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csc(θ)-sin(θ)=cot(θ)csc(θ)

Solución

csc (θ) - sin (θ) = cot (θ) csc (θ)

Solución

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Grados

θ = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

csc (θ) - sin (θ) = cot (θ) csc (θ)

Restar

cot (θ) csc (θ)

de ambos lados

csc (θ) - sin (θ) - cot (θ) csc (θ) = 0

Expresar con seno, coseno

csc (θ) - sin (θ) - cot (θ) csc (θ)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( θ )} - sin (θ) - cot (θ) \frac{1}{sin ( θ )}

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( θ )} - sin (θ) - \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{sin ( θ )}

Simplificar

\frac{1}{sin ( θ )} - sin (θ) - \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{sin ( θ )} : \frac{sin ( θ ) - sin ^{3} ( θ ) - cos ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

\frac{1}{sin ( θ )} - sin (θ) - \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{sin ( θ )}

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{sin ( θ )} = \frac{cos ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{sin ( θ )}

Multiplicar fracciones:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{cos ( θ ) \cdot 1}{sin ( θ ) sin ( θ )}

Multiplicar:

cos (θ) \cdot 1 = cos (θ)

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ ) sin ( θ )}

sin (θ) sin (θ) = sin^{2} (θ)

sin (θ) sin (θ)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (θ) sin (θ) = sin^{1 + 1} (θ)

= sin^{1 + 1} (θ)

Sumar:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (θ)

= \frac{cos ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{sin ( θ )} - sin (θ) - \frac{cos ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Convertir a fracción:

sin (θ) = \frac{sin ( θ )}{1}

= \frac{1}{sin ( θ )} - \frac{sin ( θ )}{1} - \frac{cos ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Mínimo común múltiplo de

sin (θ), 1, sin^{2} (θ) : sin^{2} (θ)

sin (θ), 1, sin^{2} (θ)

Mínimo común múltiplo (MCM)

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan en al menos una de las expresiones factorizadas

= sin^{2} (θ)

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{1}{sin ( θ )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

sin (θ)

\frac{1}{sin ( θ )} = \frac{1 \cdot sin ( θ )}{sin ( θ ) sin ( θ )} = \frac{sin ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Para

\frac{sin ( θ )}{1} :

multiplicar el denominador y el numerador por

sin^{2} (θ)

\frac{sin ( θ )}{1} = \frac{sin ( θ ) sin ^{2} ( θ )}{1 \cdot sin ^{2} ( θ )} = \frac{sin ^{3} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{sin ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} - \frac{sin ^{3} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} - \frac{cos ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( θ ) - sin ^{3} ( θ ) - cos ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{sin ( θ ) - sin ^{3} ( θ ) - cos ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

\frac{- cos ( θ ) + sin ( θ ) - sin ^{3} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- cos (θ) + sin (θ) - sin^{3} (θ) = 0

Aplicar regla de los exponentes:

a^{b} = a^{2} a^{b - 2}

- cos (θ) + sin (θ) - sin (θ) sin^{2} (θ) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- cos (θ) + sin (θ) - sin (θ) sin^{2} (θ)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - cos (θ) + sin (θ) - sin (θ) (1 - cos^{2} (θ))

Simplificar

- cos (θ) + sin (θ) - sin (θ) (1 - cos^{2} (θ)) : - cos (θ) + cos^{2} (θ) sin (θ)

- cos (θ) + sin (θ) - sin (θ) (1 - cos^{2} (θ))

Expandir

- sin (θ) (1 - cos^{2} (θ)) : - sin (θ) + cos^{2} (θ) sin (θ)

- sin (θ) (1 - cos^{2} (θ))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - sin (θ), b = 1, c = cos^{2} (θ)

= - sin (θ) \cdot 1 - (- sin (θ)) cos^{2} (θ)

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a

= - 1 \cdot sin (θ) + cos^{2} (θ) sin (θ)

Multiplicar:

1 \cdot sin (θ) = sin (θ)

= - sin (θ) + cos^{2} (θ) sin (θ)

= - cos (θ) + sin (θ) - sin (θ) + cos^{2} (θ) sin (θ)

Sumar elementos similares:

sin (θ) - sin (θ) = 0

= - cos (θ) + cos^{2} (θ) sin (θ)

= - cos (θ) + cos^{2} (θ) sin (θ)

- cos (θ) + cos^{2} (θ) sin (θ) = 0

Factorizar

- cos (θ) + cos^{2} (θ) sin (θ) : cos (θ) (- 1 + sin (θ) cos (θ))

- cos (θ) + cos^{2} (θ) sin (θ)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

sin (θ) cos^{2} (θ) = cos (θ) cos (θ)

= - cos (θ) + cos (θ) cos (θ)

Factorizar el termino común

cos (θ)

= cos (θ) (- 1 + sin (θ) cos (θ))

cos (θ) (- 1 + sin (θ) cos (θ)) = 0

Resolver cada parte por separado

cos (θ) = 0 or - 1 + sin (θ) cos (θ) = 0

cos (θ) = 0 : θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (θ) = 0

Soluciones generales para

cos (θ) = 0

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

- 1 + sin (θ) cos (θ) = 0 :

Sin solución

- 1 + sin (θ) cos (θ) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 1 + sin (θ) cos (θ)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

sin (x) cos (x) = \frac{sin ( 2 x )}{2}

= - 1 + \frac{sin ( 2 θ )}{2}

- 1 + \frac{sin ( 2 θ )}{2} = 0

Mover

1

al lado derecho

- 1 + \frac{sin ( 2 θ )}{2} = 0

Sumar

1

a ambos lados

- 1 + \frac{sin ( 2 θ )}{2} + 1 = 0 + 1

Simplificar

\frac{sin ( 2 θ )}{2} = 1

\frac{sin ( 2 θ )}{2} = 1

Multiplicar ambos lados por

2

\frac{sin ( 2 θ )}{2} = 1

Multiplicar ambos lados por

2

\frac{2 sin ( 2 θ )}{2} = 1 \cdot 2

Simplificar

sin (2 θ) = 2

sin (2 θ) = 2

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Ejemplos populares

2cos^2(θ)+2cos(θ)=0

2 cos^{2} (θ) + 2 cos (θ) = 0

2sin^2(x)+cos(x)-2=0

2 sin^{2} (x) + cos (x) - 2 = 0

8-4cos^2(x)+8sin(x)=9

8 - 4 cos^{2} (x) + 8 sin (x) = 9

6tan(x)-3=8tan(x)+5

6 tan (x) - 3 = 8 tan (x) + 5

2sin(x)=-0.684

2 sin (x) = - 0.684