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2cos(x)+2sqrt(2)=3sec(x)

Solución

2 cos (x) + 22 = 3 sec (x)

Solución

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Grados

x = 4 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 31 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

2 cos (x) + 22 = 3 sec (x)

Restar

3 sec (x)

de ambos lados

2 cos (x) + 22 - 3 sec (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

2 cos (x) + 22 - 3 sec (x)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

= 2 \cdot \frac{1}{sec ( x )} + 22 - 3 sec (x)

2 \cdot \frac{1}{sec ( x )} = \frac{2}{sec ( x )}

2 \cdot \frac{1}{sec ( x )}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{sec ( x )}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{sec ( x )}

= \frac{2}{sec ( x )} + 22 - 3 sec (x)

\frac{2}{sec ( x )} + 22 - 3 sec (x) = 0

Usando el método de sustitución

\frac{2}{sec ( x )} + 22 - 3 sec (x) = 0

Sea:

sec (x) = u

\frac{2}{u} + 22 - 3 u = 0

\frac{2}{u} + 22 - 3 u = 0 : u = - \frac{2}{3}, u = 2

\frac{2}{u} + 22 - 3 u = 0

Multiplicar ambos lados por

u

\frac{2}{u} + 22 - 3 u = 0

Multiplicar ambos lados por

u

\frac{2}{u} u + 22 u - 3 uu = 0 \cdot u

Simplificar

\frac{2}{u} u + 22 u - 3 uu = 0 \cdot u

Simplificar

\frac{2}{u} u : 2

\frac{2}{u} u

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 u}{u}

Eliminar los terminos comunes:

u

= 2

Simplificar

- 3 uu : - 3 u^{2}

- 3 uu

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= - 3 u^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= - 3 u^{2}

Simplificar

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Aplicar la regla

0 \cdot a = 0

= 0

2 + 22 u - 3 u^{2} = 0

2 + 22 u - 3 u^{2} = 0

2 + 22 u - 3 u^{2} = 0

Resolver

2 + 22 u - 3 u^{2} = 0 : u = - \frac{2}{3}, u = 2

2 + 22 u - 3 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 3 u^{2} + 22 u + 2 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 3 u^{2} + 22 u + 2 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 3, b = 22, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- 2 2 \pm ( 2 2 ) ^{2} - 4 ( - 3 ) \cdot 2}{2 ( - 3 )}

u_{1, 2} = \frac{- 2 2 \pm ( 2 2 ) ^{2} - 4 ( - 3 ) \cdot 2}{2 ( - 3 )}

(22)^{2} - 4 (- 3) \cdot 2 = 42

(22)^{2} - 4 (- 3) \cdot 2

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (22)^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 2

(22)^{2} = 2^{3}

(22)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 2^{2} (2)^{2}

(2)^{2} : 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (2^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= 1

= 2

= 2^{2} \cdot 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

2^{2} \cdot 2 = 2^{2 + 1}

= 2^{2 + 1}

Sumar:

2 + 1 = 3

= 2^{3}

4 \cdot 3 \cdot 2 = 24

4 \cdot 3 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 3 \cdot 2 = 24

= 24

= 2^{3} + 24

2^{3} = 8

= 8 + 24

Sumar:

8 + 24 = 32

= 32

Descomposición en factores primos de

32 : 2^{5}

32

32

divida por

232 = 16 \cdot 2

= 2 \cdot 16

16

divida por

216 = 8 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 8

8

divida por

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{5}

= 2^{5}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{4} \cdot 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 2 2^{4}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 2

Simplificar

= 42

u_{1, 2} = \frac{- 2 2 \pm 4 2}{2 ( - 3 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 2 2 + 4 2}{2 ( - 3 )}, u_{2} = \frac{- 2 2 - 4 2}{2 ( - 3 )}

u = \frac{- 2 2 + 4 2}{2 ( - 3 )} : - \frac{2}{3}

\frac{- 2 2 + 4 2}{2 ( - 3 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 2 2 + 4 2}{- 2 \cdot 3}

Sumar elementos similares:

- 22 + 42 = 22

= \frac{2 2}{- 2 \cdot 3}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{2 2}{- 6}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 2}{6}

Eliminar los terminos comunes:

2

= - \frac{2}{3}

u = \frac{- 2 2 - 4 2}{2 ( - 3 )} : 2

\frac{- 2 2 - 4 2}{2 ( - 3 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 2 2 - 4 2}{- 2 \cdot 3}

Sumar elementos similares:

- 22 - 42 = - 62

= \frac{- 6 2}{- 2 \cdot 3}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 6 2}{- 6}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{6 2}{6}

Dividir:

\frac{6}{6} = 1

= 2

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - \frac{2}{3}, u = 2

u = - \frac{2}{3}, u = 2

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

u = 0

Tomar el(los) denominador(es) de

\frac{2}{u} + 22 - 3 u

y comparar con cero

u = 0

Los siguientes puntos no están definidos

u = 0

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

u = - \frac{2}{3}, u = 2

Sustituir en la ecuación

u = sec (x)

sec (x) = - \frac{2}{3}, sec (x) = 2

sec (x) = - \frac{2}{3}, sec (x) = 2

sec (x) = - \frac{2}{3} :

Sin solución

sec (x) = - \frac{2}{3}

sec (x) \leq - 1 or sec (x) \geq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

sec (x) = 2 : x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

sec (x) = 2

Soluciones generales para

sec (x) = 2

sec (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Ejemplos populares

cot^2(x)-3cot(x)-2=0

cot^{2} (x) - 3 cot (x) - 2 = 0

cos(x-75)= 1/2

cos (x - 7 5^{\circ}) = \frac{1}{2}

sin(2x-23)=-(sqrt(2))/2

sin (2 x - 2 3^{\circ}) = - \frac{2}{2}

tan^2(x)-sec(x)=-1

tan^{2} (x) - sec (x) = - 1

sin^2(x)=((10m-5))/2

sin^{2} (x) = \frac{( 10 m - 5 )}{2}