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tan^2(y)+1=cos^2(y)

Lösung

tan^{2} (y) + 1 = cos^{2} (y)

Lösung

y = 2 πn, y = π + 2 πn

Grad

y = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, y = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

tan^{2} (y) + 1 = cos^{2} (y)

Subtrahiere

cos^{2} (y)

von beiden Seiten

tan^{2} (y) + 1 - cos^{2} (y) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 - cos^{2} (y) + tan^{2} (y)

Verwende die Pythagoreische Identität:

tan^{2} (x) + 1 = sec^{2} (x)

= - cos^{2} (y) + sec^{2} (y)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

= - (\frac{1}{sec ( y )})^{2} + sec^{2} (y)

(\frac{1}{sec ( y )})^{2} = \frac{1}{sec ^{2} ( y )}

(\frac{1}{sec ( y )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sec ^{2} ( y )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sec ^{2} ( y )}

= - \frac{1}{sec ^{2} ( y )} + sec^{2} (y)

- \frac{1}{sec ^{2} ( y )} + sec^{2} (y) = 0

Löse mit Substitution

- \frac{1}{sec ^{2} ( y )} + sec^{2} (y) = 0

Angenommen:

sec (y) = u

- \frac{1}{u ^{2}} + u^{2} = 0

- \frac{1}{u ^{2}} + u^{2} = 0 : u = 1, u = - 1, u = i, u = - i

- \frac{1}{u ^{2}} + u^{2} = 0

Multipliziere beide Seiten mit

u^{2}

- \frac{1}{u ^{2}} + u^{2} = 0

Multipliziere beide Seiten mit

u^{2}

- \frac{1}{u ^{2}} u^{2} + u^{2} u^{2} = 0 \cdot u^{2}

Vereinfache

- \frac{1}{u ^{2}} u^{2} + u^{2} u^{2} = 0 \cdot u^{2}

Vereinfache

- \frac{1}{u ^{2}} u^{2} : - 1

- \frac{1}{u ^{2}} u^{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{1 \cdot u ^{2}}{u ^{2}}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u^{2}

= - 1

Vereinfache

u^{2} u^{2} : u^{4}

u^{2} u^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u^{2} = u^{2 + 2}

= u^{2 + 2}

Addiere die Zahlen:

2 + 2 = 4

= u^{4}

Vereinfache

0 \cdot u^{2} : 0

0 \cdot u^{2}

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

- 1 + u^{4} = 0

- 1 + u^{4} = 0

- 1 + u^{4} = 0

Löse

- 1 + u^{4} = 0 : u = 1, u = - 1, u = i, u = - i

- 1 + u^{4} = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

- 1 + u^{4} = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

- 1 + u^{4} + 1 = 0 + 1

Vereinfache

u^{4} = 1

u^{4} = 1

Schreibe die Gleichung um mit

v = u^{2}

und

v^{2} = u^{4}

v^{2} = 1

Löse

v^{2} = 1 : v = 1, v = - 1

v^{2} = 1

Für

(g (x))^{2} = f (a)

sind die Lösungen

g (x) = f (a), - f (a)

v = 1, v = - 1

v = 1, v = - 1

Setze

v = u^{2} w i e d er e in,

löse für

u

Löse

u^{2} = 1 : u = 1, u = - 1

u^{2} = 1

Wende Regel an

1 = 1

u^{2} = 1

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = 1, u = - 1

1 = 1

1

Wende Regel an

1 = 1

= 1

- 1 = - 1

- 1

Wende Regel an

1 = 1

= - 1

u = 1, u = - 1

Löse

u^{2} = - 1 : u = i, u = - i

u^{2} = - 1

Wende Regel an

1 = 1

u^{2} = - 1

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = - 1, u = - - 1

Vereinfache

- 1 : i

- 1

Wende imaginäre Zahlenregel an:

- 1 = i

= i

Vereinfache

- - 1 : - i

- - 1

Wende imaginäre Zahlenregel an:

- 1 = i

= - i

u = i, u = - i

Die Lösungen sind

u = 1, u = - 1, u = i, u = - i

u = 1, u = - 1, u = i, u = - i

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

- \frac{1}{u ^{2}} + u^{2}

und vergleiche mit Null

Löse

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Wende Regel an

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = 1, u = - 1, u = i, u = - i

Setze in

u = sec (y)

ein

sec (y) = 1, sec (y) = - 1, sec (y) = i, sec (y) = - i

sec (y) = 1, sec (y) = - 1, sec (y) = i, sec (y) = - i

sec (y) = 1 : y = 2 πn

sec (y) = 1

Allgemeine Lösung für

sec (y) = 1

sec (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

y = 0 + 2 πn

y = 0 + 2 πn

Löse

y = 0 + 2 πn : y = 2 πn

y = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

y = 2 πn

y = 2 πn

sec (y) = - 1 : y = π + 2 πn

sec (y) = - 1

Allgemeine Lösung für

sec (y) = - 1

sec (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

y = π + 2 πn

y = π + 2 πn

sec (y) = i :

Keine Lösung

sec (y) = i

Keine L \overset{o}{¨} sung

sec (y) = - i :

Keine Lösung

sec (y) = - i

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

y = 2 πn, y = π + 2 πn

Beliebte Beispiele

4sin(2x)+csc(2x)=4

4 sin (2 x) + csc (2 x) = 4

cot(θ)= 9/40

cot (θ) = \frac{9}{40}

sin(a)=-1/(sqrt(2))

sin (a) = - \frac{1}{2}

sqrt(5)cos(x)-2sin(x)=0.5

5 cos (x) - 2 sin (x) = 0.5

sin(x)= 6/15

sin (x) = \frac{6}{15}