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(cot^2(x))/(1+sin(x))=(csc(x)-1)/(sin^2(x))

Solución

\frac{cot ^{2} ( x )}{1 + sin ( x )} = \frac{csc ( x ) - 1}{sin ^{2} ( x )}

Solución

x = \frac{π}{2} + 2 πn

Grados

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

\frac{cot ^{2} ( x )}{1 + sin ( x )} = \frac{csc ( x ) - 1}{sin ^{2} ( x )}

Restar

\frac{csc ( x ) - 1}{sin ^{2} ( x )}

de ambos lados

\frac{cot ^{2} ( x )}{1 + sin ( x )} - \frac{csc ( x ) - 1}{sin ^{2} ( x )} = 0

Simplificar

\frac{cot ^{2} ( x )}{1 + sin ( x )} - \frac{csc ( x ) - 1}{sin ^{2} ( x )} : \frac{cot ^{2} ( x ) sin ^{2} ( x ) - ( csc ( x ) - 1 ) ( sin ( x ) + 1 )}{sin ^{2} ( x ) ( sin ( x ) + 1 )}

\frac{cot ^{2} ( x )}{1 + sin ( x )} - \frac{csc ( x ) - 1}{sin ^{2} ( x )}

Mínimo común múltiplo de

1 + sin (x), sin^{2} (x) : sin^{2} (x) (sin (x) + 1)

1 + sin (x), sin^{2} (x)

Mínimo común múltiplo (MCM)

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan tanto en

1 + sin (x)

sin^{2} (x)

= sin^{2} (x) (sin (x) + 1)

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{cot ^{2} ( x )}{1 + sin ( x )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

sin^{2} (x)

\frac{cot ^{2} ( x )}{1 + sin ( x )} = \frac{cot ^{2} ( x ) sin ^{2} ( x )}{( 1 + sin ( x ) ) sin ^{2} ( x )}

Para

\frac{csc ( x ) - 1}{sin ^{2} ( x )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

sin (x) + 1

\frac{csc ( x ) - 1}{sin ^{2} ( x )} = \frac{( csc ( x ) - 1 ) ( sin ( x ) + 1 )}{sin ^{2} ( x ) ( sin ( x ) + 1 )}

= \frac{cot ^{2} ( x ) sin ^{2} ( x )}{( 1 + sin ( x ) ) sin ^{2} ( x )} - \frac{( csc ( x ) - 1 ) ( sin ( x ) + 1 )}{sin ^{2} ( x ) ( sin ( x ) + 1 )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cot ^{2} ( x ) sin ^{2} ( x ) - ( csc ( x ) - 1 ) ( sin ( x ) + 1 )}{sin ^{2} ( x ) ( sin ( x ) + 1 )}

\frac{cot ^{2} ( x ) sin ^{2} ( x ) - ( csc ( x ) - 1 ) ( sin ( x ) + 1 )}{sin ^{2} ( x ) ( sin ( x ) + 1 )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cot^{2} (x) sin^{2} (x) - (csc (x) - 1) (sin (x) + 1) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- (- 1 + csc (x)) (1 + sin (x)) + cot^{2} (x) sin^{2} (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

1 + cot^{2} (x) = csc^{2} (x)

cot^{2} (x) = csc^{2} (x) - 1

= - (- 1 + csc (x)) (1 + sin (x)) + (csc^{2} (x) - 1) sin^{2} (x)

- (- 1 + csc (x)) (1 + sin (x)) + (- 1 + csc^{2} (x)) sin^{2} (x) = 0

Factorizar

- (- 1 + csc (x)) (1 + sin (x)) + (- 1 + csc^{2} (x)) sin^{2} (x) : (- 1 + csc (x)) (- 1 - sin (x) + sin^{2} (x) + sin^{2} (x) csc (x))

- (- 1 + csc (x)) (1 + sin (x)) + (- 1 + csc^{2} (x)) sin^{2} (x)

Factorizar

- 1 + csc^{2} (x) : (csc (x) + 1) (csc (x) - 1)

- 1 + csc^{2} (x)

Reescribir

1

como

1^{2}

= csc^{2} (x) - 1^{2}

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

csc^{2} (x) - 1^{2} = (csc (x) + 1) (csc (x) - 1)

= (csc (x) + 1) (csc (x) - 1)

= - (csc (x) - 1) (sin (x) + 1) + sin^{2} (x) (csc (x) + 1) (csc (x) - 1)

Factorizar el termino común

(- 1 + csc (x))

= (- 1 + csc (x)) (- (1 + sin (x)) + (1 + csc (x)) sin^{2} (x))

Expandir

sin^{2} (x) (csc (x) + 1) - (sin (x) + 1) : - 1 - sin (x) + sin^{2} (x) + sin^{2} (x) csc (x)

- (1 + sin (x)) + (1 + csc (x)) sin^{2} (x)

= - (1 + sin (x)) + sin^{2} (x) (1 + csc (x))

- (1 + sin (x)) : - 1 - sin (x)

- (1 + sin (x))

Poner los parentesis

= - (1) - (sin (x))

Aplicar las reglas de los signos

+ (- a) = - a

= - 1 - sin (x)

= - 1 - sin (x) + (1 + csc (x)) sin^{2} (x)

Expandir

sin^{2} (x) (1 + csc (x)) : sin^{2} (x) + sin^{2} (x) csc (x)

sin^{2} (x) (1 + csc (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b + c) = ab + a c

a = sin^{2} (x), b = 1, c = csc (x)

= sin^{2} (x) \cdot 1 + sin^{2} (x) csc (x)

= 1 \cdot sin^{2} (x) + sin^{2} (x) csc (x)

Multiplicar:

1 \cdot sin^{2} (x) = sin^{2} (x)

= sin^{2} (x) + sin^{2} (x) csc (x)

= - 1 - sin (x) + sin^{2} (x) + sin^{2} (x) csc (x)

= (csc (x) - 1) (sin^{2} (x) + sin^{2} (x) csc (x) - sin (x) - 1)

(- 1 + csc (x)) (- 1 - sin (x) + sin^{2} (x) + sin^{2} (x) csc (x)) = 0

Resolver cada parte por separado

- 1 + csc (x) = 0 or - 1 - sin (x) + sin^{2} (x) + sin^{2} (x) csc (x) = 0

- 1 + csc (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

- 1 + csc (x) = 0

Mover

1

al lado derecho

- 1 + csc (x) = 0

Sumar

1

a ambos lados

- 1 + csc (x) + 1 = 0 + 1

Simplificar

csc (x) = 1

csc (x) = 1

Soluciones generales para

csc (x) = 1

csc (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

- 1 - sin (x) + sin^{2} (x) + sin^{2} (x) csc (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

- 1 - sin (x) + sin^{2} (x) + sin^{2} (x) csc (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 1 - sin (x) + sin^{2} (x) + csc (x) sin^{2} (x)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= - 1 - sin (x) + sin^{2} (x) + \frac{1}{sin ( x )} sin^{2} (x)

Simplificar

- 1 - sin (x) + sin^{2} (x) + \frac{1}{sin ( x )} sin^{2} (x) : sin^{2} (x) - 1

- 1 - sin (x) + sin^{2} (x) + \frac{1}{sin ( x )} sin^{2} (x)

\frac{1}{sin ( x )} sin^{2} (x) = sin (x)

\frac{1}{sin ( x )} sin^{2} (x)

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x )}{sin ( x )}

Multiplicar:

1 \cdot sin^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ( x )}

Eliminar los terminos comunes:

sin (x)

= sin (x)

= - 1 - sin (x) + sin^{2} (x) + sin (x)

Agrupar términos semejantes

= - sin (x) + sin^{2} (x) + sin (x) - 1

Sumar elementos similares:

- sin (x) + sin (x) = 0

= sin^{2} (x) - 1

= sin^{2} (x) - 1

- 1 + sin^{2} (x) = 0

Usando el método de sustitución

- 1 + sin^{2} (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

- 1 + u^{2} = 0

- 1 + u^{2} = 0 : u = 1, u = - 1

- 1 + u^{2} = 0

Mover

1

al lado derecho

- 1 + u^{2} = 0

Sumar

1

a ambos lados

- 1 + u^{2} + 1 = 0 + 1

Simplificar

u^{2} = 1

u^{2} = 1

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = 1, u = - 1

1 = 1

1

Aplicar la regla

1 = 1

= 1

- 1 = - 1

- 1

Aplicar la regla

1 = 1

= - 1

u = 1, u = - 1

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) = 1, sin (x) = - 1

sin (x) = 1, sin (x) = - 1

sin (x) = 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1

Soluciones generales para

sin (x) = 1

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = - 1

Soluciones generales para

sin (x) = - 1

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Siendo que la ecuación esta indefinida para:

\frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

Ejemplos populares

tan(x)=2.3

tan (x) = 2.3

2sec^2(x)=5tan(x)+5

2 sec^{2} (x) = 5 tan (x) + 5

tan^2(x)-2tan(x)=3

tan^{2} (x) - 2 tan (x) = 3

solvefor x,y=arcsin(xy)resolver para

x, y = arcsin (x y)

9cos^2(θ)-2sin(θ)-9=6sin(θ)-1

9 cos^{2} (θ) - 2 sin (θ) - 9 = 6 sin (θ) - 1