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sin(t)+cos(2t)=0.75

Solution

sin (t) + cos (2 t) = 0.75

Solution

t = - 0.18405 \dots + 2 πn, t = π + 0.18405 \dots + 2 πn, t = 0.75187 \dots + 2 πn, t = π - 0.75187 \dots + 2 πn

Degrés

t = - 10.54529 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, t = 190.54529 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, t = 43.07951 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, t = 136.92048 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

sin (t) + cos (2 t) = 0.75

Soustraire

0.75

des deux côtés

sin (t) + cos (2 t) - 0.75 = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

- 0.75 + cos (2 t) + sin (t)

Utiliser l'identité d'angle double:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= - 0.75 + 1 - 2 sin^{2} (t) + sin (t)

Simplifier

= sin (t) - 2 sin^{2} (t) + 0.25

0.25 + sin (t) - 2 sin^{2} (t) = 0

Résoudre par substitution

0.25 + sin (t) - 2 sin^{2} (t) = 0

Soit :

sin (t) = u

0.25 + u - 2 u^{2} = 0

0.25 + u - 2 u^{2} = 0 : u = - \frac{- 1 + 3}{4}, u = \frac{1 + 3}{4}

0.25 + u - 2 u^{2} = 0

Multiplier les deux côtés par

100

0.25 + u - 2 u^{2} = 0

To eliminate decimal points, multiply by 10 for every digit after the decimal pointThere are

2

digits to the right of the decimal point, therefore multiply by

100

0.25 \cdot 100 + u \cdot 100 - 2 u^{2} \cdot 100 = 0 \cdot 100

Redéfinir

25 + 100 u - 200 u^{2} = 0

25 + 100 u - 200 u^{2} = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

- 200 u^{2} + 100 u + 25 = 0

Résoudre par la formule quadratique

- 200 u^{2} + 100 u + 25 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = - 200, b = 100, c = 25

u_{1, 2} = \frac{- 100 \pm 10 0 ^{2} - 4 ( - 200 ) \cdot 25}{2 ( - 200 )}

u_{1, 2} = \frac{- 100 \pm 10 0 ^{2} - 4 ( - 200 ) \cdot 25}{2 ( - 200 )}

10 0^{2} - 4 (- 200) \cdot 25 = 1003

10 0^{2} - 4 (- 200) \cdot 25

Appliquer la règle

- (- a) = a

= 10 0^{2} + 4 \cdot 200 \cdot 25

Multiplier les nombres :

4 \cdot 200 \cdot 25 = 20000

= 10 0^{2} + 20000

10 0^{2} = 10000

= 10000 + 20000

Additionner les nombres :

10000 + 20000 = 30000

= 30000

Factorisation première de

30000 : 2^{4} \cdot 3 \cdot 5^{4}

30000

30000

divisée par

230000 = 15000 \cdot 2

= 2 \cdot 15000

15000

divisée par

215000 = 7500 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 7500

7500

divisée par

27500 = 3750 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3750

3750

divisée par

23750 = 1875 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1875

1875

divisée par

31875 = 625 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 625

625

divisée par

5625 = 125 \cdot 5

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 125

125

divisée par

5125 = 25 \cdot 5

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 25

25

divisée par

525 = 5 \cdot 5

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5

2, 3, 5

sont tous des nombres premiers, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5

= 2^{4} \cdot 3 \cdot 5^{4}

= 2^{4} \cdot 5^{4} \cdot 3

Appliquer la règle des radicaux:

= 3 2^{4} 5^{4}

Appliquer la règle des radicaux:

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 3 5^{4}

Appliquer la règle des radicaux:

5^{4} = 5^{\frac{4}{2}} = 5^{2}

= 2^{2} \cdot 5^{2} 3

Redéfinir

= 1003

u_{1, 2} = \frac{- 100 \pm 100 3}{2 ( - 200 )}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- 100 + 100 3}{2 ( - 200 )}, u_{2} = \frac{- 100 - 100 3}{2 ( - 200 )}

u = \frac{- 100 + 100 3}{2 ( - 200 )} : - \frac{- 1 + 3}{4}

\frac{- 100 + 100 3}{2 ( - 200 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a

= \frac{- 100 + 100 3}{- 2 \cdot 200}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 200 = 400

= \frac{- 100 + 100 3}{- 400}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 100 + 100 3}{400}

Annuler

\frac{- 100 + 100 3}{400} : \frac{3 - 1}{4}

\frac{- 100 + 100 3}{400}

Factoriser

- 100 + 1003 : 100 (- 1 + 3)

- 100 + 1003

Récrire comme

= - 100 \cdot 1 + 1003

Factoriser le terme commun

100

= 100 (- 1 + 3)

= \frac{100 ( - 1 + 3 )}{400}

Annuler le facteur commun :

100

= \frac{- 1 + 3}{4}

= - \frac{3 - 1}{4}

= - \frac{- 1 + 3}{4}

u = \frac{- 100 - 100 3}{2 ( - 200 )} : \frac{1 + 3}{4}

\frac{- 100 - 100 3}{2 ( - 200 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a

= \frac{- 100 - 100 3}{- 2 \cdot 200}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 200 = 400

= \frac{- 100 - 100 3}{- 400}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 100 - 1003 = - (100 + 1003)

= \frac{100 + 100 3}{400}

Factoriser

100 + 1003 : 100 (1 + 3)

100 + 1003

Récrire comme

= 100 \cdot 1 + 1003

Factoriser le terme commun

100

= 100 (1 + 3)

= \frac{100 ( 1 + 3 )}{400}

Annuler le facteur commun :

100

= \frac{1 + 3}{4}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = - \frac{- 1 + 3}{4}, u = \frac{1 + 3}{4}

Remplacer

u = sin (t)

sin (t) = - \frac{- 1 + 3}{4}, sin (t) = \frac{1 + 3}{4}

sin (t) = - \frac{- 1 + 3}{4}, sin (t) = \frac{1 + 3}{4}

sin (t) = - \frac{- 1 + 3}{4} : t = arcsin (- \frac{- 1 + 3}{4}) + 2 πn, t = π + arcsin (\frac{- 1 + 3}{4}) + 2 πn

sin (t) = - \frac{- 1 + 3}{4}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

sin (t) = - \frac{- 1 + 3}{4}

Solutions générales pour

sin (t) = - \frac{- 1 + 3}{4}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

t = arcsin (- \frac{- 1 + 3}{4}) + 2 πn, t = π + arcsin (\frac{- 1 + 3}{4}) + 2 πn

t = arcsin (- \frac{- 1 + 3}{4}) + 2 πn, t = π + arcsin (\frac{- 1 + 3}{4}) + 2 πn

sin (t) = \frac{1 + 3}{4} : t = arcsin (\frac{1 + 3}{4}) + 2 πn, t = π - arcsin (\frac{1 + 3}{4}) + 2 πn

sin (t) = \frac{1 + 3}{4}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

sin (t) = \frac{1 + 3}{4}

Solutions générales pour

sin (t) = \frac{1 + 3}{4}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

t = arcsin (\frac{1 + 3}{4}) + 2 πn, t = π - arcsin (\frac{1 + 3}{4}) + 2 πn

t = arcsin (\frac{1 + 3}{4}) + 2 πn, t = π - arcsin (\frac{1 + 3}{4}) + 2 πn

Combiner toutes les solutions

t = arcsin (- \frac{- 1 + 3}{4}) + 2 πn, t = π + arcsin (\frac{- 1 + 3}{4}) + 2 πn, t = arcsin (\frac{1 + 3}{4}) + 2 πn, t = π - arcsin (\frac{1 + 3}{4}) + 2 πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

t = - 0.18405 \dots + 2 πn, t = π + 0.18405 \dots + 2 πn, t = 0.75187 \dots + 2 πn, t = π - 0.75187 \dots + 2 πn

Exemples populaires

2cos(x)=cot(x)

2 cos (x) = cot (x)

sqrt(3)cos(x)+sin(x)=2

3 cos (x) + sin (x) = 2

cos(2t)-cos(t)=-0.5

cos (2 t) - cos (t) = - 0.5

sin^2(x)-cos(x)+1=0

sin^{2} (x) - cos (x) + 1 = 0

tan(2x)=2sin(x)

tan (2 x) = 2 sin (x)