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3tan^3(x)-2tan^2(x)-32tan(x)-32=0

解

3 tan^{3} (x) - 2 tan^{2} (x) - 32 tan (x) - 32 = 0

解

x = - 1.10714 \dots + πn, x = - 0.92729 \dots + πn, x = 1.32581 \dots + πn

+1

度

x = - 63.43494 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = - 53.13010 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 75.96375 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n

解答ステップ

3 tan^{3} (x) - 2 tan^{2} (x) - 32 tan (x) - 32 = 0

置換で解く

3 tan^{3} (x) - 2 tan^{2} (x) - 32 tan (x) - 32 = 0

仮定:

tan (x) = u

3 u^{3} - 2 u^{2} - 32 u - 32 = 0

3 u^{3} - 2 u^{2} - 32 u - 32 = 0 : u = - 2, u = - \frac{4}{3}, u = 4

3 u^{3} - 2 u^{2} - 32 u - 32 = 0

因数

3 u^{3} - 2 u^{2} - 32 u - 32 : (u + 2) (3 u + 4) (u - 4)

3 u^{3} - 2 u^{2} - 32 u - 32

有理根定理を使用する

a_{0} = 32, a_{n} = 3

a_{0} : 1, 2, 4, 8, 16, 32

の除数,

a_{n} : 1, 3

の除数

ゆえに次の有理数をチェックする:

\pm \frac{1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32}{1 , 3}

- \frac{2}{1}

は式の累乗根なので

u + 2

をくくり出す

= (u + 2) \frac{3 u ^{3} - 2 u ^{2} - 32 u - 32}{u + 2}

\frac{3 u ^{3} - 2 u ^{2} - 32 u - 32}{u + 2} = 3 u^{2} - 8 u - 16

\frac{3 u ^{3} - 2 u ^{2} - 32 u - 32}{u + 2}

割る

\frac{3 u ^{3} - 2 u ^{2} - 32 u - 32}{u + 2} : \frac{3 u ^{3} - 2 u ^{2} - 32 u - 32}{u + 2} = 3 u^{2} + \frac{- 8 u ^{2} - 32 u - 32}{u + 2}

分子

3 u^{3} - 2 u^{2} - 32 u - 32

と除数

u + 2

の主係数で割る:

\frac{3 u ^{3}}{u} = 3 u^{2}

商 = 3 u^{2}

u + 2

に

3 u^{2}

を乗じる:

3 u^{3} + 6 u^{2}

3 u^{3} + 6 u^{2}

を

3 u^{3} - 2 u^{2} - 32 u - 32

から引いて新しい余りを得る

余り = - 8 u^{2} - 32 u - 32

このため

\frac{3 u ^{3} - 2 u ^{2} - 32 u - 32}{u + 2} = 3 u^{2} + \frac{- 8 u ^{2} - 32 u - 32}{u + 2}

= 3 u^{2} + \frac{- 8 u ^{2} - 32 u - 32}{u + 2}

割る

\frac{- 8 u ^{2} - 32 u - 32}{u + 2} : \frac{- 8 u ^{2} - 32 u - 32}{u + 2} = - 8 u + \frac{- 16 u - 32}{u + 2}

分子

- 8 u^{2} - 32 u - 32

と除数

u + 2

の主係数で割る:

\frac{- 8 u ^{2}}{u} = - 8 u

商 = - 8 u

u + 2

に

- 8 u

を乗じる:

- 8 u^{2} - 16 u

- 8 u^{2} - 16 u

を

- 8 u^{2} - 32 u - 32

から引いて新しい余りを得る

余り = - 16 u - 32

このため

\frac{- 8 u ^{2} - 32 u - 32}{u + 2} = - 8 u + \frac{- 16 u - 32}{u + 2}

= 3 u^{2} - 8 u + \frac{- 16 u - 32}{u + 2}

割る

\frac{- 16 u - 32}{u + 2} : \frac{- 16 u - 32}{u + 2} = - 16

分子

- 16 u - 32

と除数

u + 2

の主係数で割る:

\frac{- 16 u}{u} = - 16

商 = - 16

u + 2

に

- 16

を乗じる:

- 16 u - 32

- 16 u - 32

を

- 16 u - 32

から引いて新しい余りを得る

余り = 0

このため

\frac{- 16 u - 32}{u + 2} = - 16

= 3 u^{2} - 8 u - 16

= 3 u^{2} - 8 u - 16

因数

3 u^{2} - 8 u - 16 : (3 u + 4) (u - 4)

3 u^{2} - 8 u - 16

式をグループに分ける

3 u^{2} - 8 u - 16

定義

以下の因数:

48 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48

48

除数 (因数)

以下の素因数を求める:

48 : 2, 2, 2, 2, 3

48

48248 = 24 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 24

24224 = 12 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 12

12212 = 6 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 6

626 = 3 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

はすべて素数である。ゆえにさらに因数分解することはできない

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

以下の素因数を乗じる:

48 : 4, 8, 16, 6, 12, 24

2 \cdot 2 = 4

2 \cdot 2 \cdot 2 = 8

4, 8, 16, 6, 12, 24

4, 8, 16, 6, 12, 24

素因数を加える:

2, 3

1 および

48

の数自体を加える

1, 48

以下の因数:

48

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48

以下の負の因数:

48 : - 1, - 2, - 3, - 4, - 6, - 8, - 12, - 16, - 24, - 48

因数に

- 1

を乗じて負の因数を得る

- 1, - 2, - 3, - 4, - 6, - 8, - 12, - 16, - 24, - 48

u * v = - 48

などの各 2 因数で以下をチェックする:

u + v = - 8

以下をチェックする:

u = 1, v = - 48 : u * v = - 48, u + v = - 47 \Rightarrow

偽以下をチェックする:

u = 2, v = - 24 : u * v = - 48, u + v = - 22 \Rightarrow

偽

u = 4, v = - 12

以下に分ける:

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(3 u^{2} + 4 u) + (- 12 u - 16)

= (3 u^{2} + 4 u) + (- 12 u - 16)

u

を

3 u^{2} + 4 u : u (3 u + 4)

からくくり出す

3 u^{2} + 4 u

指数の規則を適用する:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 3 uu + 4 u

共通項をくくり出す

u

= u (3 u + 4)

- 4

を

- 12 u - 16 : - 4 (3 u + 4)

からくくり出す

- 12 u - 16

16

を書き換え

4 \cdot 4

12

を書き換え

4 \cdot 3

= - 4 \cdot 3 u - 4 \cdot 4

共通項をくくり出す

- 4

= - 4 (3 u + 4)

= u (3 u + 4) - 4 (3 u + 4)

共通項をくくり出す

3 u + 4

= (3 u + 4) (u - 4)

= (u + 2) (3 u + 4) (u - 4)

(u + 2) (3 u + 4) (u - 4) = 0

零因子の原則を使用:

ab = 0

ならば

a = 0

または

b = 0

u + 2 = 0 or 3 u + 4 = 0 or u - 4 = 0

解く

u + 2 = 0 : u = - 2

u + 2 = 0

2

を右側に移動します

u + 2 = 0

両辺から

2

を引く

u + 2 - 2 = 0 - 2

簡素化

u = - 2

u = - 2

解く

3 u + 4 = 0 : u = - \frac{4}{3}

3 u + 4 = 0

4

を右側に移動します

3 u + 4 = 0

両辺から

4

を引く

3 u + 4 - 4 = 0 - 4

簡素化

3 u = - 4

3 u = - 4

以下で両辺を割る

3

3 u = - 4

以下で両辺を割る

3

\frac{3 u}{3} = \frac{- 4}{3}

簡素化

u = - \frac{4}{3}

u = - \frac{4}{3}

解く

u - 4 = 0 : u = 4

u - 4 = 0

4

を右側に移動します

u - 4 = 0

両辺に

4

を足す

u - 4 + 4 = 0 + 4

簡素化

u = 4

u = 4

解答は

u = - 2, u = - \frac{4}{3}, u = 4

代用を戻す

u = tan (x)

tan (x) = - 2, tan (x) = - \frac{4}{3}, tan (x) = 4

tan (x) = - 2, tan (x) = - \frac{4}{3}, tan (x) = 4

tan (x) = - 2 : x = arctan (- 2) + πn

tan (x) = - 2

三角関数の逆数プロパティを適用する

tan (x) = - 2

以下の一般解

tan (x) = - 2

tan (x) = - a \Rightarrow x = arctan (- a) + πn

x = arctan (- 2) + πn

x = arctan (- 2) + πn

tan (x) = - \frac{4}{3} : x = arctan (- \frac{4}{3}) + πn

tan (x) = - \frac{4}{3}

三角関数の逆数プロパティを適用する

tan (x) = - \frac{4}{3}

以下の一般解

tan (x) = - \frac{4}{3}

tan (x) = - a \Rightarrow x = arctan (- a) + πn

x = arctan (- \frac{4}{3}) + πn

x = arctan (- \frac{4}{3}) + πn

tan (x) = 4 : x = arctan (4) + πn

tan (x) = 4

三角関数の逆数プロパティを適用する

tan (x) = 4

以下の一般解

tan (x) = 4

tan (x) = a \Rightarrow x = arctan (a) + πn

x = arctan (4) + πn

x = arctan (4) + πn

すべての解を組み合わせる

x = arctan (- 2) + πn, x = arctan (- \frac{4}{3}) + πn, x = arctan (4) + πn

10進法形式で解を証明する

x = - 1.10714 \dots + πn, x = - 0.92729 \dots + πn, x = 1.32581 \dots + πn

人気の例

solvefor x,2sin(5x)-1=0 解く

x, 2 sin (5 x) - 1 = 0

cos(x/2)= 1/(sqrt(2))

cos (\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}

2 \cdot cos (2 x) + 1 = 0

sin(2x)-cos^2(x)=0

sin (2 x) - cos^{2} (x) = 0

2sin((pix)/2)+1=0

2 sin (\frac{π x}{2}) + 1 = 0