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cos(2x)-sin^2(x)-1=3sin(x)

Solución

cos (2 x) - sin^{2} (x) - 1 = 3 sin (x)

Solución

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 2 πn, x = π + 2 πn

Grados

x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

cos (2 x) - sin^{2} (x) - 1 = 3 sin (x)

Restar

3 sin (x)

de ambos lados

cos (2 x) - sin^{2} (x) - 1 - 3 sin (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 1 + cos (2 x) - sin^{2} (x) - 3 sin (x)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= - 1 + 1 - 2 sin^{2} (x) - sin^{2} (x) - 3 sin (x)

Simplificar

- 1 + 1 - 2 sin^{2} (x) - sin^{2} (x) - 3 sin (x) : - 3 sin^{2} (x) - 3 sin (x)

- 1 + 1 - 2 sin^{2} (x) - sin^{2} (x) - 3 sin (x)

Sumar elementos similares:

- 2 sin^{2} (x) - sin^{2} (x) = - 3 sin^{2} (x)

= - 1 + 1 - 3 sin^{2} (x) - 3 sin (x)

- 1 + 1 = 0

= - 3 sin^{2} (x) - 3 sin (x)

= - 3 sin^{2} (x) - 3 sin (x)

- 3 sin (x) - 3 sin^{2} (x) = 0

Usando el método de sustitución

- 3 sin (x) - 3 sin^{2} (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

- 3 u - 3 u^{2} = 0

- 3 u - 3 u^{2} = 0 : u = - 1, u = 0

- 3 u - 3 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 3 u^{2} - 3 u = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 3 u^{2} - 3 u = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 3, b = - 3, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 ( - 3 ) \cdot 0}{2 ( - 3 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 ( - 3 ) \cdot 0}{2 ( - 3 )}

(- 3)^{2} - 4 (- 3) \cdot 0 = 3

(- 3)^{2} - 4 (- 3) \cdot 0

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 3)^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 0

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 3)^{2} = 3^{2}

= 3^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 0

Aplicar la regla

0 \cdot a = 0

= 3^{2} + 0

3^{2} + 0 = 3^{2}

= 3^{2}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0

= 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm 3}{2 ( - 3 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 3 ) + 3}{2 ( - 3 )}, u_{2} = \frac{- ( - 3 ) - 3}{2 ( - 3 )}

u = \frac{- ( - 3 ) + 3}{2 ( - 3 )} : - 1

\frac{- ( - 3 ) + 3}{2 ( - 3 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{3 + 3}{- 2 \cdot 3}

Sumar:

3 + 3 = 6

= \frac{6}{- 2 \cdot 3}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{6}{- 6}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6}{6}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= - 1

u = \frac{- ( - 3 ) - 3}{2 ( - 3 )} : 0

\frac{- ( - 3 ) - 3}{2 ( - 3 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{3 - 3}{- 2 \cdot 3}

Restar:

3 - 3 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 3}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{0}{- 6}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{6}

Aplicar la regla

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - 1, u = 0

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) = - 1, sin (x) = 0

sin (x) = - 1, sin (x) = 0

sin (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = - 1

Soluciones generales para

sin (x) = - 1

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = 0 : x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = 0

Soluciones generales para

sin (x) = 0

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Resolver

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 2 πn, x = π + 2 πn

Ejemplos populares

tan(Θ)=1.4,180<,Θ<270

tan (Θ) = 1.4, 18 0^{\circ} <, Θ < 27 0^{\circ}

(1+4cos(θ))^2=(sqrt(3)sin(θ))

(1 + 4 cos (θ))^{2} = (3 sin (θ))

sin(θ)-(cos(θ))/5 =0.6377

sin (θ) - \frac{cos ( θ )}{5} = 0.6377

cos(2θ)=0.4,0<= θ<= 360

cos (2 θ) = 0.4, 0^{\circ} \leq θ \leq 36 0^{\circ}

sin(4x)=cos(4x)

sin (4 x) = cos (4 x)