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tan^2(3y)-2sec(3y)-2=0

Solución

tan^{2} (3 y) - 2 sec (3 y) - 2 = 0

Solución

y = \frac{1.23095 \dots}{3} + \frac{2 πn}{3}, y = \frac{2 π}{3} - \frac{1.23095 \dots}{3} + \frac{2 πn}{3}, y = \frac{π}{3} + \frac{2 πn}{3}

Grados

y = 23.50959 \dots^{\circ} + 12 0^{\circ} n, y = 96.49040 \dots^{\circ} + 12 0^{\circ} n, y = 6 0^{\circ} + 12 0^{\circ} n

Pasos de solución

tan^{2} (3 y) - 2 sec (3 y) - 2 = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 2 + tan^{2} (3 y) - 2 sec (3 y)

Utilizar la identidad pitagórica:

tan^{2} (x) + 1 = sec^{2} (x)

tan^{2} (x) = sec^{2} (x) - 1

= - 2 + sec^{2} (3 y) - 1 - 2 sec (3 y)

Simplificar

- 2 + sec^{2} (3 y) - 1 - 2 sec (3 y) : sec^{2} (3 y) - 2 sec (3 y) - 3

- 2 + sec^{2} (3 y) - 1 - 2 sec (3 y)

Agrupar términos semejantes

= sec^{2} (3 y) - 2 sec (3 y) - 2 - 1

Restar:

- 2 - 1 = - 3

= sec^{2} (3 y) - 2 sec (3 y) - 3

= sec^{2} (3 y) - 2 sec (3 y) - 3

- 3 + sec^{2} (3 y) - 2 sec (3 y) = 0

Usando el método de sustitución

- 3 + sec^{2} (3 y) - 2 sec (3 y) = 0

Sea:

sec (3 y) = u

- 3 + u^{2} - 2 u = 0

- 3 + u^{2} - 2 u = 0 : u = 3, u = - 1

- 3 + u^{2} - 2 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} - 2 u - 3 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

u^{2} - 2 u - 3 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 1, b = - 2, c = - 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 3 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 3 )}{2 \cdot 1}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3) = 4

(- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 3

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 \cdot 3 = 12

= 2^{2} + 12

2^{2} = 4

= 4 + 12

Sumar:

4 + 12 = 16

= 16

Descomponer el número en factores primos:

16 = 4^{2}

= 4^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

4^{2} = 4

= 4

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 4}{2 \cdot 1}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 4}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 4}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 2 ) + 4}{2 \cdot 1} : 3

\frac{- ( - 2 ) + 4}{2 \cdot 1}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{2 + 4}{2 \cdot 1}

Sumar:

2 + 4 = 6

= \frac{6}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{6}{2}

Dividir:

\frac{6}{2} = 3

= 3

u = \frac{- ( - 2 ) - 4}{2 \cdot 1} : - 1

\frac{- ( - 2 ) - 4}{2 \cdot 1}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{2 - 4}{2 \cdot 1}

Restar:

2 - 4 = - 2

= \frac{- 2}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{2}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = 3, u = - 1

Sustituir en la ecuación

u = sec (3 y)

sec (3 y) = 3, sec (3 y) = - 1

sec (3 y) = 3, sec (3 y) = - 1

sec (3 y) = 3 : y = \frac{arcsec ( 3 )}{3} + \frac{2 πn}{3}, y = \frac{2 π}{3} - \frac{arcsec ( 3 )}{3} + \frac{2 πn}{3}

sec (3 y) = 3

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sec (3 y) = 3

Soluciones generales para

sec (3 y) = 3

sec (x) = a \Rightarrow x = arcsec (a) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (a) + 2 πn

3 y = arcsec (3) + 2 πn, 3 y = 2 π - arcsec (3) + 2 πn

3 y = arcsec (3) + 2 πn, 3 y = 2 π - arcsec (3) + 2 πn

Resolver

3 y = arcsec (3) + 2 πn : y = \frac{arcsec ( 3 )}{3} + \frac{2 πn}{3}

3 y = arcsec (3) + 2 πn

Dividir ambos lados entre

3

3 y = arcsec (3) + 2 πn

Dividir ambos lados entre

3

\frac{3 y}{3} = \frac{arcsec ( 3 )}{3} + \frac{2 πn}{3}

Simplificar

y = \frac{arcsec ( 3 )}{3} + \frac{2 πn}{3}

y = \frac{arcsec ( 3 )}{3} + \frac{2 πn}{3}

Resolver

3 y = 2 π - arcsec (3) + 2 πn : y = \frac{2 π}{3} - \frac{arcsec ( 3 )}{3} + \frac{2 πn}{3}

3 y = 2 π - arcsec (3) + 2 πn

Dividir ambos lados entre

3

3 y = 2 π - arcsec (3) + 2 πn

Dividir ambos lados entre

3

\frac{3 y}{3} = \frac{2 π}{3} - \frac{arcsec ( 3 )}{3} + \frac{2 πn}{3}

Simplificar

y = \frac{2 π}{3} - \frac{arcsec ( 3 )}{3} + \frac{2 πn}{3}

y = \frac{2 π}{3} - \frac{arcsec ( 3 )}{3} + \frac{2 πn}{3}

y = \frac{arcsec ( 3 )}{3} + \frac{2 πn}{3}, y = \frac{2 π}{3} - \frac{arcsec ( 3 )}{3} + \frac{2 πn}{3}

sec (3 y) = - 1 : y = \frac{π}{3} + \frac{2 πn}{3}

sec (3 y) = - 1

Soluciones generales para

sec (3 y) = - 1

sec (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

3 y = π + 2 πn

3 y = π + 2 πn

Resolver

3 y = π + 2 πn : y = \frac{π}{3} + \frac{2 πn}{3}

3 y = π + 2 πn

Dividir ambos lados entre

3

3 y = π + 2 πn

Dividir ambos lados entre

3

\frac{3 y}{3} = \frac{π}{3} + \frac{2 πn}{3}

Simplificar

y = \frac{π}{3} + \frac{2 πn}{3}

y = \frac{π}{3} + \frac{2 πn}{3}

y = \frac{π}{3} + \frac{2 πn}{3}

Combinar toda las soluciones

y = \frac{arcsec ( 3 )}{3} + \frac{2 πn}{3}, y = \frac{2 π}{3} - \frac{arcsec ( 3 )}{3} + \frac{2 πn}{3}, y = \frac{π}{3} + \frac{2 πn}{3}

Mostrar soluciones en forma decimal

y = \frac{1.23095 \dots}{3} + \frac{2 πn}{3}, y = \frac{2 π}{3} - \frac{1.23095 \dots}{3} + \frac{2 πn}{3}, y = \frac{π}{3} + \frac{2 πn}{3}

Ejemplos populares

cos^2(2x)-sin^2(2x)=1

cos^{2} (2 x) - sin^{2} (2 x) = 1

sin^4(x)=-1/8

sin^{4} (x) = - \frac{1}{8}

sin(θ)=0.321

sin (θ) = 0.321

sin(x+75)=(sqrt(3))/2

sin (x + 7 5^{\circ}) = \frac{3}{2}

tan(x/6)+sqrt(3)=0

tan (\frac{x}{6}) + 3 = 0