frac{e ^{l n (5)} - e ^{- l n (5)}}{e ^{l n (5)} + e ^{- l n (5)}} = \frac{12}{13}

\frac{e ^{l n (5)} - e ^{- l n (5)}}{e ^{l n (5)} + e ^{- l n (5)}}

e^{l n (5)} = 5

e^{l n (5)}

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

a^{l o g_{a} (b)} = b

= 5

e^{- l n (5)} = 5^{- 1}

e^{- l n (5)}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

= (e^{l n (5)})^{- 1}

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

a^{l o g_{a} (b)} = b

e^{l n (5)} = 5

= 5^{- 1}

= \frac{e ^{l n (5)} - e ^{- l n (5)}}{5 + 5 ^{- 1}}

e^{l n (5)} = 5

e^{l n (5)}

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

a^{l o g_{a} (b)} = b

= 5

e^{- l n (5)} = 5^{- 1}

e^{- l n (5)}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

= (e^{l n (5)})^{- 1}

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

a^{l o g_{a} (b)} = b

e^{l n (5)} = 5

= 5^{- 1}

= \frac{5 - 5 ^{- 1}}{5 + 5 ^{- 1}}

Simplificar

\frac{5 - 5 ^{- 1}}{5 + 5 ^{- 1}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{- 1} = \frac{1}{a}

5^{- 1} = \frac{1}{5}

= \frac{5 - 5 ^{- 1}}{5 + \frac{1}{5}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{- 1} = \frac{1}{a}

5^{- 1} = \frac{1}{5}

= \frac{5 - \frac{1}{5}}{5 + \frac{1}{5}}

Simplificar

5 + \frac{1}{5}

en una fracción:

\frac{26}{5}

5 + \frac{1}{5}

Convertir a fracción:

5 = \frac{5 \cdot 5}{5}

= \frac{5 \cdot 5}{5} + \frac{1}{5}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{5 \cdot 5 + 1}{5}

5 \cdot 5 + 1 = 26

5 \cdot 5 + 1

Multiplicar los numeros:

5 \cdot 5 = 25

= 25 + 1

Sumar:

25 + 1 = 26

= 26

= \frac{26}{5}

= \frac{5 - \frac{1}{5}}{\frac{26}{5}}

Simplificar

5 - \frac{1}{5}

en una fracción:

\frac{24}{5}

5 - \frac{1}{5}

Convertir a fracción:

5 = \frac{5 \cdot 5}{5}

= \frac{5 \cdot 5}{5} - \frac{1}{5}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{5 \cdot 5 - 1}{5}

5 \cdot 5 - 1 = 24

5 \cdot 5 - 1

Multiplicar los numeros:

5 \cdot 5 = 25

= 25 - 1

Restar:

25 - 1 = 24

= 24

= \frac{24}{5}

= \frac{\frac{24}{5}}{\frac{26}{5}}

Dividir fracciones:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{24 \cdot 5}{5 \cdot 26}

Eliminar los terminos comunes:

5

= \frac{24}{26}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{12}{13}

= \frac{12}{13}

\frac{12}{13} = \frac{12}{13}

Verdadero

La solución es

x = ln (5)

x = ln (5)

Ejemplos populares

sin(θ)= 5/7

sin (θ) = \frac{5}{7}

8sin^2(x)+2sin(x)-1=0

8 sin^{2} (x) + 2 sin (x) - 1 = 0

2sin^2(x)=5sin(x)-3

2 sin^{2} (x) = 5 sin (x) - 3

cos(x)cos(3x)=sin(x)sin(3x)

cos (x) cos (3 x) = sin (x) sin (3 x)

sec(3x)= 2/(sqrt(3))

sec (3 x) = \frac{2}{3}