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2csc^3(x)+21csc^2(x)+55csc(x)+42=0

Solución

2 csc^{3} (x) + 21 csc^{2} (x) + 55 csc (x) + 42 = 0

Solución

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn, x = - 0.72972 \dots + 2 πn, x = π + 0.72972 \dots + 2 πn, x = - 0.14334 \dots + 2 πn, x = π + 0.14334 \dots + 2 πn

Grados

x = 21 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 33 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 41.81031 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 221.81031 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 8.21321 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 188.21321 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

2 csc^{3} (x) + 21 csc^{2} (x) + 55 csc (x) + 42 = 0

Usando el método de sustitución

2 csc^{3} (x) + 21 csc^{2} (x) + 55 csc (x) + 42 = 0

Sea:

csc (x) = u

2 u^{3} + 21 u^{2} + 55 u + 42 = 0

2 u^{3} + 21 u^{2} + 55 u + 42 = 0 : u = - 2, u = - \frac{3}{2}, u = - 7

2 u^{3} + 21 u^{2} + 55 u + 42 = 0

Factorizar

2 u^{3} + 21 u^{2} + 55 u + 42 : (u + 2) (2 u + 3) (u + 7)

2 u^{3} + 21 u^{2} + 55 u + 42

Utilizar el teorema de la raíz racional

a_{0} = 42, a_{n} = 2

Los divisores de

a_{0} : 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42,

Los divisores de

a_{n} : 1, 2

Por lo tanto, verificar los siguientes numeros racionales:

\pm \frac{1 , 2 , 3 , 6 , 7 , 14 , 21 , 42}{1 , 2}

- \frac{2}{1}

es la raíz de la expresión, por lo tanto, factorizar

u + 2

= (u + 2) \frac{2 u ^{3} + 21 u ^{2} + 55 u + 42}{u + 2}

\frac{2 u ^{3} + 21 u ^{2} + 55 u + 42}{u + 2} = 2 u^{2} + 17 u + 21

\frac{2 u ^{3} + 21 u ^{2} + 55 u + 42}{u + 2}

Dividir

\frac{2 u ^{3} + 21 u ^{2} + 55 u + 42}{u + 2} : \frac{2 u ^{3} + 21 u ^{2} + 55 u + 42}{u + 2} = 2 u^{2} + \frac{17 u ^{2} + 55 u + 42}{u + 2}

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

2 u^{3} + 21 u^{2} + 55 u + 42

y el divisor

u + 2 : \frac{2 u ^{3}}{u} = 2 u^{2}

Cociente = 2 u^{2}

Multiplicar

u + 2

por

2 u^{2} : 2 u^{3} + 4 u^{2}

Substraer

2 u^{3} + 4 u^{2}

2 u^{3} + 21 u^{2} + 55 u + 42

para obtener un nuevo residuo

Residuo = 17 u^{2} + 55 u + 42

Por lo tanto

\frac{2 u ^{3} + 21 u ^{2} + 55 u + 42}{u + 2} = 2 u^{2} + \frac{17 u ^{2} + 55 u + 42}{u + 2}

= 2 u^{2} + \frac{17 u ^{2} + 55 u + 42}{u + 2}

Dividir

\frac{17 u ^{2} + 55 u + 42}{u + 2} : \frac{17 u ^{2} + 55 u + 42}{u + 2} = 17 u + \frac{21 u + 42}{u + 2}

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

17 u^{2} + 55 u + 42

y el divisor

u + 2 : \frac{17 u ^{2}}{u} = 17 u

Cociente = 17 u

Multiplicar

u + 2

por

17 u : 17 u^{2} + 34 u

Substraer

17 u^{2} + 34 u

17 u^{2} + 55 u + 42

para obtener un nuevo residuo

Residuo = 21 u + 42

Por lo tanto

\frac{17 u ^{2} + 55 u + 42}{u + 2} = 17 u + \frac{21 u + 42}{u + 2}

= 2 u^{2} + 17 u + \frac{21 u + 42}{u + 2}

Dividir

\frac{21 u + 42}{u + 2} : \frac{21 u + 42}{u + 2} = 21

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

21 u + 42

y el divisor

u + 2 : \frac{21 u}{u} = 21

Cociente = 21

Multiplicar

u + 2

por

21 : 21 u + 42

Substraer

21 u + 42

21 u + 42

para obtener un nuevo residuo

Residuo = 0

Por lo tanto

\frac{21 u + 42}{u + 2} = 21

= 2 u^{2} + 17 u + 21

= 2 u^{2} + 17 u + 21

Factorizar

2 u^{2} + 17 u + 21 : (2 u + 3) (u + 7)

2 u^{2} + 17 u + 21

Factorizar la expresión

2 u^{2} + 17 u + 21

Definición

Factores de

42 : 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42

42

Divisores (factores)

Encontrar los factores primos de

42 : 2, 3, 7

42

42

divida por

242 = 21 \cdot 2

= 2 \cdot 21

21

divida por

321 = 7 \cdot 3

= 2 \cdot 3 \cdot 7

2, 3, 7

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 3 \cdot 7

Multiplicar los factores primos de

42 : 6, 14, 21

2 \cdot 3 = 6

2 \cdot 7 = 14

6, 14, 21

6, 14, 21

Agregar factores primos:

2, 3, 7

Agregar 1 y su propio número

42

1, 42

Divisores de

42

1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42

Por cada dos factores tales que

u * v = 42,

revisar si

u + v = 17

Revisar

u = 1, v = 42 : u * v = 42, u + v = 43 \Rightarrow

FalsoRevisar

u = 2, v = 21 : u * v = 42, u + v = 23 \Rightarrow

Falso

u = 3, v = 14

Agrupar en

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} + 3 u) + (14 u + 21)

= (2 u^{2} + 3 u) + (14 u + 21)

Factorizar

u

2 u^{2} + 3 u

u (2 u + 3)

2 u^{2} + 3 u

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu + 3 u

Factorizar el termino común

u

= u (2 u + 3)

Factorizar

7

14 u + 21

7 (2 u + 3)

14 u + 21

Reescribir

21

como

7 \cdot 3

Reescribir

14

como

7 \cdot 2

= 7 \cdot 2 u + 7 \cdot 3

Factorizar el termino común

7

= 7 (2 u + 3)

= u (2 u + 3) + 7 (2 u + 3)

Factorizar el termino común

2 u + 3

= (2 u + 3) (u + 7)

= (u + 2) (2 u + 3) (u + 7)

(u + 2) (2 u + 3) (u + 7) = 0

Utilizando el teorema de factor cero: si

ab = 0

entonces

a = 0

b = 0

u + 2 = 0 or 2 u + 3 = 0 or u + 7 = 0

Resolver

u + 2 = 0 : u = - 2

u + 2 = 0

Mover

2

al lado derecho

u + 2 = 0

Restar

2

de ambos lados

u + 2 - 2 = 0 - 2

Simplificar

u = - 2

u = - 2

Resolver

2 u + 3 = 0 : u = - \frac{3}{2}

2 u + 3 = 0

Mover

3

al lado derecho

2 u + 3 = 0

Restar

3

de ambos lados

2 u + 3 - 3 = 0 - 3

Simplificar

2 u = - 3

2 u = - 3

Dividir ambos lados entre

2

2 u = - 3

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 3}{2}

Simplificar

u = - \frac{3}{2}

u = - \frac{3}{2}

Resolver

u + 7 = 0 : u = - 7

u + 7 = 0

Mover

7

al lado derecho

u + 7 = 0

Restar

7

de ambos lados

u + 7 - 7 = 0 - 7

Simplificar

u = - 7

u = - 7

Las soluciones son

u = - 2, u = - \frac{3}{2}, u = - 7

Sustituir en la ecuación

u = csc (x)

csc (x) = - 2, csc (x) = - \frac{3}{2}, csc (x) = - 7

csc (x) = - 2, csc (x) = - \frac{3}{2}, csc (x) = - 7

csc (x) = - 2 : x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

csc (x) = - 2

Soluciones generales para

csc (x) = - 2

csc (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

csc (x) = - \frac{3}{2} : x = arccsc (- \frac{3}{2}) + 2 πn, x = π + arccsc (\frac{3}{2}) + 2 πn

csc (x) = - \frac{3}{2}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

csc (x) = - \frac{3}{2}

Soluciones generales para

csc (x) = - \frac{3}{2}

csc (x) = - a \Rightarrow x = arccsc (- a) + 2 πn, x = π + arccsc (a) + 2 πn

x = arccsc (- \frac{3}{2}) + 2 πn, x = π + arccsc (\frac{3}{2}) + 2 πn

x = arccsc (- \frac{3}{2}) + 2 πn, x = π + arccsc (\frac{3}{2}) + 2 πn

csc (x) = - 7 : x = arccsc (- 7) + 2 πn, x = π + arccsc (7) + 2 πn

csc (x) = - 7

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

csc (x) = - 7

Soluciones generales para

csc (x) = - 7

csc (x) = - a \Rightarrow x = arccsc (- a) + 2 πn, x = π + arccsc (a) + 2 πn

x = arccsc (- 7) + 2 πn, x = π + arccsc (7) + 2 πn

x = arccsc (- 7) + 2 πn, x = π + arccsc (7) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn, x = arccsc (- \frac{3}{2}) + 2 πn, x = π + arccsc (\frac{3}{2}) + 2 πn, x = arccsc (- 7) + 2 πn, x = π + arccsc (7) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn, x = - 0.72972 \dots + 2 πn, x = π + 0.72972 \dots + 2 πn, x = - 0.14334 \dots + 2 πn, x = π + 0.14334 \dots + 2 πn

Ejemplos populares

cos^2(x/3)-sin^2(x/3)=-1/2

cos^{2} (\frac{x}{3}) - sin^{2} (\frac{x}{3}) = - \frac{1}{2}

sin(x)=0.014

sin (x) = 0.014

6cos(2x)+8sin(2x)=0

6 cos (2 x) + 8 sin (2 x) = 0

cos(x)= 8/17 ,sin(x)

cos (x) = \frac{8}{17}, sin (x)

(50)/(sin(105))=(20)/(sin(x))

\frac{50}{sin ( 10 5 ^{\circ} )} = \frac{20}{sin ( x )}