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2sin^2(x/2)-3cos(x/2)=0

Solution

2 sin^{2} (\frac{x}{2}) - 3 cos (\frac{x}{2}) = 0

Solution

x = \frac{2 π}{3} + 4 πn, x = \frac{10 π}{3} + 4 πn

Degrés

x = 12 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n, x = 60 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n

étapes des solutions

2 sin^{2} (\frac{x}{2}) - 3 cos (\frac{x}{2}) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

2 sin^{2} (\frac{x}{2}) - 3 cos (\frac{x}{2})

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= 2 (1 - cos^{2} (\frac{x}{2})) - 3 cos (\frac{x}{2})

(1 - cos^{2} (\frac{x}{2})) \cdot 2 - 3 cos (\frac{x}{2}) = 0

Résoudre par substitution

(1 - cos^{2} (\frac{x}{2})) \cdot 2 - 3 cos (\frac{x}{2}) = 0

Soit :

cos (\frac{x}{2}) = u

(1 - u^{2}) \cdot 2 - 3 u = 0

(1 - u^{2}) \cdot 2 - 3 u = 0 : u = - 2, u = \frac{1}{2}

(1 - u^{2}) \cdot 2 - 3 u = 0

Développer

(1 - u^{2}) \cdot 2 - 3 u : 2 - 2 u^{2} - 3 u

(1 - u^{2}) \cdot 2 - 3 u

= 2 (1 - u^{2}) - 3 u

Développer

2 (1 - u^{2}) : 2 - 2 u^{2}

2 (1 - u^{2})

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 1, c = u^{2}

= 2 \cdot 1 - 2 u^{2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= 2 - 2 u^{2}

= 2 - 2 u^{2} - 3 u

2 - 2 u^{2} - 3 u = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} - 3 u + 2 = 0

Résoudre par la formule quadratique

- 2 u^{2} - 3 u + 2 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = - 2, b = - 3, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 2}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 2}{2 ( - 2 )}

(- 3)^{2} - 4 (- 2) \cdot 2 = 5

(- 3)^{2} - 4 (- 2) \cdot 2

Appliquer la règle

- (- a) = a

= (- 3)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 2

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 3)^{2} = 3^{2}

= 3^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 2

Multiplier les nombres :

4 \cdot 2 \cdot 2 = 16

= 3^{2} + 16

3^{2} = 9

= 9 + 16

Additionner les nombres :

9 + 16 = 25

= 25

Factoriser le nombre :

25 = 5^{2}

= 5^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

5^{2} = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm 5}{2 ( - 2 )}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- ( - 3 ) + 5}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- ( - 3 ) - 5}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- ( - 3 ) + 5}{2 ( - 2 )} : - 2

\frac{- ( - 3 ) + 5}{2 ( - 2 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{3 + 5}{- 2 \cdot 2}

Additionner les nombres :

3 + 5 = 8

= \frac{8}{- 2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= \frac{8}{- 4}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{4}

Diviser les nombres :

\frac{8}{4} = 2

= - 2

u = \frac{- ( - 3 ) - 5}{2 ( - 2 )} : \frac{1}{2}

\frac{- ( - 3 ) - 5}{2 ( - 2 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{3 - 5}{- 2 \cdot 2}

Soustraire les nombres :

3 - 5 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2}{- 4}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{4}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{1}{2}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = - 2, u = \frac{1}{2}

Remplacer

u = cos (\frac{x}{2})

cos (\frac{x}{2}) = - 2, cos (\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}

cos (\frac{x}{2}) = - 2, cos (\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}

cos (\frac{x}{2}) = - 2 :

Aucune solution

cos (\frac{x}{2}) = - 2

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Aucune solution

cos (\frac{x}{2}) = \frac{1}{2} : x = \frac{2 π}{3} + 4 πn, x = \frac{10 π}{3} + 4 πn

cos (\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}

Solutions générales pour

cos (\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

\frac{x}{2} = \frac{π}{3} + 2 πn, \frac{x}{2} = \frac{5 π}{3} + 2 πn

\frac{x}{2} = \frac{π}{3} + 2 πn, \frac{x}{2} = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Résoudre

\frac{x}{2} = \frac{π}{3} + 2 πn : x = \frac{2 π}{3} + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{π}{3} + 2 πn

Multiplier les deux côtés par

2

\frac{x}{2} = \frac{π}{3} + 2 πn

Multiplier les deux côtés par

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{π}{3} + 2 \cdot 2 πn

Simplifier

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{π}{3} + 2 \cdot 2 πn

Simplifier

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= x

Simplifier

2 \cdot \frac{π}{3} + 2 \cdot 2 πn : \frac{2 π}{3} + 4 πn

2 \cdot \frac{π}{3} + 2 \cdot 2 πn

Multiplier

2 \cdot \frac{π}{3} : \frac{2 π}{3}

2 \cdot \frac{π}{3}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{π 2}{3}

= \frac{2 π}{3} + 2 \cdot 2 πn

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2 π}{3} + 4 πn

x = \frac{2 π}{3} + 4 πn

x = \frac{2 π}{3} + 4 πn

x = \frac{2 π}{3} + 4 πn

Résoudre

\frac{x}{2} = \frac{5 π}{3} + 2 πn : x = \frac{10 π}{3} + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Multiplier les deux côtés par

2

\frac{x}{2} = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Multiplier les deux côtés par

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{5 π}{3} + 2 \cdot 2 πn

Simplifier

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{5 π}{3} + 2 \cdot 2 πn

Simplifier

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= x

Simplifier

2 \cdot \frac{5 π}{3} + 2 \cdot 2 πn : \frac{10 π}{3} + 4 πn

2 \cdot \frac{5 π}{3} + 2 \cdot 2 πn

2 \cdot \frac{5 π}{3} = \frac{10 π}{3}

2 \cdot \frac{5 π}{3}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{5 π 2}{3}

Multiplier les nombres :

5 \cdot 2 = 10

= \frac{10 π}{3}

2 \cdot 2 πn = 4 πn

2 \cdot 2 πn

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= 4 πn

= \frac{10 π}{3} + 4 πn

x = \frac{10 π}{3} + 4 πn

x = \frac{10 π}{3} + 4 πn

x = \frac{10 π}{3} + 4 πn

x = \frac{2 π}{3} + 4 πn, x = \frac{10 π}{3} + 4 πn

Combiner toutes les solutions

x = \frac{2 π}{3} + 4 πn, x = \frac{10 π}{3} + 4 πn

Exemples populaires

csc(4θ)=0

csc (4 θ) = 0

tan(10x)=cot(5x)

tan (10 x) = cot (5 x)

sin(x)=(4.5)/(11.75)

sin (x) = \frac{4.5}{11.75}

sin(x)(sin(x)-1)=cos^2(x)

sin (x) (sin (x) - 1) = cos^{2} (x)

sin(x)=0.7938894612

sin (x) = 0.7938894612