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sec^2(θ)+csc^2(θ)=1

Solución

sec^{2} (θ) + csc^{2} (θ) = 1

Solución

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para θ \in R

Pasos de solución

sec^{2} (θ) + csc^{2} (θ) = 1

Restar

1

de ambos lados

sec^{2} (θ) + csc^{2} (θ) - 1 = 0

Expresar con seno, coseno

- 1 + csc^{2} (θ) + sec^{2} (θ)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= - 1 + (\frac{1}{sin ( θ )})^{2} + sec^{2} (θ)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= - 1 + (\frac{1}{sin ( θ )})^{2} + (\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

Simplificar

- 1 + (\frac{1}{sin ( θ )})^{2} + (\frac{1}{cos ( θ )})^{2} : \frac{- sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

- 1 + (\frac{1}{sin ( θ )})^{2} + (\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

(\frac{1}{sin ( θ )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{sin ( θ )})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( θ )}

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( θ )}

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

= - 1 + \frac{1}{sin ^{2} ( θ )} + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

Convertir a fracción:

1 = \frac{1}{1}

= - \frac{1}{1} + \frac{1}{sin ^{2} ( θ )} + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

Mínimo común múltiplo de

1, sin^{2} (θ), cos^{2} (θ) : sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

1, sin^{2} (θ), cos^{2} (θ)

Mínimo común múltiplo (MCM)

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan en al menos una de las expresiones factorizadas

= sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{1}{1} :

multiplicar el denominador y el numerador por

sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

\frac{1}{1} = \frac{1 \cdot sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}{1 \cdot sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )} = \frac{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

Para

\frac{1}{sin ^{2} ( θ )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

cos^{2} (θ)

\frac{1}{sin ^{2} ( θ )} = \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )} = \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

Para

\frac{1}{cos ^{2} ( θ )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

sin^{2} (θ)

\frac{1}{cos ^{2} ( θ )} = \frac{1 \cdot sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )} = \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

= - \frac{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )} + \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )} + \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

= \frac{- sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

\frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ ) - cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ) - cos^{2} (θ) sin^{2} (θ) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ) - cos^{2} (θ) sin^{2} (θ)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= - cos^{2} (θ) sin^{2} (θ) + 1

1 - cos^{2} (θ) sin^{2} (θ) = 0

Factorizar

1 - cos^{2} (θ) sin^{2} (θ) : (1 + sin (θ) cos (θ)) (1 - sin (θ) cos (θ))

1 - cos^{2} (θ) sin^{2} (θ)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

sin^{2} (θ) cos^{2} (θ) = (sin (θ) cos (θ))^{2}

= 1 - (sin (θ) cos (θ))^{2}

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

1 - (sin (θ) cos (θ))^{2} = (sin (θ) cos (θ) + 1) (- sin (θ) cos (θ) + 1)

= (sin (θ) cos (θ) + 1) (- sin (θ) cos (θ) + 1)

(1 + sin (θ) cos (θ)) (1 - sin (θ) cos (θ)) = 0

Resolver cada parte por separado

1 + sin (θ) cos (θ) = 0 or 1 - sin (θ) cos (θ) = 0

1 + sin (θ) cos (θ) = 0 :

Sin solución

1 + sin (θ) cos (θ) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

1 + sin (θ) cos (θ)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

sin (x) cos (x) = \frac{sin ( 2 x )}{2}

= 1 + \frac{sin ( 2 θ )}{2}

1 + \frac{sin ( 2 θ )}{2} = 0

Mover

1

al lado derecho

1 + \frac{sin ( 2 θ )}{2} = 0

Restar

1

de ambos lados

1 + \frac{sin ( 2 θ )}{2} - 1 = 0 - 1

Simplificar

\frac{sin ( 2 θ )}{2} = - 1

\frac{sin ( 2 θ )}{2} = - 1

Multiplicar ambos lados por

2

\frac{sin ( 2 θ )}{2} = - 1

Multiplicar ambos lados por

2

\frac{2 sin ( 2 θ )}{2} = 2 (- 1)

Simplificar

sin (2 θ) = - 2

sin (2 θ) = - 2

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

1 - sin (θ) cos (θ) = 0 :

Sin solución

1 - sin (θ) cos (θ) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

1 - sin (θ) cos (θ)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

sin (x) cos (x) = \frac{sin ( 2 x )}{2}

= 1 - \frac{sin ( 2 θ )}{2}

1 - \frac{sin ( 2 θ )}{2} = 0

Mover

1

al lado derecho

1 - \frac{sin ( 2 θ )}{2} = 0

Restar

1

de ambos lados

1 - \frac{sin ( 2 θ )}{2} - 1 = 0 - 1

Simplificar

- \frac{sin ( 2 θ )}{2} = - 1

- \frac{sin ( 2 θ )}{2} = - 1

Multiplicar ambos lados por

2

- \frac{sin ( 2 θ )}{2} = - 1

Multiplicar ambos lados por

2

2 (- \frac{sin ( 2 θ )}{2}) = 2 (- 1)

Simplificar

- sin (2 θ) = - 2

- sin (2 θ) = - 2

Dividir ambos lados entre

- 1

- sin (2 θ) = - 2

Dividir ambos lados entre

- 1

\frac{- sin ( 2 θ )}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}

Simplificar

sin (2 θ) = 2

sin (2 θ) = 2

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para θ \in R

Ejemplos populares

cos(t)-sin(t)=0

cos (t) - sin (t) = 0

sin(x)-cos(x)= 1/3

sin (x) - cos (x) = \frac{1}{3}

tan^2(x)=sec(x)-1,0<= x<= 2pi

tan^{2} (x) = sec (x) - 1, 0 \leq x \leq 2 π

sin^2(θ)=2sin^2(θ/2)

sin^{2} (θ) = 2 sin^{2} (\frac{θ}{2})

cos(x)=sqrt(cos(x))

cos (x) = cos (x)