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tan(x)+cot(x)= 5/2

Solución

tan (x) + cot (x) = \frac{5}{2}

Solución

x = 0.46364 \dots + πn, x = 1.10714 \dots + πn

Grados

x = 26.56505 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 63.43494 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Pasos de solución

tan (x) + cot (x) = \frac{5}{2}

Restar

\frac{5}{2}

de ambos lados

tan (x) + cot (x) - \frac{5}{2} = 0

Simplificar

tan (x) + cot (x) - \frac{5}{2} : \frac{2 tan ( x ) + 2 cot ( x ) - 5}{2}

tan (x) + cot (x) - \frac{5}{2}

Convertir a fracción:

tan (x) = \frac{tan ( x ) 2}{2}, cot (x) = \frac{cot ( x ) 2}{2}

= \frac{tan ( x ) \cdot 2}{2} + \frac{cot ( x ) \cdot 2}{2} - \frac{5}{2}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{tan ( x ) \cdot 2 + cot ( x ) \cdot 2 - 5}{2}

\frac{2 tan ( x ) + 2 cot ( x ) - 5}{2} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

2 tan (x) + 2 cot (x) - 5 = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 5 + 2 cot (x) + 2 tan (x)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

tan (x) = \frac{1}{cot ( x )}

= - 5 + 2 cot (x) + 2 \cdot \frac{1}{cot ( x )}

2 \cdot \frac{1}{cot ( x )} = \frac{2}{cot ( x )}

2 \cdot \frac{1}{cot ( x )}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{cot ( x )}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{cot ( x )}

= - 5 + 2 cot (x) + \frac{2}{cot ( x )}

- 5 + \frac{2}{cot ( x )} + 2 cot (x) = 0

Usando el método de sustitución

- 5 + \frac{2}{cot ( x )} + 2 cot (x) = 0

Sea:

cot (x) = u

- 5 + \frac{2}{u} + 2 u = 0

- 5 + \frac{2}{u} + 2 u = 0 : u = 2, u = \frac{1}{2}

- 5 + \frac{2}{u} + 2 u = 0

Multiplicar ambos lados por

u

- 5 + \frac{2}{u} + 2 u = 0

Multiplicar ambos lados por

u

- 5 u + \frac{2}{u} u + 2 uu = 0 \cdot u

Simplificar

- 5 u + \frac{2}{u} u + 2 uu = 0 \cdot u

Simplificar

\frac{2}{u} u : 2

\frac{2}{u} u

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 u}{u}

Eliminar los terminos comunes:

u

= 2

Simplificar

2 uu : 2 u^{2}

2 uu

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= 2 u^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= 2 u^{2}

Simplificar

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Aplicar la regla

0 \cdot a = 0

= 0

- 5 u + 2 + 2 u^{2} = 0

- 5 u + 2 + 2 u^{2} = 0

- 5 u + 2 + 2 u^{2} = 0

Resolver

- 5 u + 2 + 2 u^{2} = 0 : u = 2, u = \frac{1}{2}

- 5 u + 2 + 2 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} - 5 u + 2 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

2 u^{2} - 5 u + 2 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 2, b = - 5, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2}

(- 5)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 3

(- 5)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 5)^{2} = 5^{2}

= 5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 2 \cdot 2 = 16

= 5^{2} - 16

5^{2} = 25

= 25 - 16

Restar:

25 - 16 = 9

= 9

Descomponer el número en factores primos:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

3^{2} = 3

= 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm 3}{2 \cdot 2}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 5 ) + 3}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 5 ) - 3}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 5 ) + 3}{2 \cdot 2} : 2

\frac{- ( - 5 ) + 3}{2 \cdot 2}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{5 + 3}{2 \cdot 2}

Sumar:

5 + 3 = 8

= \frac{8}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{8}{4}

Dividir:

\frac{8}{4} = 2

= 2

u = \frac{- ( - 5 ) - 3}{2 \cdot 2} : \frac{1}{2}

\frac{- ( - 5 ) - 3}{2 \cdot 2}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{5 - 3}{2 \cdot 2}

Restar:

5 - 3 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2}{4}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{1}{2}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = 2, u = \frac{1}{2}

u = 2, u = \frac{1}{2}

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

u = 0

Tomar el(los) denominador(es) de

- 5 + \frac{2}{u} + 2 u

y comparar con cero

u = 0

Los siguientes puntos no están definidos

u = 0

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

u = 2, u = \frac{1}{2}

Sustituir en la ecuación

u = cot (x)

cot (x) = 2, cot (x) = \frac{1}{2}

cot (x) = 2, cot (x) = \frac{1}{2}

cot (x) = 2 : x = arccot (2) + πn

cot (x) = 2

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cot (x) = 2

Soluciones generales para

cot (x) = 2

cot (x) = a \Rightarrow x = arccot (a) + πn

x = arccot (2) + πn

x = arccot (2) + πn

cot (x) = \frac{1}{2} : x = arccot (\frac{1}{2}) + πn

cot (x) = \frac{1}{2}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cot (x) = \frac{1}{2}

Soluciones generales para

cot (x) = \frac{1}{2}

cot (x) = a \Rightarrow x = arccot (a) + πn

x = arccot (\frac{1}{2}) + πn

x = arccot (\frac{1}{2}) + πn

Combinar toda las soluciones

x = arccot (2) + πn, x = arccot (\frac{1}{2}) + πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 0.46364 \dots + πn, x = 1.10714 \dots + πn

Ejemplos populares

sin(2x)+sqrt(2)cos(x)=0

sin (2 x) + 2 cos (x) = 0

cos(x/2)-sin(x/2)=0

cos (\frac{x}{2}) - sin (\frac{x}{2}) = 0

csc(2x)=-sqrt(2)

csc (2 x) = - 2

3sin(2x)=-1.76

3 sin (2 x) = - 1.76

sin(θ)= 5/12

sin (θ) = \frac{5}{12}