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sin(x)-csc(x)+1=0

Solução

sin (x) - csc (x) + 1 = 0

Solução

x = 0.66623 \dots + 2 πn, x = π - 0.66623 \dots + 2 πn

Graus

x = 38.17270 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 141.82729 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

sin (x) - csc (x) + 1 = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

1 - csc (x) + sin (x)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

= 1 - csc (x) + \frac{1}{csc ( x )}

1 - csc (x) + \frac{1}{csc ( x )} = 0

Usando o método de substituição

1 - csc (x) + \frac{1}{csc ( x )} = 0

Sea:

csc (x) = u

1 - u + \frac{1}{u} = 0

1 - u + \frac{1}{u} = 0 : u = - \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{1 + 5}{2}

1 - u + \frac{1}{u} = 0

Multiplicar ambos os lados por

u

1 - u + \frac{1}{u} = 0

Multiplicar ambos os lados por

u

1 \cdot u - uu + \frac{1}{u} u = 0 \cdot u

Simplificar

1 \cdot u - uu + \frac{1}{u} u = 0 \cdot u

Simplificar

1 \cdot u : u

1 \cdot u

Multiplicar:

1 \cdot u = u

= u

Simplificar

- uu : - u^{2}

- uu

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= - u^{1 + 1}

Somar:

1 + 1 = 2

= - u^{2}

Simplificar

\frac{1}{u} u : 1

\frac{1}{u} u

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot u}{u}

Eliminar o fator comum:

u

= 1

Simplificar

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Aplicar a regra

0 \cdot a = 0

= 0

u - u^{2} + 1 = 0

u - u^{2} + 1 = 0

u - u^{2} + 1 = 0

Resolver

u - u^{2} + 1 = 0 : u = - \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{1 + 5}{2}

u - u^{2} + 1 = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} + u + 1 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

- u^{2} + u + 1 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = - 1, b = 1, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

1^{2} - 4 (- 1) \cdot 1 = 5

1^{2} - 4 (- 1) \cdot 1

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 (- 1) \cdot 1

Aplicar a regra

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplicar os números:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 1 + 4

Somar:

1 + 4 = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 5}{2 ( - 1 )}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- 1 + 5}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- 1 - 5}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- 1 + 5}{2 ( - 1 )} : - \frac{- 1 + 5}{2}

\frac{- 1 + 5}{2 ( - 1 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 1 + 5}{- 2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 + 5}{- 2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 1 + 5}{2}

u = \frac{- 1 - 5}{2 ( - 1 )} : \frac{1 + 5}{2}

\frac{- 1 - 5}{2 ( - 1 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 1 - 5}{- 2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 - 5}{- 2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 1 - 5 = - (1 + 5)

= \frac{1 + 5}{2}

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = - \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{1 + 5}{2}

u = - \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{1 + 5}{2}

Verifique soluções

Encontrar os pontos não definidos (singularidades):

u = 0

Tomar o(s) denominador(es) de

1 - u + \frac{1}{u}

e comparar com zero

u = 0

Os seguintes pontos são indefinidos

u = 0

Combinar os pontos indefinidos com as soluções:

u = - \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{1 + 5}{2}

Substituir na equação

u = csc (x)

csc (x) = - \frac{- 1 + 5}{2}, csc (x) = \frac{1 + 5}{2}

csc (x) = - \frac{- 1 + 5}{2}, csc (x) = \frac{1 + 5}{2}

csc (x) = - \frac{- 1 + 5}{2} :

Sem solução

csc (x) = - \frac{- 1 + 5}{2}

csc (x) \leq - 1 or csc (x) \geq 1

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

csc (x) = \frac{1 + 5}{2} : x = arccsc (\frac{1 + 5}{2}) + 2 πn, x = π - arccsc (\frac{1 + 5}{2}) + 2 πn

csc (x) = \frac{1 + 5}{2}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

csc (x) = \frac{1 + 5}{2}

Soluções gerais para

csc (x) = \frac{1 + 5}{2}

csc (x) = a \Rightarrow x = arccsc (a) + 2 πn, x = π - arccsc (a) + 2 πn

x = arccsc (\frac{1 + 5}{2}) + 2 πn, x = π - arccsc (\frac{1 + 5}{2}) + 2 πn

x = arccsc (\frac{1 + 5}{2}) + 2 πn, x = π - arccsc (\frac{1 + 5}{2}) + 2 πn

Combinar toda as soluções

x = arccsc (\frac{1 + 5}{2}) + 2 πn, x = π - arccsc (\frac{1 + 5}{2}) + 2 πn

Mostrar soluções na forma decimal

x = 0.66623 \dots + 2 πn, x = π - 0.66623 \dots + 2 πn

Exemplos populares

tan^2(θ)-sec^2(θ)=cos(-θ)

tan^{2} (θ) - sec^{2} (θ) = cos (- θ)

-2sin(t)-4cos(2t)=0

- 2 sin (t) - 4 cos (2 t) = 0

8sin(2x)-4sqrt(3)=0

8 sin (2 x) - 43 = 0

cos(3x)cos(9x)+sin(3x)sin(9x)=0

cos (3 x) cos (9 x) + sin (3 x) sin (9 x) = 0

cos(2x)+5sin(x)+2=0,0<= x<2pi

cos (2 x) + 5 sin (x) + 2 = 0, 0 \leq x < 2 π