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solvefor u,x=tanh(u)

解答

求解

u, x = tanh (u)

解答

u = \frac{1}{2} ln (\frac{x + 1}{1 - x}), u = ln (- \frac{x + 1}{1 - x})

求解步骤

x = tanh (u)

交换两边

tanh (u) = x

使用三角恒等式改写

tanh (u) = x

使用双曲函数恒等式:

tanh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}}

\frac{e ^{u} - e ^{- u}}{e ^{u} + e ^{- u}} = x

\frac{e ^{u} - e ^{- u}}{e ^{u} + e ^{- u}} = x

\frac{e ^{u} - e ^{- u}}{e ^{u} + e ^{- u}} = x : u = \frac{1}{2} ln (\frac{x + 1}{1 - x}) {- 1 < x < 1}, u = ln (- \frac{x + 1}{1 - x}) {无解}

\frac{e ^{u} - e ^{- u}}{e ^{u} + e ^{- u}} = x

在两边乘以

e^{u} + e^{- u}

\frac{e ^{u} - e ^{- u}}{e ^{u} + e ^{- u}} (e^{u} + e^{- u}) = x (e^{u} + e^{- u})

化简

e^{u} - e^{- u} = x (e^{u} + e^{- u})

使用指数运算法则

e^{u} - e^{- u} = x (e^{u} + e^{- u})

使用指数法则:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- u} = (e^{u})^{- 1}

e^{u} - (e^{u})^{- 1} = x (e^{u} + (e^{u})^{- 1})

e^{u} - (e^{u})^{- 1} = x (e^{u} + (e^{u})^{- 1})

用

e^{u} = v

改写方程式

v - v^{- 1} = x (v + v^{- 1})

解

v - v^{- 1} = x (v + v^{- 1}) : v = \frac{x + 1}{1 - x}, v = - \frac{x + 1}{1 - x}

v - v^{- 1} = x (v + v^{- 1})

整理后得

v - \frac{1}{v} = x (v + \frac{1}{v})

在两边乘以

v

v - \frac{1}{v} = x (v + \frac{1}{v})

在两边乘以

v

vv - \frac{1}{v} v = x (v + \frac{1}{v}) v

化简

vv - \frac{1}{v} v = x (v + \frac{1}{v}) v

化简

vv : v^{2}

vv

使用指数法则:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

vv = v^{1 + 1}

= v^{1 + 1}

数字相加:

1 + 1 = 2

= v^{2}

化简

- \frac{1}{v} v : - 1

- \frac{1}{v} v

分式相乘:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{1 \cdot v}{v}

约分:

v

= - 1

v^{2} - 1 = x (v + \frac{1}{v}) v

v^{2} - 1 = x (v + \frac{1}{v}) v

v^{2} - 1 = x (v + \frac{1}{v}) v

展开

x (v + \frac{1}{v}) v : x v^{2} + x

x (v + \frac{1}{v}) v

= xv (v + \frac{1}{v})

使用分配律:

a (b + c) = ab + a c

a = xv, b = v, c = \frac{1}{v}

= xvv + xv \frac{1}{v}

= xvv + \frac{1}{v} xv

化简

xvv + \frac{1}{v} xv : x v^{2} + x

xvv + \frac{1}{v} xv

xvv = x v^{2}

xvv

使用指数法则:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

vv = v^{1 + 1}

= x v^{1 + 1}

数字相加:

1 + 1 = 2

= x v^{2}

\frac{1}{v} xv = x

\frac{1}{v} xv

分式相乘:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot xv}{v}

约分:

v

= 1 \cdot x

乘以:

1 \cdot x = x

= x

= x v^{2} + x

= x v^{2} + x

v^{2} - 1 = x v^{2} + x

将

1

到右边

v^{2} - 1 = x v^{2} + x

两边加上

1

v^{2} - 1 + 1 = x v^{2} + x + 1

化简

v^{2} = x v^{2} + x + 1

v^{2} = x v^{2} + x + 1

解

v^{2} = x v^{2} + x + 1 : v = \frac{x + 1}{1 - x}, v = - \frac{x + 1}{1 - x}

v^{2} = x v^{2} + x + 1

将

x v^{2}

para o lado esquerdo

v^{2} = x v^{2} + x + 1

两边减去

x v^{2}

v^{2} - x v^{2} = x v^{2} + x + 1 - x v^{2}

化简

v^{2} - x v^{2} = x + 1

v^{2} - x v^{2} = x + 1

分解

v^{2} - x v^{2} : v^{2} (1 - x)

v^{2} - x v^{2}

因式分解出通项

v^{2}

= v^{2} (1 - x)

v^{2} (1 - x) = x + 1

两边除以

1 - x

v^{2} (1 - x) = x + 1

两边除以

1 - x

\frac{v ^{2} ( 1 - x )}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}

化简

\frac{v ^{2} ( 1 - x )}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}

化简

\frac{v ^{2} ( 1 - x )}{1 - x} : v^{2}

\frac{v ^{2} ( 1 - x )}{1 - x}

约分:

1 - x

= v^{2}

化简

\frac{x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x} : \frac{x + 1}{1 - x}

\frac{x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}

使用法则

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{x + 1}{1 - x}

v^{2} = \frac{x + 1}{1 - x}

v^{2} = \frac{x + 1}{1 - x}

v^{2} = \frac{x + 1}{1 - x}

对于

x^{2} = f (a)

解为

x = f (a), - f (a)

v = \frac{x + 1}{1 - x}, v = - \frac{x + 1}{1 - x}

v = \frac{x + 1}{1 - x}, v = - \frac{x + 1}{1 - x}

v = \frac{x + 1}{1 - x}, v = - \frac{x + 1}{1 - x}

代回

v = e^{u}

，求解

u

解

e^{u} = \frac{x + 1}{1 - x} : u = \frac{1}{2} ln (\frac{x + 1}{1 - x})

e^{u} = \frac{x + 1}{1 - x}

使用指数运算法则

e^{u} = \frac{x + 1}{1 - x}

使用指数法则:

a = a^{\frac{1}{2}}

\frac{x + 1}{1 - x} = (\frac{x + 1}{1 - x})^{\frac{1}{2}}

e^{u} = (\frac{x + 1}{1 - x})^{\frac{1}{2}}

若

f (x) = g (x)

，则

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{u}) = ln ((\frac{x + 1}{1 - x})^{\frac{1}{2}})

使用对数计算法则:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{u}) = u

u = ln ((\frac{x + 1}{1 - x})^{\frac{1}{2}})

使用对数计算法则:

ln (x^{a}) = a \cdot ln (x)

ln ((\frac{x + 1}{1 - x})^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} ln (\frac{x + 1}{1 - x})

u = \frac{1}{2} ln (\frac{x + 1}{1 - x})

u = \frac{1}{2} ln (\frac{x + 1}{1 - x})

解

e^{u} = - \frac{x + 1}{1 - x} : u = ln (- \frac{x + 1}{1 - x})

e^{u} = - \frac{x + 1}{1 - x}

使用指数运算法则

e^{u} = - \frac{x + 1}{1 - x}

若

f (x) = g (x)

，则

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{u}) = ln (- \frac{x + 1}{1 - x})

使用对数计算法则:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{u}) = u

u = ln (- \frac{x + 1}{1 - x})

u = ln (- \frac{x + 1}{1 - x})

u = \frac{1}{2} ln (\frac{x + 1}{1 - x}), u = ln (- \frac{x + 1}{1 - x})

验证解:

u = \frac{1}{2} ln (\frac{x + 1}{1 - x}) {- 1 < x < 1}, u = ln (- \frac{x + 1}{1 - x}) {无解}

将它们代入

\frac{e ^{u} - e ^{- u}}{e ^{u} + e ^{- u}} = x

检验解是否符合

去除与方程不符的解。

代入

u = \frac{1}{2} ln (\frac{x + 1}{1 - x}) : - 1 < x < 1

\frac{e ^{\frac{1}{2} l n (\frac{x + 1}{1 - x})} - e ^{- \frac{1}{2} l n (\frac{x + 1}{1 - x})}}{e ^{\frac{1}{2} l n (\frac{x + 1}{1 - x})} + e ^{- \frac{1}{2} l n (\frac{x + 1}{1 - x})}} = x

化简

\frac{e ^{\frac{1}{2} l n (\frac{x + 1}{1 - x})} - e ^{- \frac{1}{2} l n (\frac{x + 1}{1 - x})}}{e ^{\frac{1}{2} l n (\frac{x + 1}{1 - x})} + e ^{- \frac{1}{2} l n (\frac{x + 1}{1 - x})}} : x

\frac{e ^{\frac{1}{2} l n (\frac{x + 1}{1 - x})} - e ^{- \frac{1}{2} l n (\frac{x + 1}{1 - x})}}{e ^{\frac{1}{2} l n (\frac{x + 1}{1 - x})} + e ^{- \frac{1}{2} l n (\frac{x + 1}{1 - x})}}

分解

e^{\frac{1}{2} l n (\frac{x + 1}{1 - x})} - e^{- \frac{1}{2} l n (\frac{x + 1}{1 - x})} : e^{- \frac{1}{2} l n (\frac{1 + x}{1 - x})} (e^{l n (\frac{1 + x}{1 - x})} - 1)

e^{\frac{1}{2} l n (\frac{x + 1}{1 - x})} - e^{- \frac{1}{2} l n (\frac{x + 1}{1 - x})}

使用指数法则:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

e^{\frac{1}{2} l n (\frac{1 + x}{1 - x})} = e^{- \frac{1}{2} l n (\frac{1 + x}{1 - x})} e^{2 \cdot \frac{1}{2} l n (\frac{1 + x}{1 - x})}

= e^{- \frac{1}{2} l n (\frac{1 + x}{1 - x})} e^{2 \cdot \frac{1}{2} l n (\frac{1 + x}{1 - x})} - e^{- \frac{1}{2} l n (\frac{1 + x}{1 - x})}

因式分解出通项

e^{- \frac{1}{2} l n (\frac{1 + x}{1 - x})}

= e^{- \frac{1}{2} l n (\frac{1 + x}{1 - x})} (e^{2 \cdot \frac{1}{2} l n (\frac{1 + x}{1 - x})} - 1)

整理后得

= e^{- \frac{1}{2} l n (\frac{x + 1}{- x + 1})} (e^{l n (\frac{x + 1}{- x + 1})} - 1)

= \frac{e ^{- \frac{1}{2} l n (\frac{1 + x}{1 - x})} ( e ^{l n (\frac{1 + x}{1 - x})} - 1 )}{e ^{\frac{1}{2} l n (\frac{x + 1}{1 - x})} + e ^{- \frac{1}{2} l n (\frac{x + 1}{1 - x})}}

分解

e^{\frac{1}{2} l n (\frac{x + 1}{1 - x})} + e^{- \frac{1}{2} l n (\frac{x + 1}{1 - x})} : e^{- \frac{1}{2} l n (\frac{1 + x}{1 - x})} (e^{l n (\frac{1 + x}{1 - x})} + 1)

e^{\frac{1}{2} l n (\frac{x + 1}{1 - x})} + e^{- \frac{1}{2} l n (\frac{x + 1}{1 - x})}

使用指数法则:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

e^{\frac{1}{2} l n (\frac{1 + x}{1 - x})} = e^{- \frac{1}{2} l n (\frac{1 + x}{1 - x})} e^{2 \cdot \frac{1}{2} l n (\frac{1 + x}{1 - x})}

= e^{- \frac{1}{2} l n (\frac{1 + x}{1 - x})} e^{2 \cdot \frac{1}{2} l n (\frac{1 + x}{1 - x})} + e^{- \frac{1}{2} l n (\frac{1 + x}{1 - x})}

因式分解出通项

e^{- \frac{1}{2} l n (\frac{1 + x}{1 - x})}

= e^{- \frac{1}{2} l n (\frac{1 + x}{1 - x})} (e^{2 \cdot \frac{1}{2} l n (\frac{1 + x}{1 - x})} + 1)

整理后得

= e^{- \frac{1}{2} l n (\frac{x + 1}{- x + 1})} (e^{l n (\frac{x + 1}{- x + 1})} + 1)

= \frac{e ^{- \frac{1}{2} l n (\frac{1 + x}{1 - x})} ( e ^{l n (\frac{1 + x}{1 - x})} - 1 )}{e ^{- \frac{1}{2} l n (\frac{1 + x}{1 - x})} ( e ^{l n (\frac{1 + x}{1 - x})} + 1 )}

约分:

e^{- \frac{1}{2} l n (\frac{1 + x}{1 - x})}

= \frac{e ^{l n (\frac{x + 1}{- x + 1})} - 1}{e ^{l n (\frac{x + 1}{- x + 1})} + 1}

使用对数计算法则:

a^{l o g_{a} (b)} = b

= \frac{e ^{l n (\frac{x + 1}{- x + 1})} - 1}{\frac{x + 1}{- x + 1} + 1}

使用对数计算法则:

a^{l o g_{a} (b)} = b

= \frac{\frac{x + 1}{- x + 1} - 1}{\frac{x + 1}{- x + 1} + 1}

化简

\frac{\frac{x + 1}{- x + 1} - 1}{\frac{x + 1}{- x + 1} + 1}

化简

\frac{x + 1}{- x + 1} + 1 : \frac{2}{- x + 1}

\frac{x + 1}{- x + 1} + 1

将项转换为分式:

1 = \frac{1 ( - x + 1 )}{- x + 1}

= \frac{x + 1}{- x + 1} + \frac{1 \cdot ( - x + 1 )}{- x + 1}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{x + 1 + 1 \cdot ( - x + 1 )}{- x + 1}

x + 1 + 1 \cdot (- x + 1) = 2

x + 1 + 1 \cdot (- x + 1)

乘以:

1 \cdot (- x + 1) = (- x + 1)

= x + 1 - x + 1

去除括号:

(- a) = - a

= x + 1 - x + 1

对同类项分组

= x - x + 1 + 1

同类项相加:

x - x = 0

= 1 + 1

数字相加:

1 + 1 = 2

= 2

= \frac{2}{- x + 1}

= \frac{\frac{x + 1}{- x + 1} - 1}{\frac{2}{- x + 1}}

化简

\frac{x + 1}{- x + 1} - 1 : \frac{2 x}{- x + 1}

\frac{x + 1}{- x + 1} - 1

将项转换为分式:

1 = \frac{1 ( - x + 1 )}{- x + 1}

= \frac{x + 1}{- x + 1} - \frac{1 \cdot ( - x + 1 )}{- x + 1}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{x + 1 - 1 \cdot ( - x + 1 )}{- x + 1}

乘以:

1 \cdot (- x + 1) = (- x + 1)

= \frac{x + 1 - ( - x + 1 )}{- x + 1}

乘开

x + 1 - (- x + 1) : 2 x

x + 1 - (- x + 1)

- (- x + 1) : x - 1

- (- x + 1)

打开括号

= - (- x) - 1

使用加减运算法则

- (- a) = a, - (a) = - a

= x - 1

= x + 1 + x - 1

化简

x + 1 + x - 1 : 2 x

x + 1 + x - 1

对同类项分组

= x + x + 1 - 1

同类项相加:

x + x = 2 x

= 2 x + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 x

= 2 x

= \frac{2 x}{- x + 1}

= \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{2}{- x + 1}}

分式相除:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{2 x ( - x + 1 )}{( - x + 1 ) \cdot 2}

约分:

2

= \frac{x ( - x + 1 )}{- x + 1}

约分:

- x + 1

= x

= x

x = x

\frac{e ^{\frac{1}{2} l n (\frac{x + 1}{1 - x})} - e ^{- \frac{1}{2} l n (\frac{x + 1}{1 - x})}}{e ^{\frac{1}{2} l n (\frac{x + 1}{1 - x})} + e ^{- \frac{1}{2} l n (\frac{x + 1}{1 - x})}}

的定义域

: - 1 < x < 1

定义域定义

对于对数找到正值:

- 1 < x < 1

\frac{e ^{\frac{1}{2} l n (\frac{x + 1}{1 - x})} - e ^{- \frac{1}{2} l n (\frac{x + 1}{1 - x})}}{e ^{\frac{1}{2} l n (\frac{x + 1}{1 - x})} + e ^{- \frac{1}{2} l n (\frac{x + 1}{1 - x})}}

lo g_{a} f (x) \Rightarrow f (x) > 0

解

\frac{x + 1}{1 - x} > 0 : - 1 < x < 1

\frac{x + 1}{1 - x} > 0

确定区间

确定

\frac{x + 1}{1 - x}

符号

确定

x + 1

符号

x + 1 = 0 : x = - 1

x + 1 = 0

将

1

到右边

x + 1 = 0

两边减去

1

x + 1 - 1 = 0 - 1

化简

x = - 1

x = - 1

x + 1 < 0 : x < - 1

x + 1 < 0

将

1

到右边

x + 1 < 0

两边减去

1

x + 1 - 1 < 0 - 1

化简

x < - 1

x < - 1

x + 1 > 0 : x > - 1

x + 1 > 0

将

1

到右边

x + 1 > 0

两边减去

1

x + 1 - 1 > 0 - 1

化简

x > - 1

x > - 1

确定

1 - x

符号

1 - x = 0 : x = 1

1 - x = 0

将

1

到右边

1 - x = 0

两边减去

1

1 - x - 1 = 0 - 1

化简

- x = - 1

- x = - 1

两边除以

- 1

- x = - 1

两边除以

- 1

\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

化简

x = 1

x = 1

1 - x < 0 : x > 1

1 - x < 0

将

1

到右边

1 - x < 0

两边减去

1

1 - x - 1 < 0 - 1

化简

- x < - 1

- x < - 1

在两边乘以

- 1

- x < - 1

两边乘以 -1（不等式变号）

(- x) (- 1) > (- 1) (- 1)

化简

x > 1

x > 1

1 - x > 0 : x < 1

1 - x > 0

将

1

到右边

1 - x > 0

两边减去

1

1 - x - 1 > 0 - 1

化简

- x > - 1

- x > - 1

在两边乘以

- 1

- x > - 1

两边乘以 -1（不等式变号）

(- x) (- 1) < (- 1) (- 1)

化简

x < 1

x < 1

找到奇点

找到分母的零解

1 - x :

无解

1 - x = 0

两侧不相等

无解

总结如下表：

x + 1 1 - x \frac{x + 1}{1 - x} x < - 1 - + - x = - 1 0 + 0 - 1 < x < 1 + + + x = 1 + 0 未定义 x > 1 + - -

确定满足所需条件的区间：

> 0

- 1 < x < 1

- 1 < x < 1

找到无定义的点（奇点）:

x = 1

\frac{e ^{\frac{1}{2} l n (\frac{x + 1}{1 - x})} - e ^{- \frac{1}{2} l n (\frac{x + 1}{1 - x})}}{e ^{\frac{1}{2} l n (\frac{x + 1}{1 - x})} + e ^{- \frac{1}{2} l n (\frac{x + 1}{1 - x})}}

取

\frac{e ^{\frac{1}{2} l n (\frac{x + 1}{1 - x})} - e ^{- \frac{1}{2} l n (\frac{x + 1}{1 - x})}}{e ^{\frac{1}{2} l n (\frac{x + 1}{1 - x})} + e ^{- \frac{1}{2} l n (\frac{x + 1}{1 - x})}}

的分母，令其等于零

解

1 - x = 0 : x = 1

1 - x = 0

将

1

到右边

1 - x = 0

两边减去

1

1 - x - 1 = 0 - 1

化简

- x = - 1

- x = - 1

两边除以

- 1

- x = - 1

两边除以

- 1

\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

化简

x = 1

x = 1

以下点无定义

x = 1

合并考虑函数有实数值的区域与未定义的点得出最终的函数定义域

- 1 < x < 1

- 1 < x < 1

代入

u = ln (- \frac{x + 1}{1 - x}) :

无解

\frac{e ^{l n (- \frac{x + 1}{1 - x})} - e ^{- l n (- \frac{x + 1}{1 - x})}}{e ^{l n (- \frac{x + 1}{1 - x})} + e ^{- l n (- \frac{x + 1}{1 - x})}} = x

化简

\frac{e ^{l n (- \frac{x + 1}{1 - x})} - e ^{- l n (- \frac{x + 1}{1 - x})}}{e ^{l n (- \frac{x + 1}{1 - x})} + e ^{- l n (- \frac{x + 1}{1 - x})}} : x

\frac{e ^{l n (- \frac{x + 1}{1 - x})} - e ^{- l n (- \frac{x + 1}{1 - x})}}{e ^{l n (- \frac{x + 1}{1 - x})} + e ^{- l n (- \frac{x + 1}{1 - x})}}

分解

e^{l n (- \frac{x + 1}{1 - x})} - e^{- l n (- \frac{x + 1}{1 - x})} : e^{- l n (- \frac{1 + x}{1 - x})} (e^{2 l n (- \frac{1 + x}{1 - x})} - 1)

e^{l n (- \frac{x + 1}{1 - x})} - e^{- l n (- \frac{x + 1}{1 - x})}

使用指数法则:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

e^{l n (- \frac{1 + x}{1 - x})} = e^{- l n (- \frac{1 + x}{1 - x})} e^{2 l n (- \frac{1 + x}{1 - x})}

= e^{- l n (- \frac{1 + x}{1 - x})} e^{2 l n (- \frac{1 + x}{1 - x})} - e^{- l n (- \frac{1 + x}{1 - x})}

因式分解出通项

e^{- l n (- \frac{1 + x}{1 - x})}

= e^{- l n (- \frac{1 + x}{1 - x})} (e^{2 l n (- \frac{1 + x}{1 - x})} - 1)

= \frac{e ^{- l n (- \frac{1 + x}{1 - x})} ( e ^{2 l n (- \frac{1 + x}{1 - x})} - 1 )}{e ^{l n (- \frac{x + 1}{1 - x})} + e ^{- l n (- \frac{x + 1}{1 - x})}}

分解

e^{l n (- \frac{x + 1}{1 - x})} + e^{- l n (- \frac{x + 1}{1 - x})} : e^{- l n (- \frac{1 + x}{1 - x})} (e^{2 l n (- \frac{1 + x}{1 - x})} + 1)

e^{l n (- \frac{x + 1}{1 - x})} + e^{- l n (- \frac{x + 1}{1 - x})}

使用指数法则:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

e^{l n (- \frac{1 + x}{1 - x})} = e^{- l n (- \frac{1 + x}{1 - x})} e^{2 l n (- \frac{1 + x}{1 - x})}

= e^{- l n (- \frac{1 + x}{1 - x})} e^{2 l n (- \frac{1 + x}{1 - x})} + e^{- l n (- \frac{1 + x}{1 - x})}

因式分解出通项

e^{- l n (- \frac{1 + x}{1 - x})}

= e^{- l n (- \frac{1 + x}{1 - x})} (e^{2 l n (- \frac{1 + x}{1 - x})} + 1)

= \frac{e ^{- l n (- \frac{1 + x}{1 - x})} ( e ^{2 l n (- \frac{1 + x}{1 - x})} - 1 )}{e ^{- l n (- \frac{1 + x}{1 - x})} ( e ^{2 l n (- \frac{1 + x}{1 - x})} + 1 )}

约分:

e^{- l n (- \frac{1 + x}{1 - x})}

= \frac{e ^{2 l n (- \frac{x + 1}{- x + 1})} - 1}{e ^{2 l n (- \frac{x + 1}{- x + 1})} + 1}

e^{2 l n (- \frac{x + 1}{- x + 1})} = \frac{x + 1}{- x + 1}

e^{2 l n (- \frac{x + 1}{- x + 1})}

使用指数法则:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

= (e^{l n (- \frac{x + 1}{- x + 1})})^{2}

使用对数计算法则:

a^{l o g_{a} (b)} = b

e^{l n (- \frac{x + 1}{- x + 1})} = - \frac{x + 1}{- x + 1}

= (- \frac{x + 1}{- x + 1})^{2}

使用指数法则:

(- a)^{n} = a^{n},

若

n

是偶数

(- \frac{x + 1}{- x + 1})^{2} = (\frac{x + 1}{- x + 1})^{2}

= (\frac{x + 1}{- x + 1})^{2}

使用根式运算法则:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((\frac{x + 1}{- x + 1})^{\frac{1}{2}})^{2}

使用指数法则:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (\frac{x + 1}{- x + 1})^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

分式相乘:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

约分:

2

= 1

= \frac{x + 1}{- x + 1}

= \frac{e ^{2 l n (- \frac{x + 1}{- x + 1})} - 1}{\frac{x + 1}{- x + 1} + 1}

e^{2 l n (- \frac{x + 1}{- x + 1})} = \frac{x + 1}{- x + 1}

e^{2 l n (- \frac{x + 1}{- x + 1})}

使用指数法则:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

= (e^{l n (- \frac{x + 1}{- x + 1})})^{2}

使用对数计算法则:

a^{l o g_{a} (b)} = b

e^{l n (- \frac{x + 1}{- x + 1})} = - \frac{x + 1}{- x + 1}

= (- \frac{x + 1}{- x + 1})^{2}

使用指数法则:

(- a)^{n} = a^{n},

若

n

是偶数

(- \frac{x + 1}{- x + 1})^{2} = (\frac{x + 1}{- x + 1})^{2}

= (\frac{x + 1}{- x + 1})^{2}

使用根式运算法则:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((\frac{x + 1}{- x + 1})^{\frac{1}{2}})^{2}

使用指数法则:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (\frac{x + 1}{- x + 1})^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

分式相乘:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

约分:

2

= 1

= \frac{x + 1}{- x + 1}

= \frac{\frac{x + 1}{- x + 1} - 1}{\frac{x + 1}{- x + 1} + 1}

化简

\frac{\frac{x + 1}{- x + 1} - 1}{\frac{x + 1}{- x + 1} + 1}

化简

\frac{x + 1}{- x + 1} + 1 : \frac{2}{- x + 1}

\frac{x + 1}{- x + 1} + 1

将项转换为分式:

1 = \frac{1 ( - x + 1 )}{- x + 1}

= \frac{x + 1}{- x + 1} + \frac{1 \cdot ( - x + 1 )}{- x + 1}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{x + 1 + 1 \cdot ( - x + 1 )}{- x + 1}

x + 1 + 1 \cdot (- x + 1) = 2

x + 1 + 1 \cdot (- x + 1)

乘以:

1 \cdot (- x + 1) = (- x + 1)

= x + 1 - x + 1

去除括号:

(- a) = - a

= x + 1 - x + 1

对同类项分组

= x - x + 1 + 1

同类项相加:

x - x = 0

= 1 + 1

数字相加:

1 + 1 = 2

= 2

= \frac{2}{- x + 1}

= \frac{\frac{x + 1}{- x + 1} - 1}{\frac{2}{- x + 1}}

化简

\frac{x + 1}{- x + 1} - 1 : \frac{2 x}{- x + 1}

\frac{x + 1}{- x + 1} - 1

将项转换为分式:

1 = \frac{1 ( - x + 1 )}{- x + 1}

= \frac{x + 1}{- x + 1} - \frac{1 \cdot ( - x + 1 )}{- x + 1}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{x + 1 - 1 \cdot ( - x + 1 )}{- x + 1}

乘以:

1 \cdot (- x + 1) = (- x + 1)

= \frac{x + 1 - ( - x + 1 )}{- x + 1}

乘开

x + 1 - (- x + 1) : 2 x

x + 1 - (- x + 1)

- (- x + 1) : x - 1

- (- x + 1)

打开括号

= - (- x) - 1

使用加减运算法则

- (- a) = a, - (a) = - a

= x - 1

= x + 1 + x - 1

化简

x + 1 + x - 1 : 2 x

x + 1 + x - 1

对同类项分组

= x + x + 1 - 1

同类项相加:

x + x = 2 x

= 2 x + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 x

= 2 x

= \frac{2 x}{- x + 1}

= \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{2}{- x + 1}}

分式相除:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{2 x ( - x + 1 )}{( - x + 1 ) \cdot 2}

约分:

2

= \frac{x ( - x + 1 )}{- x + 1}

约分:

- x + 1

= x

= x

x = x

\frac{e ^{l n (- \frac{x + 1}{1 - x})} - e ^{- l n (- \frac{x + 1}{1 - x})}}{e ^{l n (- \frac{x + 1}{1 - x})} + e ^{- l n (- \frac{x + 1}{1 - x})}}

的定义域

:

未定义

定义域定义

对于对数找到正值:

无解

\frac{e ^{l n (- \frac{x + 1}{1 - x})} - e ^{- l n (- \frac{x + 1}{1 - x})}}{e ^{l n (- \frac{x + 1}{1 - x})} + e ^{- l n (- \frac{x + 1}{1 - x})}}

lo g_{a} f (x) \Rightarrow f (x) > 0

解

- \frac{x + 1}{1 - x} > 0 :

无解

- \frac{x + 1}{1 - x} > 0

两边乘以

- 1

（改变不等式符号）

(- \frac{x + 1}{1 - x}) (- 1) < 0 \cdot (- 1)

化简

\frac{x + 1}{1 - x} < 0

若 n 为偶数，对于所有 u，

x \in R 无解

解

- \frac{x + 1}{1 - x} > 0 :

无解

- \frac{x + 1}{1 - x} > 0

两边乘以

- 1

（改变不等式符号）

(- \frac{x + 1}{1 - x}) (- 1) < 0 \cdot (- 1)

化简

\frac{x + 1}{1 - x} < 0

若 n 为偶数，对于所有 u，

x \in R 无解

合并区间

无解

未定义

无解

解为

u = \frac{1}{2} ln (\frac{x + 1}{1 - x}) {- 1 < x < 1}, u = ln (- \frac{x + 1}{1 - x}) {无解}

u = \frac{1}{2} ln (\frac{x + 1}{1 - x}), u = ln (- \frac{x + 1}{1 - x})

流行的例子

3 + 2 cos (x) = 0

2cos^2(θ)-7cos(θ)=-3

2 cos^{2} (θ) - 7 cos (θ) = - 3

tan^2(x)=3-2tan(x)

tan^{2} (x) = 3 - 2 tan (x)

tan(3x)+tan(5x)=0

tan (3 x) + tan (5 x) = 0

sin(x)= 1/2 sqrt(3)

sin (x) = \frac{1}{2} 3