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2sin(θ)=3(1-cos(θ))

Solución

2 sin (θ) = 3 (1 - cos (θ))

Solución

θ = 1.17600 \dots + 2 πn, θ = 2 πn

Grados

θ = 67.38013 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

2 sin (θ) = 3 (1 - cos (θ))

Elevar al cuadrado ambos lados

(2 sin (θ))^{2} = (3 (1 - cos (θ)))^{2}

Restar

(3 (1 - cos (θ)))^{2}

de ambos lados

4 sin^{2} (θ) - 9 (1 - cos (θ))^{2} = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- (1 - cos (θ))^{2} \cdot 9 + 4 sin^{2} (θ)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - (1 - cos (θ))^{2} \cdot 9 + 4 (1 - cos^{2} (θ))

Simplificar

- (1 - cos (θ))^{2} \cdot 9 + 4 (1 - cos^{2} (θ)) : 18 cos (θ) - 13 cos^{2} (θ) - 5

- (1 - cos (θ))^{2} \cdot 9 + 4 (1 - cos^{2} (θ))

= - 9 (1 - cos (θ))^{2} + 4 (1 - cos^{2} (θ))

(1 - cos (θ))^{2} : 1 - 2 cos (θ) + cos^{2} (θ)

Aplicar la formula del binomio al cuadrado:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 1, b = cos (θ)

= 1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot cos (θ) + cos^{2} (θ)

Simplificar

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot cos (θ) + cos^{2} (θ) : 1 - 2 cos (θ) + cos^{2} (θ)

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot cos (θ) + cos^{2} (θ)

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 2 \cdot 1 \cdot cos (θ) + cos^{2} (θ)

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= 1 - 2 cos (θ) + cos^{2} (θ)

= 1 - 2 cos (θ) + cos^{2} (θ)

= - (1 - 2 cos (θ) + cos^{2} (θ)) \cdot 9 + 4 (1 - cos^{2} (θ))

Expandir

- 9 (1 - 2 cos (θ) + cos^{2} (θ)) : - 9 + 18 cos (θ) - 9 cos^{2} (θ)

- 9 (1 - 2 cos (θ) + cos^{2} (θ))

Aplicar la siguiente regla de productos notables

= (- 9) \cdot 1 + (- 9) (- 2 cos (θ)) + (- 9) cos^{2} (θ)

Aplicar las reglas de los signos

+ (- a) = - a, (- a) (- b) = ab

= - 9 \cdot 1 + 9 \cdot 2 cos (θ) - 9 cos^{2} (θ)

Simplificar

- 9 \cdot 1 + 9 \cdot 2 cos (θ) - 9 cos^{2} (θ) : - 9 + 18 cos (θ) - 9 cos^{2} (θ)

- 9 \cdot 1 + 9 \cdot 2 cos (θ) - 9 cos^{2} (θ)

Multiplicar los numeros:

9 \cdot 1 = 9

= - 9 + 9 \cdot 2 cos (θ) - 9 cos^{2} (θ)

Multiplicar los numeros:

9 \cdot 2 = 18

= - 9 + 18 cos (θ) - 9 cos^{2} (θ)

= - 9 + 18 cos (θ) - 9 cos^{2} (θ)

= - 9 + 18 cos (θ) - 9 cos^{2} (θ) + 4 (1 - cos^{2} (θ))

Expandir

4 (1 - cos^{2} (θ)) : 4 - 4 cos^{2} (θ)

4 (1 - cos^{2} (θ))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= 4 \cdot 1 - 4 cos^{2} (θ)

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 cos^{2} (θ)

= - 9 + 18 cos (θ) - 9 cos^{2} (θ) + 4 - 4 cos^{2} (θ)

Simplificar

- 9 + 18 cos (θ) - 9 cos^{2} (θ) + 4 - 4 cos^{2} (θ) : 18 cos (θ) - 13 cos^{2} (θ) - 5

- 9 + 18 cos (θ) - 9 cos^{2} (θ) + 4 - 4 cos^{2} (θ)

Agrupar términos semejantes

= 18 cos (θ) - 9 cos^{2} (θ) - 4 cos^{2} (θ) - 9 + 4

Sumar elementos similares:

- 9 cos^{2} (θ) - 4 cos^{2} (θ) = - 13 cos^{2} (θ)

= 18 cos (θ) - 13 cos^{2} (θ) - 9 + 4

Sumar/restar lo siguiente:

- 9 + 4 = - 5

= 18 cos (θ) - 13 cos^{2} (θ) - 5

= 18 cos (θ) - 13 cos^{2} (θ) - 5

= 18 cos (θ) - 13 cos^{2} (θ) - 5

- 5 - 13 cos^{2} (θ) + 18 cos (θ) = 0

Usando el método de sustitución

- 5 - 13 cos^{2} (θ) + 18 cos (θ) = 0

Sea:

cos (θ) = u

- 5 - 13 u^{2} + 18 u = 0

- 5 - 13 u^{2} + 18 u = 0 : u = \frac{5}{13}, u = 1

- 5 - 13 u^{2} + 18 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 13 u^{2} + 18 u - 5 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 13 u^{2} + 18 u - 5 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 13, b = 18, c = - 5

u_{1, 2} = \frac{- 18 \pm 1 8 ^{2} - 4 ( - 13 ) ( - 5 )}{2 ( - 13 )}

u_{1, 2} = \frac{- 18 \pm 1 8 ^{2} - 4 ( - 13 ) ( - 5 )}{2 ( - 13 )}

1 8^{2} - 4 (- 13) (- 5) = 8

1 8^{2} - 4 (- 13) (- 5)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 1 8^{2} - 4 \cdot 13 \cdot 5

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 13 \cdot 5 = 260

= 1 8^{2} - 260

1 8^{2} = 324

= 324 - 260

Restar:

324 - 260 = 64

= 64

Descomponer el número en factores primos:

64 = 8^{2}

= 8^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

8^{2} = 8

= 8

u_{1, 2} = \frac{- 18 \pm 8}{2 ( - 13 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 18 + 8}{2 ( - 13 )}, u_{2} = \frac{- 18 - 8}{2 ( - 13 )}

u = \frac{- 18 + 8}{2 ( - 13 )} : \frac{5}{13}

\frac{- 18 + 8}{2 ( - 13 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 18 + 8}{- 2 \cdot 13}

Sumar/restar lo siguiente:

- 18 + 8 = - 10

= \frac{- 10}{- 2 \cdot 13}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 13 = 26

= \frac{- 10}{- 26}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{10}{26}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{5}{13}

u = \frac{- 18 - 8}{2 ( - 13 )} : 1

\frac{- 18 - 8}{2 ( - 13 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 18 - 8}{- 2 \cdot 13}

Restar:

- 18 - 8 = - 26

= \frac{- 26}{- 2 \cdot 13}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 13 = 26

= \frac{- 26}{- 26}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{26}{26}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= 1

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{5}{13}, u = 1

Sustituir en la ecuación

u = cos (θ)

cos (θ) = \frac{5}{13}, cos (θ) = 1

cos (θ) = \frac{5}{13}, cos (θ) = 1

cos (θ) = \frac{5}{13} : θ = arccos (\frac{5}{13}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{5}{13}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{5}{13}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (θ) = \frac{5}{13}

Soluciones generales para

cos (θ) = \frac{5}{13}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{5}{13}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{5}{13}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{5}{13}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{5}{13}) + 2 πn

cos (θ) = 1 : θ = 2 πn

cos (θ) = 1

Soluciones generales para

cos (θ) = 1

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = 0 + 2 πn

θ = 0 + 2 πn

Resolver

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn

Combinar toda las soluciones

θ = arccos (\frac{5}{13}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{5}{13}) + 2 πn, θ = 2 πn

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

2 sin (θ) = 3 (1 - cos (θ))

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

arccos (\frac{5}{13}) + 2 πn :

Verdadero

arccos (\frac{5}{13}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arccos (\frac{5}{13}) + 2 π 1

Multiplicar

2 sin (θ) = 3 (1 - cos (θ))

por

θ = arccos (\frac{5}{13}) + 2 π 1

2 sin (arccos (\frac{5}{13}) + 2 π 1) = 3 (1 - cos (arccos (\frac{5}{13}) + 2 π 1))

Simplificar

1.84615 \dots = 1.84615 \dots

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

2 π - arccos (\frac{5}{13}) + 2 πn :

Falso

2 π - arccos (\frac{5}{13}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

2 π - arccos (\frac{5}{13}) + 2 π 1

Multiplicar

2 sin (θ) = 3 (1 - cos (θ))

por

θ = 2 π - arccos (\frac{5}{13}) + 2 π 1

2 sin (2 π - arccos (\frac{5}{13}) + 2 π 1) = 3 (1 - cos (2 π - arccos (\frac{5}{13}) + 2 π 1))

Simplificar

- 1.84615 \dots = 1.84615 \dots

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

2 πn :

Verdadero

2 πn

Sustituir

n = 1

2 π 1

Multiplicar

2 sin (θ) = 3 (1 - cos (θ))

por

θ = 2 π 1

2 sin (2 π 1) = 3 (1 - cos (2 π 1))

Simplificar

0 = 0

\Rightarrow Verdadero

θ = arccos (\frac{5}{13}) + 2 πn, θ = 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

θ = 1.17600 \dots + 2 πn, θ = 2 πn

Ejemplos populares

4sin^2(x)tan(x)-4sin^2(x)-3tan(x)+3=0

4 sin^{2} (x) tan (x) - 4 sin^{2} (x) - 3 tan (x) + 3 = 0

cos(t)=-0,5

cos (t) = - 0, 5

sinh(x)=sinh(-x)

sinh (x) = sinh (- x)

pi/4 =arctan(t)

\frac{π}{4} = arctan (t)

sin(2x)sin(x)cos(x)=0

sin (2 x) sin (x) cos (x) = 0