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cos(x)=sqrt((1+cos(x))/2)

Solución

cos (x) = \frac{1 + cos ( x )}{2}

Solución

x = 2 πn

Grados

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

cos (x) = \frac{1 + cos ( x )}{2}

Usando el método de sustitución

cos (x) = \frac{1 + cos ( x )}{2}

Sea:

cos (x) = u

u = \frac{1 + u}{2}

u = \frac{1 + u}{2} : u = 1

u = \frac{1 + u}{2}

Elevar al cuadrado ambos lados:

u^{2} = \frac{1 + u}{2}

u = \frac{1 + u}{2}

u^{2} = (\frac{1 + u}{2})^{2}

Desarrollar

(\frac{1 + u}{2})^{2} : \frac{1 + u}{2}

(\frac{1 + u}{2})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((\frac{1 + u}{2})^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (\frac{1 + u}{2})^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= 1

= \frac{1 + u}{2}

u^{2} = \frac{1 + u}{2}

u^{2} = \frac{1 + u}{2}

Resolver

u^{2} = \frac{1 + u}{2} : u = 1, u = - \frac{1}{2}

u^{2} = \frac{1 + u}{2}

Multiplicar ambos lados por

2

u^{2} = \frac{1 + u}{2}

Multiplicar ambos lados por

2

u^{2} \cdot 2 = \frac{1 + u}{2} \cdot 2

Simplificar

2 u^{2} = 1 + u

2 u^{2} = 1 + u

Mover

u

al lado izquierdo

2 u^{2} = 1 + u

Restar

u

de ambos lados

2 u^{2} - u = 1 + u - u

Simplificar

2 u^{2} - u = 1

2 u^{2} - u = 1

Mover

1

al lado izquierdo

2 u^{2} - u = 1

Restar

1

de ambos lados

2 u^{2} - u - 1 = 1 - 1

Simplificar

2 u^{2} - u - 1 = 0

2 u^{2} - u - 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

2 u^{2} - u - 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 2, b = - 1, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 1 )}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 1 )}{2 \cdot 2}

(- 1)^{2} - 4 \cdot 2 (- 1) = 3

(- 1)^{2} - 4 \cdot 2 (- 1)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 1

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Aplicar la regla

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

4 \cdot 2 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 8

= 1 + 8

Sumar:

1 + 8 = 9

= 9

Descomponer el número en factores primos:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

3^{2} = 3

= 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 3}{2 \cdot 2}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 3}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 3}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 1 ) + 3}{2 \cdot 2} : 1

\frac{- ( - 1 ) + 3}{2 \cdot 2}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{1 + 3}{2 \cdot 2}

Sumar:

1 + 3 = 4

= \frac{4}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4}{4}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 1 ) - 3}{2 \cdot 2} : - \frac{1}{2}

\frac{- ( - 1 ) - 3}{2 \cdot 2}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{1 - 3}{2 \cdot 2}

Restar:

1 - 3 = - 2

= \frac{- 2}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2}{4}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{4}

Eliminar los terminos comunes:

2

= - \frac{1}{2}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = 1, u = - \frac{1}{2}

u = 1, u = - \frac{1}{2}

Verificar las soluciones:

u = 1

Verdadero

, u = - \frac{1}{2}

Falso

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

u = \frac{1 + u}{2}

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Sustituir

u = 1 :

Verdadero

1 = \frac{1 + 1}{2}

\frac{1 + 1}{2} = 1

\frac{1 + 1}{2}

\frac{1 + 1}{2} = 1

\frac{1 + 1}{2}

Sumar:

1 + 1 = 2

= \frac{2}{2}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= 1

= 1

Aplicar la regla

1 = 1

= 1

1 = 1

Verdadero

Sustituir

u = - \frac{1}{2} :

Falso

- \frac{1}{2} = \frac{1 + ( - \frac{1}{2} )}{2}

\frac{1 + ( - \frac{1}{2} )}{2} = \frac{1}{2}

\frac{1 + ( - \frac{1}{2} )}{2}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{1 - \frac{1}{2}}{2}

\frac{1 - \frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}

\frac{1 - \frac{1}{2}}{2}

Simplificar

1 - \frac{1}{2}

en una fracción:

\frac{1}{2}

1 - \frac{1}{2}

Convertir a fracción:

1 = \frac{1 \cdot 2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 - 1}{2}

1 \cdot 2 - 1 = 1

1 \cdot 2 - 1

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 2 = 2

= 2 - 1

Restar:

2 - 1 = 1

= 1

= \frac{1}{2}

= \frac{\frac{1}{2}}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{1}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{1}{4}

= \frac{1}{4}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{4}

4 = 2

4

Descomponer el número en factores primos:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2

= \frac{1}{2}

Aplicar la regla

1 = 1

= \frac{1}{2}

- \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Falso

La solución es

u = 1

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = 1

cos (x) = 1

cos (x) = 1 : x = 2 πn

cos (x) = 1

Soluciones generales para

cos (x) = 1

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Resolver

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = 2 πn

Ejemplos populares

cos(x)=(sqrt(1+cos(x)))/2

cos (x) = \frac{1 + cos ( x )}{2}

sin(x/2)+(sqrt(3))/2 =0

sin (\frac{x}{2}) + \frac{3}{2} = 0

cos(x)=0.818

cos (x) = 0.818

sin(x)=(150)/(212.6)(sin(115))

sin (x) = \frac{150}{212.6} (sin (11 5^{\circ}))

16cos(2θ)-9=0

16 cos (2 θ) - 9 = 0