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4sin^4(x)+3sin^2(x)-1=0

Solución

4 sin^{4} (x) + 3 sin^{2} (x) - 1 = 0

Solución

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Grados

x = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 21 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 33 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

4 sin^{4} (x) + 3 sin^{2} (x) - 1 = 0

Usando el método de sustitución

4 sin^{4} (x) + 3 sin^{2} (x) - 1 = 0

Sea:

sin (x) = u

4 u^{4} + 3 u^{2} - 1 = 0

4 u^{4} + 3 u^{2} - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}, u = i, u = - i

4 u^{4} + 3 u^{2} - 1 = 0

Re-escribir la ecuación con

v = u^{2}

v^{2} = u^{4}

4 v^{2} + 3 v - 1 = 0

Resolver

4 v^{2} + 3 v - 1 = 0 : v = \frac{1}{4}, v = - 1

4 v^{2} + 3 v - 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

4 v^{2} + 3 v - 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 4, b = 3, c = - 1

v_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

v_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

3^{2} - 4 \cdot 4 (- 1) = 5

3^{2} - 4 \cdot 4 (- 1)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 3^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 3^{2} + 16

3^{2} = 9

= 9 + 16

Sumar:

9 + 16 = 25

= 25

Descomponer el número en factores primos:

25 = 5^{2}

= 5^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

5^{2} = 5

= 5

v_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 5}{2 \cdot 4}

Separar las soluciones

v_{1} = \frac{- 3 + 5}{2 \cdot 4}, v_{2} = \frac{- 3 - 5}{2 \cdot 4}

v = \frac{- 3 + 5}{2 \cdot 4} : \frac{1}{4}

\frac{- 3 + 5}{2 \cdot 4}

Sumar/restar lo siguiente:

- 3 + 5 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{2}{8}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{1}{4}

v = \frac{- 3 - 5}{2 \cdot 4} : - 1

\frac{- 3 - 5}{2 \cdot 4}

Restar:

- 3 - 5 = - 8

= \frac{- 8}{2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 8}{8}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{8}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

v = \frac{1}{4}, v = - 1

v = \frac{1}{4}, v = - 1

Sustituir hacia atrás la

v = u^{2},

resolver para

u

Resolver

u^{2} = \frac{1}{4} : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

u^{2} = \frac{1}{4}

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1}{4}, u = - \frac{1}{4}

\frac{1}{4} = \frac{1}{2}

\frac{1}{4}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{4}

4 = 2

4

Descomponer el número en factores primos:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2

= \frac{1}{2}

Aplicar la regla

1 = 1

= \frac{1}{2}

- \frac{1}{4} = - \frac{1}{2}

- \frac{1}{4}

Simplificar

\frac{1}{4} : \frac{1}{2}

\frac{1}{4}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{4}

4 = 2

4

Descomponer el número en factores primos:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2

= \frac{1}{2}

= - \frac{1}{2}

Aplicar la regla

1 = 1

= - \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

Resolver

u^{2} = - 1 : u = i, u = - i

u^{2} = - 1

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = - 1, u = - - 1

Simplificar

- 1 : i

- 1

Aplicar las propiedades de los numeros imaginarios:

- 1 = i

= i

Simplificar

- - 1 : - i

- - 1

Aplicar las propiedades de los numeros imaginarios:

- 1 = i

= - i

u = i, u = - i

Las soluciones son

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}, u = i, u = - i

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) = \frac{1}{2}, sin (x) = - \frac{1}{2}, sin (x) = i, sin (x) = - i

sin (x) = \frac{1}{2}, sin (x) = - \frac{1}{2}, sin (x) = i, sin (x) = - i

sin (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) = \frac{1}{2}

Soluciones generales para

sin (x) = \frac{1}{2}

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{2}

Soluciones generales para

sin (x) = - \frac{1}{2}

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (x) = i :

Sin solución

sin (x) = i

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

sin (x) = - i :

Sin solución

sin (x) = - i

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Ejemplos populares

3tan(θ)-sqrt(3)=0

3 tan (θ) - 3 = 0

cot(θ)= 1/(cot(θ))

cot (θ) = \frac{1}{cot ( θ )}

(tan(x))^5-9tan(x)=0

(tan (x))^{5} - 9 tan (x) = 0

2cot^2(x)+2csc^2(x)=1+4csc(x)

2 cot^{2} (x) + 2 csc^{2} (x) = 1 + 4 csc (x)

sin(2θ)=cos(θ),0<= θ<2pi

sin (2 θ) = cos (θ), 0 \leq θ < 2 π