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cos(2θ)+3cos(θ)=1

Solution

cos (2 θ) + 3 cos (θ) = 1

Solution

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Degrés

θ = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

cos (2 θ) + 3 cos (θ) = 1

Soustraire

1

des deux côtés

cos (2 θ) + 3 cos (θ) - 1 = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

- 1 + cos (2 θ) + 3 cos (θ)

Utiliser l'identité d'angle double:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= - 1 + 2 cos^{2} (θ) - 1 + 3 cos (θ)

Simplifier

- 1 + 2 cos^{2} (θ) - 1 + 3 cos (θ) : 2 cos^{2} (θ) + 3 cos (θ) - 2

- 1 + 2 cos^{2} (θ) - 1 + 3 cos (θ)

Grouper comme termes

= 2 cos^{2} (θ) + 3 cos (θ) - 1 - 1

Soustraire les nombres :

- 1 - 1 = - 2

= 2 cos^{2} (θ) + 3 cos (θ) - 2

= 2 cos^{2} (θ) + 3 cos (θ) - 2

- 2 + 2 cos^{2} (θ) + 3 cos (θ) = 0

Résoudre par substitution

- 2 + 2 cos^{2} (θ) + 3 cos (θ) = 0

Soit :

cos (θ) = u

- 2 + 2 u^{2} + 3 u = 0

- 2 + 2 u^{2} + 3 u = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - 2

- 2 + 2 u^{2} + 3 u = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} + 3 u - 2 = 0

Résoudre par la formule quadratique

2 u^{2} + 3 u - 2 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 2, b = 3, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 2 )}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 2 )}{2 \cdot 2}

3^{2} - 4 \cdot 2 (- 2) = 5

3^{2} - 4 \cdot 2 (- 2)

Appliquer la règle

- (- a) = a

= 3^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 2

Multiplier les nombres :

4 \cdot 2 \cdot 2 = 16

= 3^{2} + 16

3^{2} = 9

= 9 + 16

Additionner les nombres :

9 + 16 = 25

= 25

Factoriser le nombre :

25 = 5^{2}

= 5^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

5^{2} = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 5}{2 \cdot 2}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- 3 + 5}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- 3 - 5}{2 \cdot 2}

u = \frac{- 3 + 5}{2 \cdot 2} : \frac{1}{2}

\frac{- 3 + 5}{2 \cdot 2}

Additionner/Soustraire les nombres :

- 3 + 5 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2}{4}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{1}{2}

u = \frac{- 3 - 5}{2 \cdot 2} : - 2

\frac{- 3 - 5}{2 \cdot 2}

Soustraire les nombres :

- 3 - 5 = - 8

= \frac{- 8}{2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 8}{4}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{4}

Diviser les nombres :

\frac{8}{4} = 2

= - 2

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = \frac{1}{2}, u = - 2

Remplacer

u = cos (θ)

cos (θ) = \frac{1}{2}, cos (θ) = - 2

cos (θ) = \frac{1}{2}, cos (θ) = - 2

cos (θ) = \frac{1}{2} : θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = \frac{1}{2}

Solutions générales pour

cos (θ) = \frac{1}{2}

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = - 2 :

Aucune solution

cos (θ) = - 2

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Aucune solution

Combiner toutes les solutions

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Exemples populaires

coth(x)=1

coth (x) = 1

sin(3x)+sin(x)=cos(x)

sin (3 x) + sin (x) = cos (x)

sin^2(θ)-2=sin(θ),-pi<= x<= 2pi

sin^{2} (θ) - 2 = sin (θ), - π \leq x \leq 2 π

sin(2x)=cos(x/2)

sin (2 x) = cos (\frac{x}{2})

5-7sin(x)-2cos^2(x)=0

5 - 7 sin (x) - 2 cos^{2} (x) = 0