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6tan(x)-5csc(x)=0

Solución

6 tan (x) - 5 csc (x) = 0

Solución

x = 0.84106 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.84106 \dots + 2 πn

Grados

x = 48.18968 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 311.81031 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

6 tan (x) - 5 csc (x) = 0

Expresar con seno, coseno

- 5 csc (x) + 6 tan (x)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= - 5 \cdot \frac{1}{sin ( x )} + 6 tan (x)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= - 5 \cdot \frac{1}{sin ( x )} + 6 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Simplificar

- 5 \cdot \frac{1}{sin ( x )} + 6 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{- 5 cos ( x ) + 6 sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

- 5 \cdot \frac{1}{sin ( x )} + 6 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

5 \cdot \frac{1}{sin ( x )} = \frac{5}{sin ( x )}

5 \cdot \frac{1}{sin ( x )}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 5}{sin ( x )}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 5 = 5

= \frac{5}{sin ( x )}

6 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{6 sin ( x )}{cos ( x )}

6 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( x ) \cdot 6}{cos ( x )}

= - \frac{5}{sin ( x )} + \frac{6 sin ( x )}{cos ( x )}

Mínimo común múltiplo de

sin (x), cos (x) : sin (x) cos (x)

sin (x), cos (x)

Mínimo común múltiplo (MCM)

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan tanto en

sin (x)

cos (x)

= sin (x) cos (x)

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{5}{sin ( x )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

cos (x)

\frac{5}{sin ( x )} = \frac{5 cos ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

Para

\frac{sin ( x ) \cdot 6}{cos ( x )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

sin (x)

\frac{sin ( x ) \cdot 6}{cos ( x )} = \frac{sin ( x ) \cdot 6 sin ( x )}{cos ( x ) sin ( x )} = \frac{6 sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

= - \frac{5 cos ( x )}{sin ( x ) cos ( x )} + \frac{6 sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 5 cos ( x ) + 6 sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

= \frac{- 5 cos ( x ) + 6 sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

\frac{- 5 cos ( x ) + 6 sin ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- 5 cos (x) + 6 sin^{2} (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 5 cos (x) + 6 sin^{2} (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 5 cos (x) + 6 (1 - cos^{2} (x))

(1 - cos^{2} (x)) \cdot 6 - 5 cos (x) = 0

Usando el método de sustitución

(1 - cos^{2} (x)) \cdot 6 - 5 cos (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

(1 - u^{2}) \cdot 6 - 5 u = 0

(1 - u^{2}) \cdot 6 - 5 u = 0 : u = - \frac{3}{2}, u = \frac{2}{3}

(1 - u^{2}) \cdot 6 - 5 u = 0

Desarrollar

(1 - u^{2}) \cdot 6 - 5 u : 6 - 6 u^{2} - 5 u

(1 - u^{2}) \cdot 6 - 5 u

= 6 (1 - u^{2}) - 5 u

Expandir

6 (1 - u^{2}) : 6 - 6 u^{2}

6 (1 - u^{2})

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 6, b = 1, c = u^{2}

= 6 \cdot 1 - 6 u^{2}

Multiplicar los numeros:

6 \cdot 1 = 6

= 6 - 6 u^{2}

= 6 - 6 u^{2} - 5 u

6 - 6 u^{2} - 5 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 6 u^{2} - 5 u + 6 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 6 u^{2} - 5 u + 6 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 6, b = - 5, c = 6

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 ( - 6 ) \cdot 6}{2 ( - 6 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 ( - 6 ) \cdot 6}{2 ( - 6 )}

(- 5)^{2} - 4 (- 6) \cdot 6 = 13

(- 5)^{2} - 4 (- 6) \cdot 6

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 5)^{2} + 4 \cdot 6 \cdot 6

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 5)^{2} = 5^{2}

= 5^{2} + 4 \cdot 6 \cdot 6

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 6 \cdot 6 = 144

= 5^{2} + 144

5^{2} = 25

= 25 + 144

Sumar:

25 + 144 = 169

= 169

Descomponer el número en factores primos:

169 = 1 3^{2}

= 1 3^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

1 3^{2} = 13

= 13

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm 13}{2 ( - 6 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 5 ) + 13}{2 ( - 6 )}, u_{2} = \frac{- ( - 5 ) - 13}{2 ( - 6 )}

u = \frac{- ( - 5 ) + 13}{2 ( - 6 )} : - \frac{3}{2}

\frac{- ( - 5 ) + 13}{2 ( - 6 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{5 + 13}{- 2 \cdot 6}

Sumar:

5 + 13 = 18

= \frac{18}{- 2 \cdot 6}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{18}{- 12}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{18}{12}

Eliminar los terminos comunes:

6

= - \frac{3}{2}

u = \frac{- ( - 5 ) - 13}{2 ( - 6 )} : \frac{2}{3}

\frac{- ( - 5 ) - 13}{2 ( - 6 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{5 - 13}{- 2 \cdot 6}

Restar:

5 - 13 = - 8

= \frac{- 8}{- 2 \cdot 6}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{- 8}{- 12}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{8}{12}

Eliminar los terminos comunes:

4

= \frac{2}{3}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - \frac{3}{2}, u = \frac{2}{3}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{3}{2}, cos (x) = \frac{2}{3}

cos (x) = - \frac{3}{2}, cos (x) = \frac{2}{3}

cos (x) = - \frac{3}{2} :

Sin solución

cos (x) = - \frac{3}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

cos (x) = \frac{2}{3} : x = arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2}{3}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = \frac{2}{3}

Soluciones generales para

cos (x) = \frac{2}{3}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn

x = arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 0.84106 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.84106 \dots + 2 πn

Ejemplos populares

2(19)tan(θ/2)=6.3

2 (19) tan (\frac{θ}{2}) = 6.3

3csc(x)-6=0,0<= x<= 360

3 csc (x) - 6 = 0, 0^{\circ} \leq x \leq 36 0^{\circ}

tan(x/2+pi/3)=-1

tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = - 1

-sec^2(x)+1=-5sec(x)-5

- sec^{2} (x) + 1 = - 5 sec (x) - 5

sec(t)= 1/(-(sqrt(2))/2)

sec (t) = \frac{1}{- \frac{2}{2}}