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Popular >

cos(pi(-8.3-5.4))+sin(pi(8.3-5.4))

Solución

cos (π (- 8.3 - 5.4)) + sin (π (8.3 - 5.4))

Solución

\frac{2 5 - 5 + 2 3 - 5}{4}

Notación decimal

0.89680 \dots

Pasos de solución

cos (π (- 8.3 - 5.4)) + sin (π (8.3 - 5.4))

= cos (π (- \frac{83}{10} - \frac{27}{5})) + sin (π (\frac{83}{10} - \frac{27}{5}))

Simplificar:

π (- \frac{83}{10} - \frac{27}{5}) = - \frac{137 π}{10}

π (- \frac{83}{10} - \frac{27}{5})

Simplificar

- \frac{83}{10} - \frac{27}{5}

en una fracción:

- \frac{137}{10}

- \frac{83}{10} - \frac{27}{5}

Mínimo común múltiplo de

10, 5 : 10

10, 5

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

10 : 2 \cdot 5

10

10

divida por

210 = 5 \cdot 2

= 2 \cdot 5

2, 5

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 5

Descomposición en factores primos de

5 : 5

5

5

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 5

Multiplicar cada factor el mayor número de veces que ocurra en cualquier

10

5

= 2 \cdot 5

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 5 = 10

= 10

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{27}{5} :

multiplicar el denominador y el numerador por

2

\frac{27}{5} = \frac{27 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{54}{10}

= - \frac{83}{10} - \frac{54}{10}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 83 - 54}{10}

Restar:

- 83 - 54 = - 137

= \frac{- 137}{10}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{137}{10}

= π (- \frac{137}{10})

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= - π \frac{137}{10}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{137 π}{10}

Simplificar:

π (\frac{83}{10} - \frac{27}{5}) = \frac{29 π}{10}

π (\frac{83}{10} - \frac{27}{5})

Simplificar

\frac{83}{10} - \frac{27}{5}

en una fracción:

\frac{29}{10}

\frac{83}{10} - \frac{27}{5}

Mínimo común múltiplo de

10, 5 : 10

10, 5

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

10 : 2 \cdot 5

10

10

divida por

210 = 5 \cdot 2

= 2 \cdot 5

2, 5

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 5

Descomposición en factores primos de

5 : 5

5

5

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 5

Multiplicar cada factor el mayor número de veces que ocurra en cualquier

10

5

= 2 \cdot 5

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 5 = 10

= 10

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{27}{5} :

multiplicar el denominador y el numerador por

2

\frac{27}{5} = \frac{27 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{54}{10}

= \frac{83}{10} - \frac{54}{10}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{83 - 54}{10}

Restar:

83 - 54 = 29

= \frac{29}{10}

= π \frac{29}{10}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{29 π}{10}

= cos (- \frac{137 π}{10}) + sin (\frac{29 π}{10})

Utilizar la siguiente propiedad:

cos (- x) = cos (x)

cos (- \frac{137 π}{10}) = cos (\frac{137 π}{10})

= cos (\frac{137 π}{10}) + sin (\frac{29 π}{10})

cos (\frac{137 π}{10}) = cos (\frac{17 π}{10})

cos (\frac{137 π}{10})

Reescribir

\frac{137 π}{10}

como

2 π \cdot 6 + \frac{17 π}{10}

= cos (2 π 6 + \frac{17 π}{10})

Utilizar la periodicidad de

cos

cos (x + 2 π \cdot k) = cos (x)

cos (2 π \cdot 6 + \frac{17 π}{10}) = cos (\frac{17 π}{10})

= cos (\frac{17 π}{10})

= cos (\frac{17 π}{10}) + sin (\frac{29 π}{10})

sin (\frac{29 π}{10}) = sin (\frac{9 π}{10})

sin (\frac{29 π}{10})

Reescribir

\frac{29 π}{10}

como

2 π + \frac{9 π}{10}

= sin (2 π + \frac{9 π}{10})

Utilizar la periodicidad de

sin

sin (x + 2 π) = sin (x)

sin (2 π + \frac{9 π}{10}) = sin (\frac{9 π}{10})

= sin (\frac{9 π}{10})

= cos (\frac{17 π}{10}) + sin (\frac{9 π}{10})

Re-escribir usando identidades trigonométricas:

cos (\frac{17 π}{10}) = cos (\frac{3 π}{10})

cos (\frac{17 π}{10})

Usar la siguiente identidad:

cos (x) = cos (2 π - x)

cos (x)

Utilizar la siguiente propiedad:

cos (θ) = cos (- θ)

cos (x) = cos (- x)

= cos (- x)

Utilizar la periodicidad de

cos

cos (2 π + θ) = cos (θ)

cos (- x) = cos (2 π - x)

= cos (2 π - x)

= cos (2 π - \frac{17 π}{10})

Simplificar:

2 π - \frac{17 π}{10} = \frac{3 π}{10}

2 π - \frac{17 π}{10}

Convertir a fracción:

2 π = \frac{2 π 10}{10}

= \frac{2 π 10}{10} - \frac{17 π}{10}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 10 - 17 π}{10}

2 π 10 - 17 π = 3 π

2 π 10 - 17 π

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 10 = 20

= 20 π - 17 π

Sumar elementos similares:

20 π - 17 π = 3 π

= 3 π

= \frac{3 π}{10}

= cos (\frac{3 π}{10})

= cos (\frac{3 π}{10}) + sin (\frac{9 π}{10})

Re-escribir usando identidades trigonométricas:

cos (\frac{3 π}{10}) = \frac{2 5 - 5}{4}

cos (\frac{3 π}{10})

Re-escribir usando identidades trigonométricas:

sin (\frac{π}{5})

cos (\frac{3 π}{10})

Usar la siguiente identidad:

cos (x) = sin (\frac{π}{2} - x)

= sin (\frac{π}{2} - \frac{3 π}{10})

Simplificar:

\frac{π}{2} - \frac{3 π}{10} = \frac{π}{5}

\frac{π}{2} - \frac{3 π}{10}

Mínimo común múltiplo de

2, 10 : 10

2, 10

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

2 : 2

2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 2

Descomposición en factores primos de

10 : 2 \cdot 5

10

10

divida por

210 = 5 \cdot 2

= 2 \cdot 5

2, 5

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 5

Multiplicar cada factor el mayor número de veces que ocurra en cualquier

2

10

= 2 \cdot 5

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 5 = 10

= 10

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{π}{2} :

multiplicar el denominador y el numerador por

5

\frac{π}{2} = \frac{π 5}{2 \cdot 5} = \frac{π 5}{10}

= \frac{π 5}{10} - \frac{3 π}{10}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 5 - 3 π}{10}

Sumar elementos similares:

5 π - 3 π = 2 π

= \frac{2 π}{10}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{π}{5}

= sin (\frac{π}{5})

= sin (\frac{π}{5})

Re-escribir usando identidades trigonométricas:

\frac{2 5 - 5}{4}

sin (\frac{π}{5})

Demostrar que:

cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}) = \frac{1}{2}

Utilizar el siguiente producto para la identidad de suma de ángulos:

2 sin (x) cos (y) = sin (x + y) - sin (x - y)

2 cos (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}) = sin (\frac{3 π}{10}) - sin (\frac{π}{10})

Demostrar que:

2 cos (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}) = \frac{1}{2}

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

sin (\frac{2 π}{5}) = 2 sin (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{5})

sin (\frac{2 π}{5}) sin (\frac{π}{5}) = 4 sin (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

Dividir ambos lados entre

sin (\frac{π}{5})

sin (\frac{2 π}{5}) = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

Usar la siguiente identidad:

sin (x) = cos (\frac{π}{2} - x)

sin (\frac{2 π}{5}) = cos (\frac{π}{2} - \frac{2 π}{5})

cos (\frac{π}{2} - \frac{2 π}{5}) = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

cos (\frac{π}{10}) = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

Dividir ambos lados entre

cos (\frac{π}{10})

1 = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5})

Dividir ambos lados entre

2

\frac{1}{2} = 2 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5})

Sustituir

\frac{1}{2} = 2 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5})

\frac{1}{2} = sin (\frac{3 π}{10}) - sin (\frac{π}{10})

sin (\frac{3 π}{10}) = cos (\frac{π}{2} - \frac{3 π}{10})

\frac{1}{2} = cos (\frac{π}{2} - \frac{3 π}{10}) - sin (\frac{π}{10})

\frac{1}{2} = cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10})

Demostrar que:

cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}) = \frac{5}{4}

Utilizar la regla de factorización:

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

a = cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10})

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} - (cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}))^{2} = ((cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10})) + (cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}))) ((cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10})) - (cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10})))

Simplificar

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} - (cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}))^{2} = 2 (2 cos (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}))

Demostrar que:

2 cos (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}) = \frac{1}{2}

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

sin (\frac{2 π}{5}) = 2 sin (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{5})

sin (\frac{2 π}{5}) sin (\frac{π}{5}) = 4 sin (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

Dividir ambos lados entre

sin (\frac{π}{5})

sin (\frac{2 π}{5}) = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

Usar la siguiente identidad:

sin (x) = cos (\frac{π}{2} - x)

sin (\frac{2 π}{5}) = cos (\frac{π}{2} - \frac{2 π}{5})

cos (\frac{π}{2} - \frac{2 π}{5}) = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

cos (\frac{π}{10}) = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

Dividir ambos lados entre

cos (\frac{π}{10})

1 = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5})

Dividir ambos lados entre

2

\frac{1}{2} = 2 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5})

Sustituir

2 cos (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}) = \frac{1}{2}

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} - (cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}))^{2} = 1

Sustituir

cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}) = \frac{1}{2}

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} - (\frac{1}{2})^{2} = 1

Simplificar

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} - \frac{1}{4} = 1

Sumar

\frac{1}{4}

a ambos lados

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 1 + \frac{1}{4}

Simplificar

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} = \frac{5}{4}

Obtener la raíz cuadrada de ambos lados

cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}) = \pm \frac{5}{4}

cos (\frac{π}{5})

no puede ser negativa

sin (\frac{π}{10})

no puede ser negativa

cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}) = \frac{5}{4}

Añadir las siguientes ecuaciones

cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}) = \frac{5}{2}

((cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10})) + (cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}))) = (\frac{5}{2} + \frac{1}{2})

Simplificar

cos (\frac{π}{5}) = \frac{5 + 1}{4}

Elevar al cuadrado ambos lados

(cos (\frac{π}{5}))^{2} = (\frac{5 + 1}{4})^{2}

Usar la siguiente identidad:

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

sin^{2} (\frac{π}{5}) = 1 - cos^{2} (\frac{π}{5})

Sustituir

cos (\frac{π}{5}) = \frac{5 + 1}{4}

sin^{2} (\frac{π}{5}) = 1 - (\frac{5 + 1}{4})^{2}

Simplificar

sin^{2} (\frac{π}{5}) = \frac{5 - 5}{8}

Obtener la raíz cuadrada de ambos lados

sin (\frac{π}{5}) = \pm \frac{5 - 5}{8}

sin (\frac{π}{5})

no puede ser negativa

sin (\frac{π}{5}) = \frac{5 - 5}{8}

Simplificar

sin (\frac{π}{5}) = \frac{\frac{5 - 5}{2}}{2}

= \frac{\frac{5 - 5}{2}}{2}

\frac{\frac{5 - 5}{2}}{2} = \frac{2 5 - 5}{4}

\frac{\frac{5 - 5}{2}}{2}

\frac{5 - 5}{2} = \frac{5 - 5}{2}

\frac{5 - 5}{2}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{5 - 5}{2}

= \frac{\frac{5 - 5}{2}}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{5 - 5}{2 \cdot 2}

Racionalizar

\frac{5 - 5}{2 2} : \frac{2 5 - 5}{4}

\frac{5 - 5}{2 2}

Multiplicar por el conjugado

\frac{2}{2}

= \frac{5 - 5 2}{2 \cdot 2 2}

2 \cdot 22 = 4

2 \cdot 22

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

222 = 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

= 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

Sumar elementos similares:

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{1}{2}

= 2^{1 + 2 \cdot \frac{1}{2}}

2 \cdot \frac{1}{2} = 1

2 \cdot \frac{1}{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= 1

= 2^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= 2^{2}

2^{2} = 4

= 4

= \frac{2 5 - 5}{4}

= \frac{2 5 - 5}{4}

= \frac{2 5 - 5}{4}

= \frac{2 5 - 5}{4}

Re-escribir usando identidades trigonométricas:

sin (\frac{9 π}{10}) = \frac{2 3 - 5}{4}

sin (\frac{9 π}{10})

Re-escribir usando identidades trigonométricas:

sin (\frac{π}{10})

sin (\frac{9 π}{10})

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

sin (x) = sin (π - x)

= sin (π - \frac{9 π}{10})

Simplificar:

π - \frac{9 π}{10} = \frac{π}{10}

π - \frac{9 π}{10}

Convertir a fracción:

π = \frac{π 10}{10}

= \frac{π 10}{10} - \frac{9 π}{10}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 10 - 9 π}{10}

Sumar elementos similares:

10 π - 9 π = π

= \frac{π}{10}

= sin (\frac{π}{10})

= sin (\frac{π}{10})

Re-escribir usando identidades trigonométricas:

\frac{1 - cos ( \frac{π}{5} )}{2}

sin (\frac{π}{10})

Escribir

sin (\frac{π}{10})

como

sin (\frac{\frac{π}{5}}{2})

= sin (\frac{\frac{π}{5}}{2})

Utilizar la identidad trigonométrica del medio ángulo:

sin (\frac{θ}{2}) = \frac{1 - cos ( θ )}{2}

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble

cos (2 θ) = 1 - 2 sin^{2} (θ)

Sustituir

θ

con

\frac{θ}{2}

cos (θ) = 1 - 2 sin^{2} (\frac{θ}{2})

Intercambiar lados

2 sin^{2} (\frac{θ}{2}) = 1 - cos (θ)

Dividir ambos lados entre

2

sin^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{( 1 - cos ( θ ) )}{2}

Square root both sides

Choose the root sign according to the quadrant of

\frac{θ}{2}

range [0, \frac{π}{2}] [\frac{π}{2}, π] [π, \frac{3 π}{2}] [\frac{3 π}{2}, 2 π] quadrant I II III I V sin positive positive negative negative cos positive negative negative positive

sin (\frac{θ}{2}) = \frac{( 1 - cos ( θ ) )}{2}

= \frac{1 - cos ( \frac{π}{5} )}{2}

= \frac{1 - cos ( \frac{π}{5} )}{2}

Re-escribir usando identidades trigonométricas:

cos (\frac{π}{5}) = \frac{5 + 1}{4}

cos (\frac{π}{5})

Demostrar que:

cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}) = \frac{1}{2}

Utilizar el siguiente producto para la identidad de suma de ángulos:

2 sin (x) cos (y) = sin (x + y) - sin (x - y)

2 cos (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}) = sin (\frac{3 π}{10}) - sin (\frac{π}{10})

Demostrar que:

2 cos (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}) = \frac{1}{2}

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

sin (\frac{2 π}{5}) = 2 sin (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{5})

sin (\frac{2 π}{5}) sin (\frac{π}{5}) = 4 sin (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

Dividir ambos lados entre

sin (\frac{π}{5})

sin (\frac{2 π}{5}) = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

Usar la siguiente identidad:

sin (x) = cos (\frac{π}{2} - x)

sin (\frac{2 π}{5}) = cos (\frac{π}{2} - \frac{2 π}{5})

cos (\frac{π}{2} - \frac{2 π}{5}) = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

cos (\frac{π}{10}) = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

Dividir ambos lados entre

cos (\frac{π}{10})

1 = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5})

Dividir ambos lados entre

2

\frac{1}{2} = 2 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5})

Sustituir

\frac{1}{2} = 2 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5})

\frac{1}{2} = sin (\frac{3 π}{10}) - sin (\frac{π}{10})

sin (\frac{3 π}{10}) = cos (\frac{π}{2} - \frac{3 π}{10})

\frac{1}{2} = cos (\frac{π}{2} - \frac{3 π}{10}) - sin (\frac{π}{10})

\frac{1}{2} = cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10})

Demostrar que:

cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}) = \frac{5}{4}

Utilizar la regla de factorización:

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

a = cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10})

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} - (cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}))^{2} = ((cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10})) + (cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}))) ((cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10})) - (cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10})))

Simplificar

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} - (cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}))^{2} = 2 (2 cos (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}))

Demostrar que:

2 cos (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}) = \frac{1}{2}

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

sin (\frac{2 π}{5}) = 2 sin (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{5})

sin (\frac{2 π}{5}) sin (\frac{π}{5}) = 4 sin (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

Dividir ambos lados entre

sin (\frac{π}{5})

sin (\frac{2 π}{5}) = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

Usar la siguiente identidad:

sin (x) = cos (\frac{π}{2} - x)

sin (\frac{2 π}{5}) = cos (\frac{π}{2} - \frac{2 π}{5})

cos (\frac{π}{2} - \frac{2 π}{5}) = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

cos (\frac{π}{10}) = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

Dividir ambos lados entre

cos (\frac{π}{10})

1 = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5})

Dividir ambos lados entre

2

\frac{1}{2} = 2 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5})

Sustituir

2 cos (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}) = \frac{1}{2}

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} - (cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}))^{2} = 1

Sustituir

cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}) = \frac{1}{2}

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} - (\frac{1}{2})^{2} = 1

Simplificar

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} - \frac{1}{4} = 1

Sumar

\frac{1}{4}

a ambos lados

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 1 + \frac{1}{4}

Simplificar

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} = \frac{5}{4}

Obtener la raíz cuadrada de ambos lados

cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}) = \pm \frac{5}{4}

cos (\frac{π}{5})

no puede ser negativa

sin (\frac{π}{10})

no puede ser negativa

cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}) = \frac{5}{4}

Añadir las siguientes ecuaciones

cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}) = \frac{5}{2}

((cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10})) + (cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}))) = (\frac{5}{2} + \frac{1}{2})

Simplificar

cos (\frac{π}{5}) = \frac{5 + 1}{4}

= \frac{5 + 1}{4}

= \frac{1 - \frac{5 + 1}{4}}{2}

Simplificar

\frac{1 - \frac{5 + 1}{4}}{2} : \frac{2 3 - 5}{4}

\frac{1 - \frac{5 + 1}{4}}{2}

\frac{1 - \frac{5 + 1}{4}}{2} = \frac{3 - 5}{8}

\frac{1 - \frac{5 + 1}{4}}{2}

Simplificar

1 - \frac{5 + 1}{4}

en una fracción:

\frac{3 - 5}{4}

1 - \frac{5 + 1}{4}

Convertir a fracción:

1 = \frac{1 \cdot 4}{4}

= \frac{1 \cdot 4}{4} - \frac{5 + 1}{4}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 4 - ( 5 + 1 )}{4}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 4 = 4

= \frac{4 - ( 1 + 5 )}{4}

Expandir

4 - (5 + 1) : 3 - 5

4 - (5 + 1)

- (5 + 1) : - 5 - 1

- (5 + 1)

Poner los parentesis

= - (5) - (1)

Aplicar las reglas de los signos

+ (- a) = - a

= - 5 - 1

= 4 - 5 - 1

Restar:

4 - 1 = 3

= 3 - 5

= \frac{3 - 5}{4}

= \frac{\frac{3 - 5}{4}}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3 - 5}{4 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 2 = 8

= \frac{3 - 5}{8}

= \frac{3 - 5}{8}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{3 - 5}{8}

8 = 22

8

Descomposición en factores primos de

8 : 2^{3}

8

8

divida por

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 2 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 22

= \frac{3 - 5}{2 2}

Racionalizar

\frac{3 - 5}{2 2} : \frac{2 3 - 5}{4}

\frac{3 - 5}{2 2}

Multiplicar por el conjugado

\frac{2}{2}

= \frac{3 - 5 2}{2 2 2}

222 = 4

222

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

222 = 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

= 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

Sumar elementos similares:

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{1}{2}

= 2^{1 + 2 \cdot \frac{1}{2}}

2 \cdot \frac{1}{2} = 1

2 \cdot \frac{1}{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= 1

= 2^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= 2^{2}

2^{2} = 4

= 4

= \frac{2 3 - 5}{4}

= \frac{2 3 - 5}{4}

= \frac{2 3 - 5}{4}

= \frac{2 5 - 5}{4} + \frac{2 3 - 5}{4}

Simplificar

\frac{2 5 - 5}{4} + \frac{2 3 - 5}{4} : \frac{2 5 - 5 + 2 3 - 5}{4}

\frac{2 5 - 5}{4} + \frac{2 3 - 5}{4}

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 5 - 5 + 2 3 - 5}{4}

= \frac{2 5 - 5 + 2 3 - 5}{4}

Ejemplos populares

arcsin(1/(1.53))

arcsin (\frac{1}{1.53})

log_{2}(sec(pi/4))

lo g_{2} (sec (\frac{π}{4}))

sin(200)cos(80)-cos(200)sin(80)

sin (20 0^{\circ}) cos (8 0^{\circ}) - cos (20 0^{\circ}) sin (8 0^{\circ})

arcsin(1/(1.52))

arcsin (\frac{1}{1.52})

sqrt(2/(pi*0.1)tan((pi*0.1)/2))

\frac{2}{π \cdot 0.1} tan (\frac{π \cdot 0.1}{2})