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2sin^2(x)+sin(x)= 1/2

Solución

2 sin^{2} (x) + sin (x) = \frac{1}{2}

Solución

x = 0.31415 \dots + 2 πn, x = π - 0.31415 \dots + 2 πn, x = - 0.94247 \dots + 2 πn, x = π + 0.94247 \dots + 2 πn

Grados

x = 1 8^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 16 2^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 5 4^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 23 4^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

2 sin^{2} (x) + sin (x) = \frac{1}{2}

Usando el método de sustitución

2 sin^{2} (x) + sin (x) = \frac{1}{2}

Sea:

sin (x) = u

2 u^{2} + u = \frac{1}{2}

2 u^{2} + u = \frac{1}{2} : u = \frac{- 1 + 5}{4}, u = - \frac{1 + 5}{4}

2 u^{2} + u = \frac{1}{2}

Multiplicar ambos lados por

2

2 u^{2} + u = \frac{1}{2}

Multiplicar ambos lados por

2

2 u^{2} \cdot 2 + u \cdot 2 = \frac{1}{2} \cdot 2

Simplificar

4 u^{2} + 2 u = 1

4 u^{2} + 2 u = 1

Mover

1

al lado izquierdo

4 u^{2} + 2 u = 1

Restar

1

de ambos lados

4 u^{2} + 2 u - 1 = 1 - 1

Simplificar

4 u^{2} + 2 u - 1 = 0

4 u^{2} + 2 u - 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

4 u^{2} + 2 u - 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 4, b = 2, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

2^{2} - 4 \cdot 4 (- 1) = 25

2^{2} - 4 \cdot 4 (- 1)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 2^{2} + 16

2^{2} = 4

= 4 + 16

Sumar:

4 + 16 = 20

= 20

Descomposición en factores primos de

20 : 2^{2} \cdot 5

20

20

divida por

220 = 10 \cdot 2

= 2 \cdot 10

10

divida por

210 = 5 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 5

2, 5

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 5 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 25

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 5}{2 \cdot 4}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 2 + 2 5}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 5}{2 \cdot 4}

u = \frac{- 2 + 2 5}{2 \cdot 4} : \frac{- 1 + 5}{4}

\frac{- 2 + 2 5}{2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 2 + 2 5}{8}

Factorizar

- 2 + 25 : 2 (- 1 + 5)

- 2 + 25

Reescribir como

= - 2 \cdot 1 + 25

Factorizar el termino común

2

= 2 (- 1 + 5)

= \frac{2 ( - 1 + 5 )}{8}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{- 1 + 5}{4}

u = \frac{- 2 - 2 5}{2 \cdot 4} : - \frac{1 + 5}{4}

\frac{- 2 - 2 5}{2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 2 - 2 5}{8}

Factorizar

- 2 - 25 : - 2 (1 + 5)

- 2 - 25

Reescribir como

= - 2 \cdot 1 - 25

Factorizar el termino común

2

= - 2 (1 + 5)

= - \frac{2 ( 1 + 5 )}{8}

Eliminar los terminos comunes:

2

= - \frac{1 + 5}{4}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{- 1 + 5}{4}, u = - \frac{1 + 5}{4}

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{4}, sin (x) = - \frac{1 + 5}{4}

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{4}, sin (x) = - \frac{1 + 5}{4}

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{4} : x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{4}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{4}

Soluciones generales para

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{4}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{1 + 5}{4} : x = arcsin (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{1 + 5}{4}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sin (x) = - \frac{1 + 5}{4}

Soluciones generales para

sin (x) = - \frac{1 + 5}{4}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = arcsin (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 0.31415 \dots + 2 πn, x = π - 0.31415 \dots + 2 πn, x = - 0.94247 \dots + 2 πn, x = π + 0.94247 \dots + 2 πn

Ejemplos populares

tan(x)=0.327

tan (x) = 0.327

(cos(2x))/(sin(x))=1

\frac{cos ( 2 x )}{sin ( x )} = 1

1.04cos^2(θ)+0.102cos(θ)-0.935=0

1.04 cos^{2} (θ) + 0.102 cos (θ) - 0.935 = 0

(1-cos^2(x))/(1+sin(x))=sin(x)

\frac{1 - cos ^{2} ( x )}{1 + sin ( x )} = sin (x)

cos(x^2)=-(sqrt(2))/2

cos (x^{2}) = - \frac{2}{2}