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1-tan^2(y)=2sec(y)-4

Solución

1 - tan^{2} (y) = 2 sec (y) - 4

Solución

y = 1.84864 \dots + 2 πn, y = - 1.84864 \dots + 2 πn, y = 0.91772 \dots + 2 πn, y = 2 π - 0.91772 \dots + 2 πn

Grados

y = 105.91981 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, y = - 105.91981 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, y = 52.58201 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, y = 307.41798 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

1 - tan^{2} (y) = 2 sec (y) - 4

Restar

2 sec (y) - 4

de ambos lados

- tan^{2} (y) - 2 sec (y) + 5 = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

5 - tan^{2} (y) - 2 sec (y)

Utilizar la identidad pitagórica:

tan^{2} (x) + 1 = sec^{2} (x)

tan^{2} (x) = sec^{2} (x) - 1

= 5 - (sec^{2} (y) - 1) - 2 sec (y)

Simplificar

5 - (sec^{2} (y) - 1) - 2 sec (y) : - sec^{2} (y) - 2 sec (y) + 6

5 - (sec^{2} (y) - 1) - 2 sec (y)

- (sec^{2} (y) - 1) : - sec^{2} (y) + 1

- (sec^{2} (y) - 1)

Poner los parentesis

= - (sec^{2} (y)) - (- 1)

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a, - (a) = - a

= - sec^{2} (y) + 1

= 5 - sec^{2} (y) + 1 - 2 sec (y)

Simplificar

5 - sec^{2} (y) + 1 - 2 sec (y) : - sec^{2} (y) - 2 sec (y) + 6

5 - sec^{2} (y) + 1 - 2 sec (y)

Agrupar términos semejantes

= - sec^{2} (y) - 2 sec (y) + 5 + 1

Sumar:

5 + 1 = 6

= - sec^{2} (y) - 2 sec (y) + 6

= - sec^{2} (y) - 2 sec (y) + 6

= - sec^{2} (y) - 2 sec (y) + 6

6 - sec^{2} (y) - 2 sec (y) = 0

Usando el método de sustitución

6 - sec^{2} (y) - 2 sec (y) = 0

Sea:

sec (y) = u

6 - u^{2} - 2 u = 0

6 - u^{2} - 2 u = 0 : u = - 1 - 7, u = 7 - 1

6 - u^{2} - 2 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} - 2 u + 6 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- u^{2} - 2 u + 6 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 1, b = - 2, c = 6

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 6}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 6}{2 ( - 1 )}

(- 2)^{2} - 4 (- 1) \cdot 6 = 27

(- 2)^{2} - 4 (- 1) \cdot 6

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 6

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 6

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 \cdot 6 = 24

= 2^{2} + 24

2^{2} = 4

= 4 + 24

Sumar:

4 + 24 = 28

= 28

Descomposición en factores primos de

28 : 2^{2} \cdot 7

28

28

divida por

228 = 14 \cdot 2

= 2 \cdot 14

14

divida por

214 = 7 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 7

2, 7

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 7

= 2^{2} \cdot 7

= 2^{2} \cdot 7

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 7 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 27

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2 7}{2 ( - 1 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2 7}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2 7}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2 7}{2 ( - 1 )} : - 1 - 7

\frac{- ( - 2 ) + 2 7}{2 ( - 1 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 + 2 7}{- 2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 + 2 7}{- 2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 + 2 7}{2}

Cancelar

\frac{2 + 2 7}{2} : 1 + 7

\frac{2 + 2 7}{2}

Factorizar

2 + 27 : 2 (1 + 7)

2 + 27

Reescribir como

= 2 \cdot 1 + 27

Factorizar el termino común

2

= 2 (1 + 7)

= \frac{2 ( 1 + 7 )}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= 1 + 7

= - (1 + 7)

Poner los parentesis

= - (1) - (7)

Aplicar las reglas de los signos

+ (- a) = - a

= - 1 - 7

u = \frac{- ( - 2 ) - 2 7}{2 ( - 1 )} : 7 - 1

\frac{- ( - 2 ) - 2 7}{2 ( - 1 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 - 2 7}{- 2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 - 2 7}{- 2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

2 - 27 = - (27 - 2)

= \frac{2 7 - 2}{2}

Factorizar

27 - 2 : 2 (7 - 1)

27 - 2

Reescribir como

= 27 - 2 \cdot 1

Factorizar el termino común

2

= 2 (7 - 1)

= \frac{2 ( 7 - 1 )}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= 7 - 1

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - 1 - 7, u = 7 - 1

Sustituir en la ecuación

u = sec (y)

sec (y) = - 1 - 7, sec (y) = 7 - 1

sec (y) = - 1 - 7, sec (y) = 7 - 1

sec (y) = - 1 - 7 : y = arcsec (- 1 - 7) + 2 πn, y = - arcsec (- 1 - 7) + 2 πn

sec (y) = - 1 - 7

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sec (y) = - 1 - 7

Soluciones generales para

sec (y) = - 1 - 7

sec (x) = - a \Rightarrow x = arcsec (- a) + 2 πn, x = - arcsec (- a) + 2 πn

y = arcsec (- 1 - 7) + 2 πn, y = - arcsec (- 1 - 7) + 2 πn

y = arcsec (- 1 - 7) + 2 πn, y = - arcsec (- 1 - 7) + 2 πn

sec (y) = 7 - 1 : y = arcsec (7 - 1) + 2 πn, y = 2 π - arcsec (7 - 1) + 2 πn

sec (y) = 7 - 1

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sec (y) = 7 - 1

Soluciones generales para

sec (y) = 7 - 1

sec (x) = a \Rightarrow x = arcsec (a) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (a) + 2 πn

y = arcsec (7 - 1) + 2 πn, y = 2 π - arcsec (7 - 1) + 2 πn

y = arcsec (7 - 1) + 2 πn, y = 2 π - arcsec (7 - 1) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

y = arcsec (- 1 - 7) + 2 πn, y = - arcsec (- 1 - 7) + 2 πn, y = arcsec (7 - 1) + 2 πn, y = 2 π - arcsec (7 - 1) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

y = 1.84864 \dots + 2 πn, y = - 1.84864 \dots + 2 πn, y = 0.91772 \dots + 2 πn, y = 2 π - 0.91772 \dots + 2 πn

Ejemplos populares

2sin^2(2θ)+5sin(2θ)=3

2 sin^{2} (2 θ) + 5 sin (2 θ) = 3

3cot(x)+4=7

3 cot (x) + 4 = 7

2sin(4θ)+1=0

2 sin (4 θ) + 1 = 0

cot^2(x)csc^2(x)+2csc^2(x)-cot^2(x)=2

cot^{2} (x) csc^{2} (x) + 2 csc^{2} (x) - cot^{2} (x) = 2

cos(t)= 3/5 ,0<t< pi/2

cos (t) = \frac{3}{5}, 0 < t < \frac{π}{2}