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cos^2(x)-sin^2(x)=cos^2(x)+3cos(x)

Solución

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos^{2} (x) + 3 cos (x)

Solución

x = 1.87839 \dots + 2 πn, x = - 1.87839 \dots + 2 πn

Grados

x = 107.62439 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 107.62439 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos^{2} (x) + 3 cos (x)

Restar

cos^{2} (x) + 3 cos (x)

de ambos lados

- sin^{2} (x) - 3 cos (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- sin^{2} (x) - 3 cos (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - (1 - cos^{2} (x)) - 3 cos (x)

- (1 - cos^{2} (x)) : - 1 + cos^{2} (x)

- (1 - cos^{2} (x))

Poner los parentesis

= - (1) - (- cos^{2} (x))

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + cos^{2} (x)

= - 1 + cos^{2} (x) - 3 cos (x)

- 1 + cos^{2} (x) - 3 cos (x) = 0

Usando el método de sustitución

- 1 + cos^{2} (x) - 3 cos (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

- 1 + u^{2} - 3 u = 0

- 1 + u^{2} - 3 u = 0 : u = \frac{3 + 13}{2}, u = \frac{3 - 13}{2}

- 1 + u^{2} - 3 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} - 3 u - 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

u^{2} - 3 u - 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 1, b = - 3, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

(- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 13

(- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 3)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 3)^{2} = 3^{2}

= 3^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 3^{2} + 4

3^{2} = 9

= 9 + 4

Sumar:

9 + 4 = 13

= 13

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm 13}{2 \cdot 1}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 3 ) + 13}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 3 ) - 13}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 3 ) + 13}{2 \cdot 1} : \frac{3 + 13}{2}

\frac{- ( - 3 ) + 13}{2 \cdot 1}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{3 + 13}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{3 + 13}{2}

u = \frac{- ( - 3 ) - 13}{2 \cdot 1} : \frac{3 - 13}{2}

\frac{- ( - 3 ) - 13}{2 \cdot 1}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{3 - 13}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{3 - 13}{2}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{3 + 13}{2}, u = \frac{3 - 13}{2}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = \frac{3 + 13}{2}, cos (x) = \frac{3 - 13}{2}

cos (x) = \frac{3 + 13}{2}, cos (x) = \frac{3 - 13}{2}

cos (x) = \frac{3 + 13}{2} :

Sin solución

cos (x) = \frac{3 + 13}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

cos (x) = \frac{3 - 13}{2} : x = arccos (\frac{3 - 13}{2}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{3 - 13}{2}) + 2 πn

cos (x) = \frac{3 - 13}{2}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = \frac{3 - 13}{2}

Soluciones generales para

cos (x) = \frac{3 - 13}{2}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (\frac{3 - 13}{2}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{3 - 13}{2}) + 2 πn

x = arccos (\frac{3 - 13}{2}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{3 - 13}{2}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = arccos (\frac{3 - 13}{2}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{3 - 13}{2}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 1.87839 \dots + 2 πn, x = - 1.87839 \dots + 2 πn

Ejemplos populares

cos(x)=0.117

cos (x) = 0.117

cos(x)=-0,4

cos (x) = - 0, 4

tan(a)=0.5

tan (a) = 0.5

sec^2(x)4tan(x)=0

sec^{2} (x) 4 tan (x) = 0

sin(x)-cos(x)=-2

sin (x) - cos (x) = - 2