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7cot(z)+tan(z)=7csc(z)

Solución

7 cot (z) + tan (z) = 7 csc (z)

Solución

z = 1.40334 \dots + 2 πn, z = 2 π - 1.40334 \dots + 2 πn

Grados

z = 80.40593 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, z = 279.59406 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

7 cot (z) + tan (z) = 7 csc (z)

Restar

7 csc (z)

de ambos lados

7 cot (z) + tan (z) - 7 csc (z) = 0

Expresar con seno, coseno

tan (z) + 7 cot (z) - 7 csc (z)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( z )}{cos ( z )} + 7 cot (z) - 7 csc (z)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{sin ( z )}{cos ( z )} + 7 \cdot \frac{cos ( z )}{sin ( z )} - 7 csc (z)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{sin ( z )}{cos ( z )} + 7 \cdot \frac{cos ( z )}{sin ( z )} - 7 \cdot \frac{1}{sin ( z )}

Simplificar

\frac{sin ( z )}{cos ( z )} + 7 \cdot \frac{cos ( z )}{sin ( z )} - 7 \cdot \frac{1}{sin ( z )} : \frac{sin ^{2} ( z ) + cos ( z ) ( 7 cos ( z ) - 7 )}{cos ( z ) sin ( z )}

\frac{sin ( z )}{cos ( z )} + 7 \cdot \frac{cos ( z )}{sin ( z )} - 7 \cdot \frac{1}{sin ( z )}

7 \cdot \frac{cos ( z )}{sin ( z )} = \frac{7 cos ( z )}{sin ( z )}

7 \cdot \frac{cos ( z )}{sin ( z )}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{cos ( z ) \cdot 7}{sin ( z )}

7 \cdot \frac{1}{sin ( z )} = \frac{7}{sin ( z )}

7 \cdot \frac{1}{sin ( z )}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 7}{sin ( z )}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 7 = 7

= \frac{7}{sin ( z )}

= \frac{sin ( z )}{cos ( z )} + \frac{7 cos ( z )}{sin ( z )} - \frac{7}{sin ( z )}

Combinar las fracciones usando el mínimo común denominador:

\frac{7 cos ( z ) - 7}{sin ( z )}

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{7 cos ( z ) - 7}{sin ( z )}

= \frac{sin ( z )}{cos ( z )} + \frac{7 cos ( z ) - 7}{sin ( z )}

Mínimo común múltiplo de

cos (z), sin (z) : cos (z) sin (z)

cos (z), sin (z)

Mínimo común múltiplo (MCM)

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan tanto en

cos (z)

sin (z)

= cos (z) sin (z)

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{sin ( z )}{cos ( z )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

sin (z)

\frac{sin ( z )}{cos ( z )} = \frac{sin ( z ) sin ( z )}{cos ( z ) sin ( z )} = \frac{sin ^{2} ( z )}{cos ( z ) sin ( z )}

Para

\frac{cos ( z ) \cdot 7 - 7}{sin ( z )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

cos (z)

\frac{cos ( z ) \cdot 7 - 7}{sin ( z )} = \frac{( cos ( z ) \cdot 7 - 7 ) cos ( z )}{sin ( z ) cos ( z )}

= \frac{sin ^{2} ( z )}{cos ( z ) sin ( z )} + \frac{( cos ( z ) \cdot 7 - 7 ) cos ( z )}{sin ( z ) cos ( z )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ^{2} ( z ) + ( cos ( z ) \cdot 7 - 7 ) cos ( z )}{cos ( z ) sin ( z )}

= \frac{sin ^{2} ( z ) + cos ( z ) ( 7 cos ( z ) - 7 )}{cos ( z ) sin ( z )}

\frac{sin ^{2} ( z ) + ( - 7 + 7 cos ( z ) ) cos ( z )}{cos ( z ) sin ( z )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

sin^{2} (z) + (- 7 + 7 cos (z)) cos (z) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

sin^{2} (z) + (- 7 + 7 cos (z)) cos (z)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= 1 - cos^{2} (z) + (- 7 + 7 cos (z)) cos (z)

Simplificar

1 - cos^{2} (z) + (- 7 + 7 cos (z)) cos (z) : 6 cos^{2} (z) - 7 cos (z) + 1

1 - cos^{2} (z) + (- 7 + 7 cos (z)) cos (z)

= 1 - cos^{2} (z) + cos (z) (- 7 + 7 cos (z))

Expandir

cos (z) (- 7 + 7 cos (z)) : - 7 cos (z) + 7 cos^{2} (z)

cos (z) (- 7 + 7 cos (z))

Poner los parentesis utilizando:

a (b + c) = ab + a c

a = cos (z), b = - 7, c = 7 cos (z)

= cos (z) (- 7) + cos (z) \cdot 7 cos (z)

Aplicar las reglas de los signos

+ (- a) = - a

= - 7 cos (z) + 7 cos (z) cos (z)

7 cos (z) cos (z) = 7 cos^{2} (z)

7 cos (z) cos (z)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (z) cos (z) = cos^{1 + 1} (z)

= 7 cos^{1 + 1} (z)

Sumar:

1 + 1 = 2

= 7 cos^{2} (z)

= - 7 cos (z) + 7 cos^{2} (z)

= 1 - cos^{2} (z) - 7 cos (z) + 7 cos^{2} (z)

Simplificar

1 - cos^{2} (z) - 7 cos (z) + 7 cos^{2} (z) : 6 cos^{2} (z) - 7 cos (z) + 1

1 - cos^{2} (z) - 7 cos (z) + 7 cos^{2} (z)

Agrupar términos semejantes

= - cos^{2} (z) - 7 cos (z) + 7 cos^{2} (z) + 1

Sumar elementos similares:

- cos^{2} (z) + 7 cos^{2} (z) = 6 cos^{2} (z)

= 6 cos^{2} (z) - 7 cos (z) + 1

= 6 cos^{2} (z) - 7 cos (z) + 1

= 6 cos^{2} (z) - 7 cos (z) + 1

1 + 6 cos^{2} (z) - 7 cos (z) = 0

Usando el método de sustitución

1 + 6 cos^{2} (z) - 7 cos (z) = 0

Sea:

cos (z) = u

1 + 6 u^{2} - 7 u = 0

1 + 6 u^{2} - 7 u = 0 : u = 1, u = \frac{1}{6}

1 + 6 u^{2} - 7 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

6 u^{2} - 7 u + 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

6 u^{2} - 7 u + 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 6, b = - 7, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 7 ) \pm ( - 7 ) ^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 1}{2 \cdot 6}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 7 ) \pm ( - 7 ) ^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 1}{2 \cdot 6}

(- 7)^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 5

(- 7)^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 1

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 7)^{2} = 7^{2}

= 7^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 6 \cdot 1 = 24

= 7^{2} - 24

7^{2} = 49

= 49 - 24

Restar:

49 - 24 = 25

= 25

Descomponer el número en factores primos:

25 = 5^{2}

= 5^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

5^{2} = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 7 ) \pm 5}{2 \cdot 6}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 7 ) + 5}{2 \cdot 6}, u_{2} = \frac{- ( - 7 ) - 5}{2 \cdot 6}

u = \frac{- ( - 7 ) + 5}{2 \cdot 6} : 1

\frac{- ( - 7 ) + 5}{2 \cdot 6}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{7 + 5}{2 \cdot 6}

Sumar:

7 + 5 = 12

= \frac{12}{2 \cdot 6}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{12}{12}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 7 ) - 5}{2 \cdot 6} : \frac{1}{6}

\frac{- ( - 7 ) - 5}{2 \cdot 6}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{7 - 5}{2 \cdot 6}

Restar:

7 - 5 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 6}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{2}{12}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{1}{6}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = 1, u = \frac{1}{6}

Sustituir en la ecuación

u = cos (z)

cos (z) = 1, cos (z) = \frac{1}{6}

cos (z) = 1, cos (z) = \frac{1}{6}

cos (z) = 1 : z = 2 πn

cos (z) = 1

Soluciones generales para

cos (z) = 1

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

z = 0 + 2 πn

z = 0 + 2 πn

Resolver

z = 0 + 2 πn : z = 2 πn

z = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

z = 2 πn

z = 2 πn

cos (z) = \frac{1}{6} : z = arccos (\frac{1}{6}) + 2 πn, z = 2 π - arccos (\frac{1}{6}) + 2 πn

cos (z) = \frac{1}{6}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (z) = \frac{1}{6}

Soluciones generales para

cos (z) = \frac{1}{6}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

z = arccos (\frac{1}{6}) + 2 πn, z = 2 π - arccos (\frac{1}{6}) + 2 πn

z = arccos (\frac{1}{6}) + 2 πn, z = 2 π - arccos (\frac{1}{6}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

z = 2 πn, z = arccos (\frac{1}{6}) + 2 πn, z = 2 π - arccos (\frac{1}{6}) + 2 πn

Siendo que la ecuación esta indefinida para:

2 πn

z = arccos (\frac{1}{6}) + 2 πn, z = 2 π - arccos (\frac{1}{6}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

z = 1.40334 \dots + 2 πn, z = 2 π - 1.40334 \dots + 2 πn

Ejemplos populares

3+sin(2x)=1-6sin(2x)

3 + sin (2 x) = 1 - 6 sin (2 x)

cos(x)=0,sin(x)=cos(x),sin(x)=0

cos (x) = 0, sin (x) = cos (x), sin (x) = 0

2asin(x)+a=0

2 a sin (x) + a = 0

tan(θ)=(2/3)

tan (θ) = (\frac{2}{3})

tan(θ)=8.1443

tan (θ) = 8.1443