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Popular >

2cos(x)-3sin(x)=-2

Solución

2 cos (x) - 3 sin (x) = - 2

Solución

x = π + 2 πn, x = 1.17600 \dots + 2 πn

Grados

x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 67.38013 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

2 cos (x) - 3 sin (x) = - 2

Sumar

3 sin (x)

a ambos lados

2 cos (x) = - 2 + 3 sin (x)

Elevar al cuadrado ambos lados

(2 cos (x))^{2} = (- 2 + 3 sin (x))^{2}

Restar

(- 2 + 3 sin (x))^{2}

de ambos lados

4 cos^{2} (x) - 4 + 12 sin (x) - 9 sin^{2} (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 4 + 12 sin (x) + 4 cos^{2} (x) - 9 sin^{2} (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 4 + 12 sin (x) + 4 (1 - sin^{2} (x)) - 9 sin^{2} (x)

Simplificar

- 4 + 12 sin (x) + 4 (1 - sin^{2} (x)) - 9 sin^{2} (x) : 12 sin (x) - 13 sin^{2} (x)

- 4 + 12 sin (x) + 4 (1 - sin^{2} (x)) - 9 sin^{2} (x)

Expandir

4 (1 - sin^{2} (x)) : 4 - 4 sin^{2} (x)

4 (1 - sin^{2} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 4 \cdot 1 - 4 sin^{2} (x)

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 sin^{2} (x)

= - 4 + 12 sin (x) + 4 - 4 sin^{2} (x) - 9 sin^{2} (x)

Simplificar

- 4 + 12 sin (x) + 4 - 4 sin^{2} (x) - 9 sin^{2} (x) : 12 sin (x) - 13 sin^{2} (x)

- 4 + 12 sin (x) + 4 - 4 sin^{2} (x) - 9 sin^{2} (x)

Sumar elementos similares:

- 4 sin^{2} (x) - 9 sin^{2} (x) = - 13 sin^{2} (x)

= - 4 + 12 sin (x) + 4 - 13 sin^{2} (x)

Agrupar términos semejantes

= 12 sin (x) - 13 sin^{2} (x) - 4 + 4

- 4 + 4 = 0

= 12 sin (x) - 13 sin^{2} (x)

= 12 sin (x) - 13 sin^{2} (x)

= 12 sin (x) - 13 sin^{2} (x)

12 sin (x) - 13 sin^{2} (x) = 0

Usando el método de sustitución

12 sin (x) - 13 sin^{2} (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

12 u - 13 u^{2} = 0

12 u - 13 u^{2} = 0 : u = 0, u = \frac{12}{13}

12 u - 13 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 13 u^{2} + 12 u = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 13 u^{2} + 12 u = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 13, b = 12, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- 12 \pm 1 2 ^{2} - 4 ( - 13 ) \cdot 0}{2 ( - 13 )}

u_{1, 2} = \frac{- 12 \pm 1 2 ^{2} - 4 ( - 13 ) \cdot 0}{2 ( - 13 )}

1 2^{2} - 4 (- 13) \cdot 0 = 12

1 2^{2} - 4 (- 13) \cdot 0

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 1 2^{2} + 4 \cdot 13 \cdot 0

Aplicar la regla

0 \cdot a = 0

= 1 2^{2} + 0

1 2^{2} + 0 = 1 2^{2}

= 1 2^{2}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0

= 12

u_{1, 2} = \frac{- 12 \pm 12}{2 ( - 13 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 12 + 12}{2 ( - 13 )}, u_{2} = \frac{- 12 - 12}{2 ( - 13 )}

u = \frac{- 12 + 12}{2 ( - 13 )} : 0

\frac{- 12 + 12}{2 ( - 13 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 12 + 12}{- 2 \cdot 13}

Sumar/restar lo siguiente:

- 12 + 12 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 13}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 13 = 26

= \frac{0}{- 26}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{26}

Aplicar la regla

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

u = \frac{- 12 - 12}{2 ( - 13 )} : \frac{12}{13}

\frac{- 12 - 12}{2 ( - 13 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 12 - 12}{- 2 \cdot 13}

Restar:

- 12 - 12 = - 24

= \frac{- 24}{- 2 \cdot 13}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 13 = 26

= \frac{- 24}{- 26}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{24}{26}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{12}{13}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = 0, u = \frac{12}{13}

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) = 0, sin (x) = \frac{12}{13}

sin (x) = 0, sin (x) = \frac{12}{13}

sin (x) = 0 : x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = 0

Soluciones generales para

sin (x) = 0

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Resolver

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = \frac{12}{13} : x = arcsin (\frac{12}{13}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{12}{13}) + 2 πn

sin (x) = \frac{12}{13}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sin (x) = \frac{12}{13}

Soluciones generales para

sin (x) = \frac{12}{13}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{12}{13}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{12}{13}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{12}{13}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{12}{13}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = arcsin (\frac{12}{13}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{12}{13}) + 2 πn

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

2 cos (x) - 3 sin (x) = - 2

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

2 πn :

Falso

2 πn

Sustituir

n = 1

2 π 1

Multiplicar

2 cos (x) - 3 sin (x) = - 2

por

x = 2 π 1

2 cos (2 π 1) - 3 sin (2 π 1) = - 2

Simplificar

2 = - 2

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

π + 2 πn :

Verdadero

π + 2 πn

Sustituir

n = 1

π + 2 π 1

Multiplicar

2 cos (x) - 3 sin (x) = - 2

por

x = π + 2 π 1

2 cos (π + 2 π 1) - 3 sin (π + 2 π 1) = - 2

Simplificar

- 2 = - 2

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

arcsin (\frac{12}{13}) + 2 πn :

Verdadero

arcsin (\frac{12}{13}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arcsin (\frac{12}{13}) + 2 π 1

Multiplicar

2 cos (x) - 3 sin (x) = - 2

por

x = arcsin (\frac{12}{13}) + 2 π 1

2 cos (arcsin (\frac{12}{13}) + 2 π 1) - 3 sin (arcsin (\frac{12}{13}) + 2 π 1) = - 2

Simplificar

- 2 = - 2

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

π - arcsin (\frac{12}{13}) + 2 πn :

Falso

π - arcsin (\frac{12}{13}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

π - arcsin (\frac{12}{13}) + 2 π 1

Multiplicar

2 cos (x) - 3 sin (x) = - 2

por

x = π - arcsin (\frac{12}{13}) + 2 π 1

2 cos (π - arcsin (\frac{12}{13}) + 2 π 1) - 3 sin (π - arcsin (\frac{12}{13}) + 2 π 1) = - 2

Simplificar

- 3.53846 \dots = - 2

\Rightarrow Falso

x = π + 2 πn, x = arcsin (\frac{12}{13}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = π + 2 πn, x = 1.17600 \dots + 2 πn

Ejemplos populares

tan(x)=2-cot(x)

tan (x) = 2 - cot (x)

cosh^2(x)-10cosh(x)+25=0

cosh^{2} (x) - 10 cosh (x) + 25 = 0

6cos(x)+1=4

6 cos (x) + 1 = 4

sin(θ)=cos(37)

sin (θ) = cos (3 7^{\circ})

cot(x)-cot(x)csc(x)=0

cot (x) - cot (x) csc (x) = 0