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sin(x)-cos(x)=sqrt(3/2)

Solución

sin (x) - cos (x) = \frac{3}{2}

Solución

x = 2 πn + \frac{7 π}{12}, x = 2 πn + \frac{11 π}{12}

Grados

x = 10 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 16 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

sin (x) - cos (x) = \frac{3}{2}

Re-escribir usando identidades trigonométricas

sin (x) - cos (x)

sin (x) - cos (x) = 2 sin (x - \frac{π}{4})

sin (x) - cos (x)

Reescribir como

= 2 (\frac{1}{2} sin (x) - \frac{1}{2} cos (x))

Utilizar la siguiente identidad trivial:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

Utilizar la siguiente identidad trivial:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

= 2 (cos (\frac{π}{4}) sin (x) - sin (\frac{π}{4}) cos (x))

Utilizar la identidad de suma de ángulos:

sin (s - t) = sin (s) cos (t) - cos (s) sin (t)

= 2 sin (x - \frac{π}{4})

= 2 sin (x - \frac{π}{4})

2 sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{3}{2}

Dividir ambos lados entre

2

2 sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{3}{2}

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 sin ( x - \frac{π}{4} )}{2} = \frac{\frac{3}{2}}{2}

Simplificar

\frac{2 sin ( x - \frac{π}{4} )}{2} = \frac{\frac{3}{2}}{2}

Simplificar

\frac{2 sin ( x - \frac{π}{4} )}{2} : sin (x - \frac{π}{4})

\frac{2 sin ( x - \frac{π}{4} )}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= sin (x - \frac{π}{4})

Simplificar

\frac{\frac{3}{2}}{2} : \frac{3}{2}

\frac{\frac{3}{2}}{2}

\frac{3}{2} = \frac{3}{2}

\frac{3}{2}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{3}{2}

= \frac{\frac{3}{2}}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3}{2 2}

22 = 2

22

Aplicar las leyes de los exponentes:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{3}{2}

sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{3}{2}

sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{3}{2}

sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{3}{2}

Soluciones generales para

sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{3}{2}

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x - \frac{π}{4} = \frac{π}{3} + 2 πn, x - \frac{π}{4} = \frac{2 π}{3} + 2 πn

x - \frac{π}{4} = \frac{π}{3} + 2 πn, x - \frac{π}{4} = \frac{2 π}{3} + 2 πn

Resolver

x - \frac{π}{4} = \frac{π}{3} + 2 πn : x = 2 πn + \frac{7 π}{12}

x - \frac{π}{4} = \frac{π}{3} + 2 πn

Mover

\frac{π}{4}

al lado derecho

x - \frac{π}{4} = \frac{π}{3} + 2 πn

Sumar

\frac{π}{4}

a ambos lados

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{π}{3} + 2 πn + \frac{π}{4}

Simplificar

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{π}{3} + 2 πn + \frac{π}{4}

Simplificar

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} : x

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4}

Sumar elementos similares:

- \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = 0

= x

Simplificar

\frac{π}{3} + 2 πn + \frac{π}{4} : 2 πn + \frac{7 π}{12}

\frac{π}{3} + 2 πn + \frac{π}{4}

Agrupar términos semejantes

= 2 πn + \frac{π}{3} + \frac{π}{4}

Mínimo común múltiplo de

3, 4 : 12

3, 4

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

3 : 3

3

3

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 3

Descomposición en factores primos de

4 : 2 \cdot 2

4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Multiplicar cada factor el mayor número de veces que ocurra en cualquier

3

4

= 3 \cdot 2 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 2 \cdot 2 = 12

= 12

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{π}{3} :

multiplicar el denominador y el numerador por

4

\frac{π}{3} = \frac{π 4}{3 \cdot 4} = \frac{π 4}{12}

Para

\frac{π}{4} :

multiplicar el denominador y el numerador por

3

\frac{π}{4} = \frac{π 3}{4 \cdot 3} = \frac{π 3}{12}

= \frac{π 4}{12} + \frac{π 3}{12}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 4 + π 3}{12}

Sumar elementos similares:

4 π + 3 π = 7 π

= 2 πn + \frac{7 π}{12}

x = 2 πn + \frac{7 π}{12}

x = 2 πn + \frac{7 π}{12}

x = 2 πn + \frac{7 π}{12}

Resolver

x - \frac{π}{4} = \frac{2 π}{3} + 2 πn : x = 2 πn + \frac{11 π}{12}

x - \frac{π}{4} = \frac{2 π}{3} + 2 πn

Mover

\frac{π}{4}

al lado derecho

x - \frac{π}{4} = \frac{2 π}{3} + 2 πn

Sumar

\frac{π}{4}

a ambos lados

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{2 π}{3} + 2 πn + \frac{π}{4}

Simplificar

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{2 π}{3} + 2 πn + \frac{π}{4}

Simplificar

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} : x

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4}

Sumar elementos similares:

- \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = 0

= x

Simplificar

\frac{2 π}{3} + 2 πn + \frac{π}{4} : 2 πn + \frac{11 π}{12}

\frac{2 π}{3} + 2 πn + \frac{π}{4}

Agrupar términos semejantes

= 2 πn + \frac{π}{4} + \frac{2 π}{3}

Mínimo común múltiplo de

4, 3 : 12

4, 3

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

4 : 2 \cdot 2

4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Descomposición en factores primos de

3 : 3

3

3

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 3

Multiplicar cada factor el mayor número de veces que ocurra en cualquier

4

3

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para