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tan(3x)+cos(6x)=1

Solución

tan (3 x) + cos (6 x) = 1

Solución

x = \frac{2 πn}{3}, x = \frac{π + 2 πn}{3}, x = \frac{π + 4 πn}{12}

Grados

x = 0^{\circ} + 12 0^{\circ} n, x = 6 0^{\circ} + 12 0^{\circ} n, x = 1 5^{\circ} + 6 0^{\circ} n

Pasos de solución

tan (3 x) + cos (6 x) = 1

Restar

1

de ambos lados

tan (3 x) + cos (6 x) - 1 = 0

Sea:

u = 3 x

tan (u) + cos (2 u) - 1 = 0

Expresar con seno, coseno

- 1 + cos (2 u) + tan (u)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= - 1 + cos (2 u) + \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

Simplificar

- 1 + cos (2 u) + \frac{sin ( u )}{cos ( u )} : \frac{- cos ( u ) + cos ( 2 u ) cos ( u ) + sin ( u )}{cos ( u )}

- 1 + cos (2 u) + \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

Convertir a fracción:

1 = \frac{1 cos ( u )}{cos ( u )}, cos (2 u) = \frac{cos ( 2 u ) cos ( u )}{cos ( u )}

= - \frac{1 \cdot cos ( u )}{cos ( u )} + \frac{cos ( 2 u ) cos ( u )}{cos ( u )} + \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot cos ( u ) + cos ( 2 u ) cos ( u ) + sin ( u )}{cos ( u )}

Multiplicar:

1 \cdot cos (u) = cos (u)

= \frac{- cos ( u ) + cos ( 2 u ) cos ( u ) + sin ( u )}{cos ( u )}

= \frac{- cos ( u ) + cos ( 2 u ) cos ( u ) + sin ( u )}{cos ( u )}

\frac{- cos ( u ) + sin ( u ) + cos ( 2 u ) cos ( u )}{cos ( u )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- cos (u) + sin (u) + cos (2 u) cos (u) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- cos (u) + sin (u) + cos (2 u) cos (u)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= - cos (u) + sin (u) + (1 - 2 sin^{2} (u)) cos (u)

Simplificar

- cos (u) + sin (u) + (1 - 2 sin^{2} (u)) cos (u) : sin (u) - 2 sin^{2} (u) cos (u)

- cos (u) + sin (u) + (1 - 2 sin^{2} (u)) cos (u)

= - cos (u) + sin (u) + cos (u) (1 - 2 sin^{2} (u))

Expandir

cos (u) (1 - 2 sin^{2} (u)) : cos (u) - 2 sin^{2} (u) cos (u)

cos (u) (1 - 2 sin^{2} (u))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = cos (u), b = 1, c = 2 sin^{2} (u)

= cos (u) \cdot 1 - cos (u) \cdot 2 sin^{2} (u)

= 1 \cdot cos (u) - 2 sin^{2} (u) cos (u)

Multiplicar:

1 \cdot cos (u) = cos (u)

= cos (u) - 2 sin^{2} (u) cos (u)

= - cos (u) + sin (u) + cos (u) - 2 sin^{2} (u) cos (u)

Sumar elementos similares:

- cos (u) + cos (u) = 0

= sin (u) - 2 sin^{2} (u) cos (u)

= sin (u) - 2 sin^{2} (u) cos (u)

sin (u) - 2 cos (u) sin^{2} (u) = 0

Factorizar

sin (u) - 2 cos (u) sin^{2} (u) : sin (u) (1 - 2 sin (u) cos (u))

sin (u) - 2 cos (u) sin^{2} (u)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

sin^{2} (u) cos (u) = sin (u) sin (u)

= sin (u) - 2 sin (u) sin (u)

Factorizar el termino común

sin (u)

= sin (u) (1 - 2 sin (u) cos (u))

sin (u) (1 - 2 sin (u) cos (u)) = 0

Resolver cada parte por separado

sin (u) = 0 or 1 - 2 sin (u) cos (u) = 0

sin (u) = 0 : u = 2 πn, u = π + 2 πn

sin (u) = 0

Soluciones generales para

sin (u) = 0

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

u = 0 + 2 πn, u = π + 2 πn

u = 0 + 2 πn, u = π + 2 πn

Resolver

u = 0 + 2 πn : u = 2 πn

u = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

u = 2 πn

u = 2 πn, u = π + 2 πn

1 - 2 sin (u) cos (u) = 0 : u = \frac{π}{4} + πn

1 - 2 sin (u) cos (u) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

1 - 2 sin (u) cos (u)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

= 1 - sin (2 u)

1 - sin (2 u) = 0

Mover

1

al lado derecho

1 - sin (2 u) = 0

Restar

1

de ambos lados

1 - sin (2 u) - 1 = 0 - 1

Simplificar

- sin (2 u) = - 1

- sin (2 u) = - 1

Dividir ambos lados entre

- 1

- sin (2 u) = - 1

Dividir ambos lados entre

- 1

\frac{- sin ( 2 u )}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

Simplificar

sin (2 u) = 1

sin (2 u) = 1

Soluciones generales para

sin (2 u) = 1

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

2 u = \frac{π}{2} + 2 πn

2 u = \frac{π}{2} + 2 πn

Resolver

2 u = \frac{π}{2} + 2 πn : u = \frac{π}{4} + πn

2 u = \frac{π}{2} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

2 u = \frac{π}{2} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

\frac{2 u}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

\frac{2 u}{2} : u

\frac{2 u}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= u

Simplificar

\frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{π}{4} + πn

\frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{2}}{2} = \frac{π}{4}

\frac{\frac{π}{2}}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{π}{4}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{π}{4} + πn

u = \frac{π}{4} + πn

u = \frac{π}{4} + πn

u = \frac{π}{4} + πn

u = \frac{π}{4} + πn

Combinar toda las soluciones

u = 2 πn, u = π + 2 πn, u = \frac{π}{4} + πn

Sustituir en la ecuación

u = 3 x

3 x = 2 πn : x = \frac{2 πn}{3}

3 x = 2 πn

Dividir ambos lados entre

3

3 x = 2 πn

Dividir ambos lados entre

3

\frac{3 x}{3} = \frac{2 πn}{3}

Simplificar

x = \frac{2 πn}{3}

x = \frac{2 πn}{3}

3 x = π + 2 πn : x = \frac{π + 2 πn}{3}

3 x = π + 2 πn

Dividir ambos lados entre

3

3 x = π + 2 πn

Dividir ambos lados entre

3

\frac{3 x}{3} = \frac{π}{3} + \frac{2 πn}{3}

Simplificar

\frac{3 x}{3} = \frac{π}{3} + \frac{2 πn}{3}

Simplificar

\frac{3 x}{3} : x

\frac{3 x}{3}

Dividir:

\frac{3}{3} = 1

= x

Simplificar

\frac{π}{3} + \frac{2 πn}{3} : \frac{π + 2 πn}{3}

\frac{π}{3} + \frac{2 πn}{3}

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π + 2 πn}{3}

x = \frac{π + 2 πn}{3}

x = \frac{π + 2 πn}{3}

x = \frac{π + 2 πn}{3}

3 x = \frac{π}{4} + πn : x = \frac{π + 4 πn}{12}

3 x = \frac{π}{4} + πn

Dividir ambos lados entre

3

3 x = \frac{π}{4} + πn

Dividir ambos lados entre

3

\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{4}}{3} + \frac{πn}{3}

Simplificar

\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{4}}{3} + \frac{πn}{3}

Simplificar

\frac{3 x}{3} : x

\frac{3 x}{3}

Dividir:

\frac{3}{3} = 1

= x

Simplificar

\frac{\frac{π}{4}}{3} + \frac{πn}{3} : \frac{π + 4 πn}{12}

\frac{\frac{π}{4}}{3} + \frac{πn}{3}

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{\frac{π}{4} + πn}{3}

Simplificar

\frac{π}{4} + πn

en una fracción:

\frac{π + 4 πn}{4}

\frac{π}{4} + πn

Convertir a fracción:

πn = \frac{πn 4}{4}

= \frac{π}{4} + \frac{πn \cdot 4}{4}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π + πn \cdot 4}{4}

= \frac{\frac{π + 4 πn}{4}}{3}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π + πn \cdot 4}{4 \cdot 3}

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 3 = 12

= \frac{π + 4 πn}{12}

x = \frac{π + 4 πn}{12}

x = \frac{π + 4 πn}{12}

x = \frac{π + 4 πn}{12}

x = \frac{2 πn}{3}, x = \frac{π + 2 πn}{3}, x = \frac{π + 4 πn}{12}

Ejemplos populares

sec(θ)+tan(θ)=2

sec (θ) + tan (θ) = 2

sin^2(θ)=2cos(θ)+2,0<= θ<= 2pi

sin^{2} (θ) = 2 cos (θ) + 2, 0 \leq θ \leq 2 π

sin(x)=-0.3

sin (x) = - 0.3

-sin(x)+cos(x)=0,-pi<= x<= pi

- sin (x) + cos (x) = 0, - π \leq x \leq π

2sqrt(3)cos(x)-4sin(x)cos(x)=0

23 cos (x) - 4 sin (x) cos (x) = 0