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Popular >

cos(x)+2sin(x)=-1

Solución

cos (x) + 2 sin (x) = - 1

Solución

x = - 0.92729 \dots + 2 πn, x = π + 2 πn

Grados

x = - 53.13010 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

cos (x) + 2 sin (x) = - 1

Restar

2 sin (x)

de ambos lados

cos (x) = - 1 - 2 sin (x)

Elevar al cuadrado ambos lados

cos^{2} (x) = (- 1 - 2 sin (x))^{2}

Restar

(- 1 - 2 sin (x))^{2}

de ambos lados

cos^{2} (x) - 1 - 4 sin (x) - 4 sin^{2} (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 1 + cos^{2} (x) - 4 sin (x) - 4 sin^{2} (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= - 4 sin (x) - 4 sin^{2} (x) - sin^{2} (x)

Simplificar

= - 4 sin (x) - 5 sin^{2} (x)

- 4 sin (x) - 5 sin^{2} (x) = 0

Usando el método de sustitución

- 4 sin (x) - 5 sin^{2} (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

- 4 u - 5 u^{2} = 0

- 4 u - 5 u^{2} = 0 : u = - \frac{4}{5}, u = 0

- 4 u - 5 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 5 u^{2} - 4 u = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 5 u^{2} - 4 u = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 5, b = - 4, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 ( - 5 ) \cdot 0}{2 ( - 5 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 ( - 5 ) \cdot 0}{2 ( - 5 )}

(- 4)^{2} - 4 (- 5) \cdot 0 = 4

(- 4)^{2} - 4 (- 5) \cdot 0

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 4)^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 0

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 0

Aplicar la regla

0 \cdot a = 0

= 4^{2} + 0

4^{2} + 0 = 4^{2}

= 4^{2}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0

= 4

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 4}{2 ( - 5 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 4 ) + 4}{2 ( - 5 )}, u_{2} = \frac{- ( - 4 ) - 4}{2 ( - 5 )}

u = \frac{- ( - 4 ) + 4}{2 ( - 5 )} : - \frac{4}{5}

\frac{- ( - 4 ) + 4}{2 ( - 5 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{4 + 4}{- 2 \cdot 5}

Sumar:

4 + 4 = 8

= \frac{8}{- 2 \cdot 5}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{8}{- 10}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{10}

Eliminar los terminos comunes:

2

= - \frac{4}{5}

u = \frac{- ( - 4 ) - 4}{2 ( - 5 )} : 0

\frac{- ( - 4 ) - 4}{2 ( - 5 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{4 - 4}{- 2 \cdot 5}

Restar:

4 - 4 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 5}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{0}{- 10}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{10}

Aplicar la regla

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - \frac{4}{5}, u = 0

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) = - \frac{4}{5}, sin (x) = 0

sin (x) = - \frac{4}{5}, sin (x) = 0

sin (x) = - \frac{4}{5} : x = arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{4}{5}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sin (x) = - \frac{4}{5}

Soluciones generales para

sin (x) = - \frac{4}{5}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

sin (x) = 0 : x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = 0

Soluciones generales para

sin (x) = 0

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Resolver

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn, x = 2 πn, x = π + 2 πn

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

cos (x) + 2 sin (x) = - 1

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn :

Verdadero

arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 π 1

Multiplicar

cos (x) + 2 sin (x) = - 1

por

x = arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 π 1

cos (arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 π 1) + 2 sin (arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 π 1) = - 1

Simplificar

- 1 = - 1

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn :

Falso

π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1

Multiplicar

cos (x) + 2 sin (x) = - 1

por

x = π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1

cos (π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1) + 2 sin (π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1) = - 1

Simplificar

- 2.2 = - 1

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

2 πn :

Falso

2 πn

Sustituir

n = 1

2 π 1

Multiplicar

cos (x) + 2 sin (x) = - 1

por

x = 2 π 1

cos (2 π 1) + 2 sin (2 π 1) = - 1

Simplificar

1 = - 1

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

π + 2 πn :

Verdadero

π + 2 πn

Sustituir

n = 1

π + 2 π 1

Multiplicar

cos (x) + 2 sin (x) = - 1

por

x = π + 2 π 1

cos (π + 2 π 1) + 2 sin (π + 2 π 1) = - 1

Simplificar

- 1 = - 1

\Rightarrow Verdadero

x = arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn, x = π + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = - 0.92729 \dots + 2 πn, x = π + 2 πn

Ejemplos populares

csc(x)=-7

csc (x) = - 7

cos(4t)+sin(4t)=0

cos (4 t) + sin (4 t) = 0

cos(x-30)=0.22

cos (x - 3 0^{\circ}) = 0.22

sin(4x-22)=cos(6x-13)

sin (4 x - 22) = cos (6 x - 13)

cos(2x)+1=2

cos (2 x) + 1 = 2