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(300)/(1-sin(θ))=400+400sin(θ)

Solución

\frac{300}{1 - sin ( θ )} = 400 + 400 sin (θ)

Solución

θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Grados

θ = 21 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 33 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

\frac{300}{1 - sin ( θ )} = 400 + 400 sin (θ)

Usando el método de sustitución

\frac{300}{1 - sin ( θ )} = 400 + 400 sin (θ)

Sea:

sin (θ) = u

\frac{300}{1 - u} = 400 + 400 u

\frac{300}{1 - u} = 400 + 400 u : u = - \frac{1}{2}, u = \frac{1}{2}

\frac{300}{1 - u} = 400 + 400 u

Multiplicar ambos lados por

1 - u

\frac{300}{1 - u} = 400 + 400 u

Multiplicar ambos lados por

1 - u

\frac{300}{1 - u} (1 - u) = 400 (1 - u) + 400 u (1 - u)

Simplificar

300 = 400 (1 - u) + 400 u (1 - u)

300 = 400 (1 - u) + 400 u (1 - u)

Resolver

300 = 400 (1 - u) + 400 u (1 - u) : u = - \frac{1}{2}, u = \frac{1}{2}

300 = 400 (1 - u) + 400 u (1 - u)

Desarrollar

400 (1 - u) + 400 u (1 - u) : 400 - 400 u^{2}

400 (1 - u) + 400 u (1 - u)

Expandir

400 (1 - u) : 400 - 400 u

400 (1 - u)

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 400, b = 1, c = u

= 400 \cdot 1 - 400 u

Multiplicar los numeros:

400 \cdot 1 = 400

= 400 - 400 u

= 400 - 400 u + 400 u (1 - u)

Expandir

400 u (1 - u) : 400 u - 400 u^{2}

400 u (1 - u)

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 400 u, b = 1, c = u

= 400 u \cdot 1 - 400 uu

= 400 \cdot 1 \cdot u - 400 uu

Simplificar

400 \cdot 1 \cdot u - 400 uu : 400 u - 400 u^{2}

400 \cdot 1 \cdot u - 400 uu

400 \cdot 1 \cdot u = 400 u

400 \cdot 1 \cdot u

Multiplicar los numeros:

400 \cdot 1 = 400

= 400 u

400 uu = 400 u^{2}

400 uu

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= 400 u^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= 400 u^{2}

= 400 u - 400 u^{2}

= 400 u - 400 u^{2}

= 400 - 400 u + 400 u - 400 u^{2}

Sumar elementos similares:

- 400 u + 400 u = 0

= 400 - 400 u^{2}

300 = 400 - 400 u^{2}

Intercambiar lados

400 - 400 u^{2} = 300

Mover

300

al lado izquierdo

400 - 400 u^{2} = 300

Restar

300

de ambos lados

400 - 400 u^{2} - 300 = 300 - 300

Simplificar

- 400 u^{2} + 100 = 0

- 400 u^{2} + 100 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 400 u^{2} + 100 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 400, b = 0, c = 100

u_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 0 ^{2} - 4 ( - 400 ) \cdot 100}{2 ( - 400 )}

u_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 0 ^{2} - 4 ( - 400 ) \cdot 100}{2 ( - 400 )}

0^{2} - 4 (- 400) \cdot 100 = 400

0^{2} - 4 (- 400) \cdot 100

Aplicar la regla

0^{a} = 0

0^{2} = 0

= 0 - 4 (- 400) \cdot 100

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 0 + 4 \cdot 400 \cdot 100

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 400 \cdot 100 = 160000

= 0 + 160000

Sumar:

0 + 160000 = 160000

= 160000

Descomponer el número en factores primos:

160000 = 40 0^{2}

= 40 0^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

40 0^{2} = 400

= 400

u_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 400}{2 ( - 400 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 0 + 400}{2 ( - 400 )}, u_{2} = \frac{- 0 - 400}{2 ( - 400 )}

u = \frac{- 0 + 400}{2 ( - 400 )} : - \frac{1}{2}

\frac{- 0 + 400}{2 ( - 400 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 0 + 400}{- 2 \cdot 400}

Sumar/restar lo siguiente:

- 0 + 400 = 400

= \frac{400}{- 2 \cdot 400}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 400 = 800

= \frac{400}{- 800}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{400}{800}

Eliminar los terminos comunes:

400

= - \frac{1}{2}

u = \frac{- 0 - 400}{2 ( - 400 )} : \frac{1}{2}

\frac{- 0 - 400}{2 ( - 400 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 0 - 400}{- 2 \cdot 400}

Restar:

- 0 - 400 = - 400

= \frac{- 400}{- 2 \cdot 400}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 400 = 800

= \frac{- 400}{- 800}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{400}{800}

Eliminar los terminos comunes:

400

= \frac{1}{2}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - \frac{1}{2}, u = \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}, u = \frac{1}{2}

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

u = 1

Tomar el(los) denominador(es) de

\frac{300}{1 - u}

y comparar con cero

Resolver

1 - u = 0 : u = 1

1 - u = 0

Mover

1

al lado derecho

1 - u = 0

Restar

1

de ambos lados

1 - u - 1 = 0 - 1

Simplificar

- u = - 1

- u = - 1

Dividir ambos lados entre

- 1

- u = - 1

Dividir ambos lados entre

- 1

\frac{- u}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

Simplificar

u = 1

u = 1

Los siguientes puntos no están definidos

u = 1

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

u = - \frac{1}{2}, u = \frac{1}{2}

Sustituir en la ecuación

u = sin (θ)

sin (θ) = - \frac{1}{2}, sin (θ) = \frac{1}{2}

sin (θ) = - \frac{1}{2}, sin (θ) = \frac{1}{2}

sin (θ) = - \frac{1}{2} : θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (θ) = - \frac{1}{2}

Soluciones generales para

sin (θ) = - \frac{1}{2}

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (θ) = \frac{1}{2} : θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (θ) = \frac{1}{2}

Soluciones generales para

sin (θ) = \frac{1}{2}

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Ejemplos populares

sin(t)= 2/3

sin (t) = \frac{2}{3}

1/485 tan^2(x)=0

\frac{1}{485} tan^{2} (x) = 0

5cos(3x)=-4

5 cos (3 x) = - 4

sin(2t)= 7/9

sin (2 t) = \frac{7}{9}

sin(A)=(64)/(115.43)

sin (A) = \frac{64}{115.43}