English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

פּוֹפּוּלָרִי >

4sin(x)+5cos(x)=6

פתרון

4 sin (x) + 5 cos (x) = 6

פתרון

x = 1.03147 \dots + 2 πn, x = 0.31800 \dots + 2 πn

מעלות

x = 59.09912 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18.22049 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

צעדי פתרון

4 sin (x) + 5 cos (x) = 6

משני האגפים

5 cos (x)

החסר

4 sin (x) = 6 - 5 cos (x)

העלה בריבוע את שני האגפים

(4 sin (x))^{2} = (6 - 5 cos (x))^{2}

משני האגפים

(6 - 5 cos (x))^{2}

החסר

16 sin^{2} (x) - 36 + 60 cos (x) - 25 cos^{2} (x) = 0

Rewrite using trig identities

- 36 + 16 sin^{2} (x) - 25 cos^{2} (x) + 60 cos (x)

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

:הפעל זהות פיטגורית

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 36 + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 25 cos^{2} (x) + 60 cos (x)

- 36 + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 25 cos^{2} (x) + 60 cos (x)

פשט את:

60 cos (x) - 41 cos^{2} (x) - 20

- 36 + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 25 cos^{2} (x) + 60 cos (x)

16 (1 - cos^{2} (x))

הרחב את:

16 - 16 cos^{2} (x)

16 (1 - cos^{2} (x))

a (b - c) = ab - a c

: פתח סוגריים בעזרת

a = 16, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 16 \cdot 1 - 16 cos^{2} (x)

16 \cdot 1 = 16 :

הכפל את המספרים

= 16 - 16 cos^{2} (x)

= - 36 + 16 - 16 cos^{2} (x) - 25 cos^{2} (x) + 60 cos (x)

- 36 + 16 - 16 cos^{2} (x) - 25 cos^{2} (x) + 60 cos (x)

פשט את:

60 cos (x) - 41 cos^{2} (x) - 20

- 36 + 16 - 16 cos^{2} (x) - 25 cos^{2} (x) + 60 cos (x)

- 16 cos^{2} (x) - 25 cos^{2} (x) = - 41 cos^{2} (x) :

חבר איברים דומים

= - 36 + 16 - 41 cos^{2} (x) + 60 cos (x)

- 36 + 16 = - 20 :

חסר/חבר את המספרים

= 60 cos (x) - 41 cos^{2} (x) - 20

= 60 cos (x) - 41 cos^{2} (x) - 20

= 60 cos (x) - 41 cos^{2} (x) - 20

- 20 - 41 cos^{2} (x) + 60 cos (x) = 0

בעזרת שיטת ההצבה

- 20 - 41 cos^{2} (x) + 60 cos (x) = 0

cos (x) = u :

נניח ש

- 20 - 41 u^{2} + 60 u = 0

- 20 - 41 u^{2} + 60 u = 0 : u = \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}, u = \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}

- 20 - 41 u^{2} + 60 u = 0

a x^{2} + b x + c = 0

כתוב בצורה הסטנדרטית

- 41 u^{2} + 60 u - 20 = 0

פתור בעזרת הנוסחה הריבועית

- 41 u^{2} + 60 u - 20 = 0

הנוסחה לפתרון משוואה ריבועית

a = - 41, b = 60, c = - 20

עבור

u_{1, 2} = \frac{- 60 \pm 6 0 ^{2} - 4 ( - 41 ) ( - 20 )}{2 ( - 41 )}

u_{1, 2} = \frac{- 60 \pm 6 0 ^{2} - 4 ( - 41 ) ( - 20 )}{2 ( - 41 )}

6 0^{2} - 4 (- 41) (- 20) = 85

6 0^{2} - 4 (- 41) (- 20)

- (- a) = a

הפעל את החוק

= 6 0^{2} - 4 \cdot 41 \cdot 20

4 \cdot 41 \cdot 20 = 3280 :

הכפל את המספרים

= 6 0^{2} - 3280

6 0^{2} = 3600

= 3600 - 3280

3600 - 3280 = 320 :

חסר את המספרים

= 320

320

פירוק לגורמים ראשוניים של:

2^{6} \cdot 5

320

320 = 160 \cdot 2, 2

מתחלק ב

320

= 2 \cdot 160

160 = 80 \cdot 2, 2

מתחלק ב

160

= 2 \cdot 2 \cdot 80

80 = 40 \cdot 2, 2

מתחלק ב

80

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 40

40 = 20 \cdot 2, 2

מתחלק ב

40

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 20

20 = 10 \cdot 2, 2

מתחלק ב

20

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 10

10 = 5 \cdot 2, 2

מתחלק ב

10

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5

מורכב ממספרים ראשוניים בלבד, לכו פירוק נוסף אינו אפשרי

2, 5

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5

= 2^{6} \cdot 5

= 2^{6} \cdot 5

:הפעל את חוק השורשים

= 5 2^{6}

:הפעל את חוק השורשים

2^{6} = 2^{\frac{6}{2}} = 2^{3}

= 2^{3} 5

פשט

= 85

u_{1, 2} = \frac{- 60 \pm 8 5}{2 ( - 41 )}

Separate the solutions

u_{1} = \frac{- 60 + 8 5}{2 ( - 41 )}, u_{2} = \frac{- 60 - 8 5}{2 ( - 41 )}

u = \frac{- 60 + 8 5}{2 ( - 41 )} : \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}

\frac{- 60 + 8 5}{2 ( - 41 )}

(- a) = - a

:הסר סוגריים

= \frac{- 60 + 8 5}{- 2 \cdot 41}

2 \cdot 41 = 82 :

הכפל את המספרים

= \frac{- 60 + 8 5}{- 82}

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

: השתמש בתכונת השברים הבאה

- 60 + 85 = - (60 - 85)

= \frac{60 - 8 5}{82}

60 - 85

פרק לגורמים את:

4 (15 - 25)

60 - 85

כתוב מחדש בתור

= 4 \cdot 15 - 4 \cdot 25

4

הוצא את הגורם המשותף

= 4 (15 - 25)

= \frac{4 ( 15 - 2 5 )}{82}

2 :

בטל את הגורמים המשותפים

= \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}

u = \frac{- 60 - 8 5}{2 ( - 41 )} : \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}

\frac{- 60 - 8 5}{2 ( - 41 )}

(- a) = - a

:הסר סוגריים

= \frac{- 60 - 8 5}{- 2 \cdot 41}

2 \cdot 41 = 82 :

הכפל את המספרים

= \frac{- 60 - 8 5}{- 82}

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

: השתמש בתכונת השברים הבאה

- 60 - 85 = - (60 + 85)

= \frac{60 + 8 5}{82}

60 + 85

פרק לגורמים את:

4 (15 + 25)

60 + 85

כתוב מחדש בתור

= 4 \cdot 15 + 4 \cdot 25

4

הוצא את הגורם המשותף

= 4 (15 + 25)

= \frac{4 ( 15 + 2 5 )}{82}

2 :

בטל את הגורמים המשותפים

= \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}

הפתרונות למשוואה הריבועית הם

u = \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}, u = \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}

u = cos (x)

החלף בחזרה

cos (x) = \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}, cos (x) = \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}

cos (x) = \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}, cos (x) = \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}

cos (x) = \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41} : x = arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}

Apply trig inverse properties

cos (x) = \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}

cos (x) = \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41} :

פתרונות כלליים עבור

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41} : x = arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}

Apply trig inverse properties

cos (x) = \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}

cos (x) = \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41} :

פתרונות כלליים עבור

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn

אחד את הפתרונות

x = arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn

וודא את נכונות הפתרונות על ידי הצבתם במשוואה המקורית

כדי לבדוק את נכונותם

4 sin (x) + 5 cos (x) = 6

הצב את הפתרונות ב

מחק את הפתרונות שמביאים לביטוי שקר

arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn

בדוק את הפתרון:

נכון

arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn

n = 1

החלף את

arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 π 1

x = arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 π 1

הצב

, 4 sin (x) + 5 cos (x) = 6

עבור

4 sin (arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 π 1) + 5 cos (arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 π 1) = 6

פשט

6 = 6

\Rightarrow נכון

2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn

בדוק את הפתרון:

לא נכון

2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn

n = 1

החלף את

2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 π 1

x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 π 1

הצב

, 4 sin (x) + 5 cos (x) = 6

עבור

4 sin (2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 π 1) + 5 cos (2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 π 1) = 6

פשט

- 0.86445 \dots = 6

\Rightarrow לא נכון

arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn

בדוק את הפתרון:

נכון

arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn

n = 1

החלף את

arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 π 1

x = arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 π 1

הצב

, 4 sin (x) + 5 cos (x) = 6

עבור

4 sin (arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 π 1) + 5 cos (arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 π 1) = 6

פשט

6 = 6

\Rightarrow נכון

2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn

בדוק את הפתרון:

לא נכון

2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn

n = 1

החלף את

2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 π 1

x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 π 1

הצב

, 4 sin (x) + 5 cos (x) = 6

עבור

4 sin (2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 π 1) + 5 cos (2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 π 1) = 6

פשט

3.49860 \dots = 6

\Rightarrow לא נכון

x = arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn

הראה פיתרון ביצוג עשרוני

x = 1.03147 \dots + 2 πn, x = 0.31800 \dots + 2 πn

דוגמאות פופולריות

sin^2(x)=((5m-3))/3

sin^{2} (x) = \frac{( 5 m - 3 )}{3}

(sqrt(3))/2 cos(x)+1/2 sin(x)= 1/2

\frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x) = \frac{1}{2}

cos(x)= 4/(sqrt(3.38^2+2^2))

cos (x) = \frac{4}{3.3 8 ^{2} + 2 ^{2}}

-3=6sin(θ)

- 3 = 6 sin (θ)

cos(x)=(-4)/5

cos (x) = \frac{- 4}{5}