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6sin(x)+cos^2(x)=2

Solución

6 sin (x) + cos^{2} (x) = 2

Solución

x = 0.17242 \dots + 2 πn, x = π - 0.17242 \dots + 2 πn

Grados

x = 9.87928 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 170.12071 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

6 sin (x) + cos^{2} (x) = 2

Restar

2

de ambos lados

6 sin (x) + cos^{2} (x) - 2 = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 2 + cos^{2} (x) + 6 sin (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 2 + 1 - sin^{2} (x) + 6 sin (x)

Simplificar

= 6 sin (x) - sin^{2} (x) - 1

- 1 - sin^{2} (x) + 6 sin (x) = 0

Usando el método de sustitución

- 1 - sin^{2} (x) + 6 sin (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

- 1 - u^{2} + 6 u = 0

- 1 - u^{2} + 6 u = 0 : u = 3 - 22, u = 3 + 22

- 1 - u^{2} + 6 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} + 6 u - 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- u^{2} + 6 u - 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 1, b = 6, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 6 ^{2} - 4 ( - 1 ) ( - 1 )}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 6 ^{2} - 4 ( - 1 ) ( - 1 )}{2 ( - 1 )}

6^{2} - 4 (- 1) (- 1) = 42

6^{2} - 4 (- 1) (- 1)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 6^{2} - 4

6^{2} = 36

= 36 - 4

Restar:

36 - 4 = 32

= 32

Descomposición en factores primos de

32 : 2^{5}

32

32

divida por

232 = 16 \cdot 2

= 2 \cdot 16

16

divida por

216 = 8 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 8

8

divida por

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{5}

= 2^{5}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{4} \cdot 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 2 2^{4}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 2

Simplificar

= 42

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 4 2}{2 ( - 1 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 6 + 4 2}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- 6 - 4 2}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- 6 + 4 2}{2 ( - 1 )} : 3 - 22

\frac{- 6 + 4 2}{2 ( - 1 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 6 + 4 2}{- 2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 6 + 4 2}{- 2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 6 + 42 = - (6 - 42)

= \frac{6 - 4 2}{2}

Factorizar

6 - 42 : 2 (3 - 22)

6 - 42

Reescribir como

= 2 \cdot 3 - 2 \cdot 22

Factorizar el termino común

2

= 2 (3 - 22)

= \frac{2 ( 3 - 2 2 )}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= 3 - 22

u = \frac{- 6 - 4 2}{2 ( - 1 )} : 3 + 22

\frac{- 6 - 4 2}{2 ( - 1 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 6 - 4 2}{- 2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 6 - 4 2}{- 2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 6 - 42 = - (6 + 42)

= \frac{6 + 4 2}{2}

Factorizar

6 + 42 : 2 (3 + 22)

6 + 42

Reescribir como

= 2 \cdot 3 + 2 \cdot 22

Factorizar el termino común

2

= 2 (3 + 22)

= \frac{2 ( 3 + 2 2 )}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= 3 + 22

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = 3 - 22, u = 3 + 22

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) = 3 - 22, sin (x) = 3 + 22

sin (x) = 3 - 22, sin (x) = 3 + 22

sin (x) = 3 - 22 : x = arcsin (3 - 22) + 2 πn, x = π - arcsin (3 - 22) + 2 πn

sin (x) = 3 - 22

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sin (x) = 3 - 22

Soluciones generales para

sin (x) = 3 - 22

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (3 - 22) + 2 πn, x = π - arcsin (3 - 22) + 2 πn

x = arcsin (3 - 22) + 2 πn, x = π - arcsin (3 - 22) + 2 πn

sin (x) = 3 + 22 :

Sin solución

sin (x) = 3 + 22

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

x = arcsin (3 - 22) + 2 πn, x = π - arcsin (3 - 22) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 0.17242 \dots + 2 πn, x = π - 0.17242 \dots + 2 πn

Ejemplos populares

5=10sin(x)

5 = 10 sin (x)

-3cos(θ)=0

- 3 cos (θ) = 0

8sin(x)+7=4cos^2(x)

8 sin (x) + 7 = 4 cos^{2} (x)

tanh(x)= 1/2

tanh (x) = \frac{1}{2}

sqrt(2)cos(x)-sqrt(2)sin(x)=2

2 cos (x) - 2 sin (x) = 2