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cos(216)=cos^2(a)-sin^2(a)

Solución

cos (21 6^{\circ}) = cos^{2} (a) - sin^{2} (a)

Solución

a = 1.25663 \dots + 36 0^{\circ} n, a = 18 0^{\circ} - 1.25663 \dots + 36 0^{\circ} n, a = - 1.25663 \dots + 36 0^{\circ} n, a = 18 0^{\circ} + 1.25663 \dots + 36 0^{\circ} n

radianes

a = 1.25663 \dots + 2 πn, a = π - 1.25663 \dots + 2 πn, a = - 1.25663 \dots + 2 πn, a = π + 1.25663 \dots + 2 πn

Pasos de solución

cos (21 6^{\circ}) = cos^{2} (a) - sin^{2} (a)

cos (21 6^{\circ}) = - \frac{5 + 1}{4}

cos (21 6^{\circ})

Re-escribir usando identidades trigonométricas:

cos (14 4^{\circ})

cos (21 6^{\circ})

Usar la siguiente identidad:

cos (x) = cos (36 0^{\circ} - x)

cos (x)

Utilizar la siguiente propiedad:

cos (θ) = cos (- θ)

cos (x) = cos (- x)

= cos (- x)

Utilizar la periodicidad de

cos

cos (36 0^{\circ} + θ) = cos (θ)

cos (- x) = cos (36 0^{\circ} - x)

= cos (36 0^{\circ} - x)

= cos (36 0^{\circ} - 21 6^{\circ})

Simplificar:

36 0^{\circ} - 21 6^{\circ} = 14 4^{\circ}

36 0^{\circ} - 21 6^{\circ}

Convertir a fracción:

36 0^{\circ} = 36 0^{\circ}

= 36 0^{\circ} - 21 6^{\circ}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{36 0 ^{\circ} 5 - 108 0 ^{\circ}}{5}

36 0^{\circ} 5 - 108 0^{\circ} = 72 0^{\circ}

36 0^{\circ} 5 - 108 0^{\circ}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 5 = 10

= 180 0^{\circ} - 108 0^{\circ}

Sumar elementos similares:

180 0^{\circ} - 108 0^{\circ} = 72 0^{\circ}

= 72 0^{\circ}

= 14 4^{\circ}

= cos (14 4^{\circ})

= cos (14 4^{\circ})

Re-escribir usando identidades trigonométricas:

- cos (3 6^{\circ})

cos (14 4^{\circ})

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

cos (x) = - cos (18 0^{\circ} - x)

= - cos (18 0^{\circ} - 14 4^{\circ})

Simplificar:

18 0^{\circ} - 14 4^{\circ} = 3 6^{\circ}

18 0^{\circ} - 14 4^{\circ}

Convertir a fracción:

18 0^{\circ} = 18 0^{\circ}

= 18 0^{\circ} - 14 4^{\circ}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{18 0 ^{\circ} 5 - 72 0 ^{\circ}}{5}

Sumar elementos similares:

90 0^{\circ} - 72 0^{\circ} = 18 0^{\circ}

= 3 6^{\circ}

= - cos (3 6^{\circ})

= - cos (3 6^{\circ})

Re-escribir usando identidades trigonométricas:

cos (3 6^{\circ}) = \frac{5 + 1}{4}

cos (3 6^{\circ})

Demostrar que:

cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}) = \frac{1}{2}

Utilizar el siguiente producto para la identidad de suma de ángulos:

2 sin (x) cos (y) = sin (x + y) - sin (x - y)

2 cos (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}) = sin (5 4^{\circ}) - sin (1 8^{\circ})

Demostrar que:

2 cos (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}) = \frac{1}{2}

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

sin (7 2^{\circ}) = 2 sin (3 6^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

sin (7 2^{\circ}) sin (3 6^{\circ}) = 4 sin (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

Dividir ambos lados entre

sin (3 6^{\circ})

sin (7 2^{\circ}) = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

Usar la siguiente identidad:

sin (x) = cos (9 0^{\circ} - x)

sin (7 2^{\circ}) = cos (9 0^{\circ} - 7 2^{\circ})

cos (9 0^{\circ} - 7 2^{\circ}) = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

cos (1 8^{\circ}) = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

Dividir ambos lados entre

cos (1 8^{\circ})

1 = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

Dividir ambos lados entre

2

\frac{1}{2} = 2 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

Sustituir

\frac{1}{2} = 2 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

\frac{1}{2} = sin (5 4^{\circ}) - sin (1 8^{\circ})

sin (5 4^{\circ}) = cos (9 0^{\circ} - 5 4^{\circ})

\frac{1}{2} = cos (9 0^{\circ} - 5 4^{\circ}) - sin (1 8^{\circ})

\frac{1}{2} = cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ})

Demostrar que:

cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}) = \frac{5}{4}

Utilizar la regla de factorización:

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

a = cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ})

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} - (cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}))^{2} = ((cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ})) + (cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}))) ((cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ})) - (cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ})))

Simplificar

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} - (cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}))^{2} = 2 (2 cos (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}))

Demostrar que:

2 cos (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}) = \frac{1}{2}

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

sin (7 2^{\circ}) = 2 sin (3 6^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

sin (7 2^{\circ}) sin (3 6^{\circ}) = 4 sin (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

Dividir ambos lados entre

sin (3 6^{\circ})

sin (7 2^{\circ}) = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

Usar la siguiente identidad:

sin (x) = cos (9 0^{\circ} - x)

sin (7 2^{\circ}) = cos (9 0^{\circ} - 7 2^{\circ})

cos (9 0^{\circ} - 7 2^{\circ}) = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

cos (1 8^{\circ}) = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

Dividir ambos lados entre

cos (1 8^{\circ})

1 = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

Dividir ambos lados entre

2

\frac{1}{2} = 2 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

Sustituir

2 cos (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}) = \frac{1}{2}

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} - (cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}))^{2} = 1

Sustituir

cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}) = \frac{1}{2}

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} - (\frac{1}{2})^{2} = 1

Simplificar

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} - \frac{1}{4} = 1

Sumar

\frac{1}{4}

a ambos lados

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 1 + \frac{1}{4}

Simplificar

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} = \frac{5}{4}

Obtener la raíz cuadrada de ambos lados

cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}) = \pm \frac{5}{4}

cos (3 6^{\circ})

no puede ser negativa

sin (1 8^{\circ})

no puede ser negativa

cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}) = \frac{5}{4}

Añadir las siguientes ecuaciones

cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}) = \frac{5}{2}

((cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ})) + (cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}))) = (\frac{5}{2} + \frac{1}{2})

Simplificar

cos (3 6^{\circ}) = \frac{5 + 1}{4}

= \frac{5 + 1}{4}

= - \frac{5 + 1}{4}

- \frac{5 + 1}{4} = cos^{2} (a) - sin^{2} (a)

Restar

cos^{2} (a) - sin^{2} (a)

de ambos lados

- \frac{5 + 1}{4} - cos^{2} (a) + sin^{2} (a) = 0

Simplificar

- \frac{5 + 1}{4} - cos^{2} (a) + sin^{2} (a) : \frac{- 5 - 1 - 4 cos ^{2} ( a ) + 4 sin ^{2} ( a )}{4}

- \frac{5 + 1}{4} - cos^{2} (a) + sin^{2} (a)

Convertir a fracción:

cos^{2} (a) = \frac{cos ^{2} ( a ) 4}{4}, sin^{2} (a) = \frac{sin ^{2} ( a ) 4}{4}

= - \frac{5 + 1}{4} - \frac{cos ^{2} ( a ) \cdot 4}{4} + \frac{sin ^{2} ( a ) \cdot 4}{4}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- ( 5 + 1 ) - cos ^{2} ( a ) \cdot 4 + sin ^{2} ( a ) \cdot 4}{4}

Expandir

- (5 + 1) - cos^{2} (a) \cdot 4 + sin^{2} (a) \cdot 4 : - 5 - 1 - cos^{2} (a) \cdot 4 + sin^{2} (a) \cdot 4

- (5 + 1) - cos^{2} (a) \cdot 4 + sin^{2} (a) \cdot 4

= - (5 + 1) - 4 cos^{2} (a) + 4 sin^{2} (a)

- (5 + 1) : - 5 - 1

- (5 + 1)

Poner los parentesis

= - (5) - (1)

Aplicar las reglas de los signos

+ (- a) = - a

= - 5 - 1

= - 5 - 1 - cos^{2} (a) \cdot 4 + sin^{2} (a) \cdot 4

= \frac{- 5 - 1 - 4 cos ^{2} ( a ) + 4 sin ^{2} ( a )}{4}

\frac{- 5 - 1 - 4 cos ^{2} ( a ) + 4 sin ^{2} ( a )}{4} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- 5 - 1 - 4 cos^{2} (a) + 4 sin^{2} (a) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 1 - 5 - 4 cos^{2} (a) + 4 sin^{2} (a)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 1 - 5 - 4 (1 - sin^{2} (a)) + 4 sin^{2} (a)

Simplificar

- 1 - 5 - 4 (1 - sin^{2} (a)) + 4 sin^{2} (a) : 8 sin^{2} (a) - 5 - 5

- 1 - 5 - 4 (1 - sin^{2} (a)) + 4 sin^{2} (a)

Expandir

- 4 (1 - sin^{2} (a)) : - 4 + 4 sin^{2} (a)

- 4 (1 - sin^{2} (a))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - 4, b = 1, c = sin^{2} (a)

= - 4 \cdot 1 - (- 4) sin^{2} (a)

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a

= - 4 \cdot 1 + 4 sin^{2} (a)

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 = 4

= - 4 + 4 sin^{2} (a)

= - 1 - 5 - 4 + 4 sin^{2} (a) + 4 sin^{2} (a)

Simplificar

- 1 - 5 - 4 + 4 sin^{2} (a) + 4 sin^{2} (a) : 8 sin^{2} (a) - 5 - 5

- 1 - 5 - 4 + 4 sin^{2} (a) + 4 sin^{2} (a)

Sumar elementos similares:

4 sin^{2} (a) + 4 sin^{2} (a) = 8 sin^{2} (a)

= - 1 - 5 - 4 + 8 sin^{2} (a)

Agrupar términos semejantes

= 8 sin^{2} (a) - 1 - 5 - 4

Restar:

- 1 - 4 = - 5

= 8 sin^{2} (a) - 5 - 5

= 8 sin^{2} (a) - 5 - 5

= 8 sin^{2} (a) - 5 - 5

- 5 - 5 + 8 sin^{2} (a) = 0

Usando el método de sustitución

- 5 - 5 + 8 sin^{2} (a) = 0

Sea:

sin (a) = u

- 5 - 5 + 8 u^{2} = 0

- 5 - 5 + 8 u^{2} = 0 : u = \frac{2 5 + 5}{4}, u = - \frac{2 5 + 5}{4}

- 5 - 5 + 8 u^{2} = 0

Mover

5

al lado derecho

- 5 - 5 + 8 u^{2} = 0

Sumar

5

a ambos lados

- 5 - 5 + 8 u^{2} + 5 = 0 + 5

Simplificar

- 5 + 8 u^{2} = 5

- 5 + 8 u^{2} = 5

Mover

5

al lado derecho

- 5 + 8 u^{2} = 5

Sumar

5

a ambos lados

- 5 + 8 u^{2} + 5 = 5 + 5

Simplificar

8 u^{2} = 5 + 5

8 u^{2} = 5 + 5

Dividir ambos lados entre

8

8 u^{2} = 5 + 5

Dividir ambos lados entre

8

\frac{8 u ^{2}}{8} = \frac{5}{8} + \frac{5}{8}

Simplificar

\frac{8 u ^{2}}{8} = \frac{5}{8} + \frac{5}{8}

Simplificar

\frac{8 u ^{2}}{8} : u^{2}

\frac{8 u ^{2}}{8}

Dividir:

\frac{8}{8} = 1

= u^{2}

Simplificar

\frac{5}{8} + \frac{5}{8} : \frac{5 + 5}{8}

\frac{5}{8} + \frac{5}{8}

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{5 + 5}{8}

u^{2} = \frac{5 + 5}{8}

u^{2} = \frac{5 + 5}{8}

u^{2} = \frac{5 + 5}{8}

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = \frac{5 + 5}{8}, u = - \frac{5 + 5}{8}

\frac{5 + 5}{8} = \frac{2 5 + 5}{4}

\frac{5 + 5}{8}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{5 + 5}{8}

8 = 22

8

Descomposición en factores primos de

8 : 2^{3}

8

8

divida por

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 2 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 22

= \frac{5 + 5}{2 2}

Racionalizar

\frac{5 + 5}{2 2} : \frac{2 5 + 5}{4}

\frac{5 + 5}{2 2}

Multiplicar por el conjugado

\frac{2}{2}

= \frac{5 + 5 2}{2 2 2}

222 = 4

222

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

222 = 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

= 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

Sumar elementos similares:

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{1}{2}

= 2^{1 + 2 \cdot \frac{1}{2}}

2 \cdot \frac{1}{2} = 1

2 \cdot \frac{1}{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= 1

= 2^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= 2^{2}

2^{2} = 4

= 4

= \frac{2 5 + 5}{4}

= \frac{2 5 + 5}{4}

- \frac{5 + 5}{8} = - \frac{2 5 + 5}{4}

- \frac{5 + 5}{8}

Simplificar

\frac{5 + 5}{8} : \frac{5 + 5}{2 2}

\frac{5 + 5}{8}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{5 + 5}{8}

8 = 22

8

Descomposición en factores primos de

8 : 2^{3}

8

8

divida por

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 2 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 22

= \frac{5 + 5}{2 2}

= - \frac{5 + 5}{2 2}

Racionalizar

- \frac{5 + 5}{2 2} : - \frac{2 5 + 5}{4}

- \frac{5 + 5}{2 2}

Multiplicar por el conjugado

\frac{2}{2}

= - \frac{5 + 5 2}{2 2 2}

222 = 4

222

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

222 = 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

= 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

Sumar elementos similares:

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{1}{2}

= 2^{1 + 2 \cdot \frac{1}{2}}

2 \cdot \frac{1}{2} = 1

2 \cdot \frac{1}{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= 1

= 2^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= 2^{2}

2^{2} = 4

= 4

= - \frac{2 5 + 5}{4}

= - \frac{2 5 + 5}{4}

u = \frac{2 5 + 5}{4}, u = - \frac{2 5 + 5}{4}

Sustituir en la ecuación

u = sin (a)

sin (a) = \frac{2 5 + 5}{4}, sin (a) = - \frac{2 5 + 5}{4}

sin (a) = \frac{2 5 + 5}{4}, sin (a) = - \frac{2 5 + 5}{4}

sin (a) = \frac{2 5 + 5}{4} : a = arcsin (\frac{2 5 + 5}{4}) + 36 0^{\circ} n, a = 18 0^{\circ} - arcsin (\frac{2 5 + 5}{4}) + 36 0^{\circ} n

sin (a) = \frac{2 5 + 5}{4}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sin (a) = \frac{2 5 + 5}{4}

Soluciones generales para

sin (a) = \frac{2 5 + 5}{4}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} - arcsin (a) + 36 0^{\circ} n

a = arcsin (\frac{2 5 + 5}{4}) + 36 0^{\circ} n, a = 18 0^{\circ} - arcsin (\frac{2 5 + 5}{4}) + 36 0^{\circ} n

a = arcsin (\frac{2 5 + 5}{4}) + 36 0^{\circ} n, a = 18 0^{\circ} - arcsin (\frac{2 5 + 5}{4}) + 36 0^{\circ} n

sin (a) = - \frac{2 5 + 5}{4} : a = arcsin (- \frac{2 5 + 5}{4}) + 36 0^{\circ} n, a = 18 0^{\circ} + arcsin (\frac{2 5 + 5}{4}) + 36 0^{\circ} n

sin (a) = - \frac{2 5 + 5}{4}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sin (a) = - \frac{2 5 + 5}{4}

Soluciones generales para

sin (a) = - \frac{2 5 + 5}{4}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + arcsin (a) + 36 0^{\circ} n

a = arcsin (- \frac{2 5 + 5}{4}) + 36 0^{\circ} n, a = 18 0^{\circ} + arcsin (\frac{2 5 + 5}{4}) + 36 0^{\circ} n

a = arcsin (- \frac{2 5 + 5}{4}) + 36 0^{\circ} n, a = 18 0^{\circ} + arcsin (\frac{2 5 + 5}{4}) + 36 0^{\circ} n

Combinar toda las soluciones

a = arcsin (\frac{2 5 + 5}{4}) + 36 0^{\circ} n, a = 18 0^{\circ} - arcsin (\frac{2 5 + 5}{4}) + 36 0^{\circ} n, a = arcsin (- \frac{2 5 + 5}{4}) + 36 0^{\circ} n, a = 18 0^{\circ} + arcsin (\frac{2 5 + 5}{4}) + 36 0^{\circ} n

Mostrar soluciones en forma decimal

a = 1.25663 \dots + 36 0^{\circ} n, a = 18 0^{\circ} - 1.25663 \dots + 36 0^{\circ} n, a = - 1.25663 \dots + 36 0^{\circ} n, a = 18 0^{\circ} + 1.25663 \dots + 36 0^{\circ} n

Ejemplos populares

csc(-x)-1=cot^2(x)

csc (- x) - 1 = cot^{2} (x)

tan(a)= 141/101

tan (a) = \frac{141}{101}

sin(x)=-cos^2(x)

sin (x) = - cos^{2} (x)

sin(x)+(sqrt(2))/2 =0

sin (x) + \frac{2}{2} = 0

2csc(θ)=4cos(θ)

2 csc (θ) = 4 cos (θ)