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cos(2θ)=cos^2(θ)-1/2

Solución

cos (2 θ) = cos^{2} (θ) - \frac{1}{2}

Solución

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Grados

θ = 4 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 13 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 22 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 31 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

cos (2 θ) = cos^{2} (θ) - \frac{1}{2}

Restar

cos^{2} (θ) - \frac{1}{2}

de ambos lados

cos (2 θ) - cos^{2} (θ) + \frac{1}{2} = 0

Simplificar

cos (2 θ) - cos^{2} (θ) + \frac{1}{2} : \frac{2 cos ( 2 θ ) - 2 cos ^{2} ( θ ) + 1}{2}

cos (2 θ) - cos^{2} (θ) + \frac{1}{2}

Convertir a fracción:

cos (2 θ) = \frac{cos ( 2 θ ) 2}{2}, cos^{2} (θ) = \frac{cos ^{2} ( θ ) 2}{2}

= \frac{cos ( 2 θ ) \cdot 2}{2} - \frac{cos ^{2} ( θ ) \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( 2 θ ) \cdot 2 - cos ^{2} ( θ ) \cdot 2 + 1}{2}

\frac{2 cos ( 2 θ ) - 2 cos ^{2} ( θ ) + 1}{2} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

2 cos (2 θ) - 2 cos^{2} (θ) + 1 = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

1 + 2 cos (2 θ) - 2 cos^{2} (θ)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos (2 x)

cos^{2} (x) = cos (2 x) + sin^{2} (x)

= 1 + 2 cos (2 θ) - 2 (cos (2 θ) + sin^{2} (θ))

Simplificar

1 + 2 cos (2 θ) - 2 (cos (2 θ) + sin^{2} (θ)) : 1 - 2 sin^{2} (θ)

1 + 2 cos (2 θ) - 2 (cos (2 θ) + sin^{2} (θ))

Expandir

- 2 (cos (2 θ) + sin^{2} (θ)) : - 2 cos (2 θ) - 2 sin^{2} (θ)

- 2 (cos (2 θ) + sin^{2} (θ))

Poner los parentesis utilizando:

a (b + c) = ab + a c

a = - 2, b = cos (2 θ), c = sin^{2} (θ)

= - 2 cos (2 θ) + (- 2) sin^{2} (θ)

Aplicar las reglas de los signos

+ (- a) = - a

= - 2 cos (2 θ) - 2 sin^{2} (θ)

= 1 + 2 cos (2 θ) - 2 cos (2 θ) - 2 sin^{2} (θ)

Sumar elementos similares:

2 cos (2 θ) - 2 cos (2 θ) = 0

= 1 - 2 sin^{2} (θ)

= 1 - 2 sin^{2} (θ)

1 - 2 sin^{2} (θ) = 0

Usando el método de sustitución

1 - 2 sin^{2} (θ) = 0

Sea:

sin (θ) = u

1 - 2 u^{2} = 0

1 - 2 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

1 - 2 u^{2} = 0

Mover

1

al lado derecho

1 - 2 u^{2} = 0

Restar

1

de ambos lados

1 - 2 u^{2} - 1 = 0 - 1

Simplificar

- 2 u^{2} = - 1

- 2 u^{2} = - 1

Dividir ambos lados entre

- 2

- 2 u^{2} = - 1

Dividir ambos lados entre

- 2

\frac{- 2 u ^{2}}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}

Simplificar

u^{2} = \frac{1}{2}

u^{2} = \frac{1}{2}

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

Sustituir en la ecuación

u = sin (θ)

sin (θ) = \frac{1}{2}, sin (θ) = - \frac{1}{2}

sin (θ) = \frac{1}{2}, sin (θ) = - \frac{1}{2}

sin (θ) = \frac{1}{2} : θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

sin (θ) = \frac{1}{2}

Soluciones generales para

sin (θ) = \frac{1}{2}

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

sin (θ) = - \frac{1}{2} : θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

sin (θ) = - \frac{1}{2}

Soluciones generales para

sin (θ) = - \frac{1}{2}

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Ejemplos populares

arccos(cos((7pi)/6))

arccos (cos (\frac{7 π}{6}))

cos(60)

cos (6 0^{\circ})

sin^2(2x)=1

sin^{2} (2 x) = 1

arctan(-240/180)

arctan (- \frac{240}{180})

sin((7pi)/(12))

sin (\frac{7 π}{12})