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3cos(2x)+7sin(x)-5=0

Lösung

3 cos (2 x) + 7 sin (x) - 5 = 0

Lösung

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = 0.72972 \dots + 2 πn, x = π - 0.72972 \dots + 2 πn

Grad

x = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 41.81031 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 138.18968 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

3 cos (2 x) + 7 sin (x) - 5 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 5 + 3 cos (2 x) + 7 sin (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= - 5 + 3 (1 - 2 sin^{2} (x)) + 7 sin (x)

Vereinfache

- 5 + 3 (1 - 2 sin^{2} (x)) + 7 sin (x) : 7 sin (x) - 6 sin^{2} (x) - 2

- 5 + 3 (1 - 2 sin^{2} (x)) + 7 sin (x)

Multipliziere aus

3 (1 - 2 sin^{2} (x)) : 3 - 6 sin^{2} (x)

3 (1 - 2 sin^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 1, c = 2 sin^{2} (x)

= 3 \cdot 1 - 3 \cdot 2 sin^{2} (x)

Vereinfache

3 \cdot 1 - 3 \cdot 2 sin^{2} (x) : 3 - 6 sin^{2} (x)

3 \cdot 1 - 3 \cdot 2 sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 1 = 3

= 3 - 3 \cdot 2 sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 2 = 6

= 3 - 6 sin^{2} (x)

= 3 - 6 sin^{2} (x)

= - 5 + 3 - 6 sin^{2} (x) + 7 sin (x)

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 5 + 3 = - 2

= 7 sin (x) - 6 sin^{2} (x) - 2

= 7 sin (x) - 6 sin^{2} (x) - 2

- 2 - 6 sin^{2} (x) + 7 sin (x) = 0

Löse mit Substitution

- 2 - 6 sin^{2} (x) + 7 sin (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

- 2 - 6 u^{2} + 7 u = 0

- 2 - 6 u^{2} + 7 u = 0 : u = \frac{1}{2}, u = \frac{2}{3}

- 2 - 6 u^{2} + 7 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 6 u^{2} + 7 u - 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 6 u^{2} + 7 u - 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 6, b = 7, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- 7 \pm 7 ^{2} - 4 ( - 6 ) ( - 2 )}{2 ( - 6 )}

u_{1, 2} = \frac{- 7 \pm 7 ^{2} - 4 ( - 6 ) ( - 2 )}{2 ( - 6 )}

7^{2} - 4 (- 6) (- 2) = 1

7^{2} - 4 (- 6) (- 2)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 7^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 6 \cdot 2 = 48

= 7^{2} - 48

7^{2} = 49

= 49 - 48

Subtrahiere die Zahlen:

49 - 48 = 1

= 1

Wende Regel an

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- 7 \pm 1}{2 ( - 6 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 7 + 1}{2 ( - 6 )}, u_{2} = \frac{- 7 - 1}{2 ( - 6 )}

u = \frac{- 7 + 1}{2 ( - 6 )} : \frac{1}{2}

\frac{- 7 + 1}{2 ( - 6 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 7 + 1}{- 2 \cdot 6}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 7 + 1 = - 6

= \frac{- 6}{- 2 \cdot 6}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{- 6}{- 12}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{6}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

6

= \frac{1}{2}

u = \frac{- 7 - 1}{2 ( - 6 )} : \frac{2}{3}

\frac{- 7 - 1}{2 ( - 6 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 7 - 1}{- 2 \cdot 6}

Subtrahiere die Zahlen:

- 7 - 1 = - 8

= \frac{- 8}{- 2 \cdot 6}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{- 8}{- 12}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{8}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{2}{3}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{1}{2}, u = \frac{2}{3}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = \frac{1}{2}, sin (x) = \frac{2}{3}

sin (x) = \frac{1}{2}, sin (x) = \frac{2}{3}

sin (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) = \frac{2}{3} : x = arcsin (\frac{2}{3}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{2}{3}) + 2 πn

sin (x) = \frac{2}{3}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = \frac{2}{3}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{2}{3}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{2}{3}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{2}{3}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{2}{3}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{2}{3}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = arcsin (\frac{2}{3}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{2}{3}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = 0.72972 \dots + 2 πn, x = π - 0.72972 \dots + 2 πn

Beliebte Beispiele

cos^2(θ)= 1/3

cos^{2} (θ) = \frac{1}{3}

solvefor x,sin(x/5)=-(sqrt(3))/2 löse nach

x, sin (\frac{x}{5}) = - \frac{3}{2}

sin(B)= 3/10

sin (B) = \frac{3}{10}

sqrt(3)=2sqrt(3)-3cot(x)

3 = 23 - 3 cot (x)

2tan^2(θ)-tan(θ)=3

2 tan^{2} (θ) - tan (θ) = 3