English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Popular >

cos(θ)+2tan(θ)=sec(θ)

Solución

cos (θ) + 2 tan (θ) = sec (θ)

Solución

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

Grados

θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

cos (θ) + 2 tan (θ) = sec (θ)

Restar

sec (θ)

de ambos lados

cos (θ) + 2 tan (θ) - sec (θ) = 0

Expresar con seno, coseno

cos (θ) + 2 \cdot \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{1}{cos ( θ )} = 0

Simplificar

cos (θ) + 2 \cdot \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{1}{cos ( θ )} : \frac{cos ^{2} ( θ ) + 2 sin ( θ ) - 1}{cos ( θ )}

cos (θ) + 2 \cdot \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{1}{cos ( θ )}

Multiplicar

2 \cdot \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{2 sin ( θ )}{cos ( θ )}

2 \cdot \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( θ ) \cdot 2}{cos ( θ )}

= cos (θ) + \frac{2 sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{1}{cos ( θ )}

Combinar las fracciones usando el mínimo común denominador:

\frac{2 sin ( θ ) - 1}{cos ( θ )}

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 sin ( θ ) - 1}{cos ( θ )}

= cos (θ) + \frac{2 sin ( θ ) - 1}{cos ( θ )}

Convertir a fracción:

cos (θ) = \frac{cos ( θ ) cos ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) cos ( θ )}{cos ( θ )} + \frac{sin ( θ ) \cdot 2 - 1}{cos ( θ )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( θ ) cos ( θ ) + sin ( θ ) \cdot 2 - 1}{cos ( θ )}

cos (θ) cos (θ) + sin (θ) \cdot 2 - 1 = cos^{2} (θ) + 2 sin (θ) - 1

cos (θ) cos (θ) + sin (θ) \cdot 2 - 1

cos (θ) cos (θ) = cos^{2} (θ)

cos (θ) cos (θ)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (θ) cos (θ) = cos^{1 + 1} (θ)

= cos^{1 + 1} (θ)

Sumar:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (θ)

= cos^{2} (θ) + 2 sin (θ) - 1

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + 2 sin ( θ ) - 1}{cos ( θ )}

\frac{cos ^{2} ( θ ) + 2 sin ( θ ) - 1}{cos ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cos^{2} (θ) + 2 sin (θ) - 1 = 0

Restar

2 sin (θ)

de ambos lados

cos^{2} (θ) - 1 = - 2 sin (θ)

Elevar al cuadrado ambos lados

(cos^{2} (θ) - 1)^{2} = (- 2 sin (θ))^{2}

Restar

(- 2 sin (θ))^{2}

de ambos lados

(cos^{2} (θ) - 1)^{2} - 4 sin^{2} (θ) = 0

Factorizar

(cos^{2} (θ) - 1)^{2} - 4 sin^{2} (θ) : (cos^{2} (θ) - 1 + 2 sin (θ)) (cos^{2} (θ) - 1 - 2 sin (θ))

(cos^{2} (θ) - 1)^{2} - 4 sin^{2} (θ)

Reescribir

(cos^{2} (θ) - 1)^{2} - 4 sin^{2} (θ)

como

(cos^{2} (θ) - 1)^{2} - (2 sin (θ))^{2}

(cos^{2} (θ) - 1)^{2} - 4 sin^{2} (θ)

Reescribir

4

como

2^{2}

= (cos^{2} (θ) - 1)^{2} - 2^{2} sin^{2} (θ)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

2^{2} sin^{2} (θ) = (2 sin (θ))^{2}

= (cos^{2} (θ) - 1)^{2} - (2 sin (θ))^{2}

= (cos^{2} (θ) - 1)^{2} - (2 sin (θ))^{2}

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(cos^{2} (θ) - 1)^{2} - (2 sin (θ))^{2} = ((cos^{2} (θ) - 1) + 2 sin (θ)) ((cos^{2} (θ) - 1) - 2 sin (θ))

= ((cos^{2} (θ) - 1) + 2 sin (θ)) ((cos^{2} (θ) - 1) - 2 sin (θ))

Simplificar

= (cos^{2} (θ) + 2 sin (θ) - 1) (cos^{2} (θ) - 2 sin (θ) - 1)

(cos^{2} (θ) - 1 + 2 sin (θ)) (cos^{2} (θ) - 1 - 2 sin (θ)) = 0

Resolver cada parte por separado

cos^{2} (θ) - 1 + 2 sin (θ) = 0 or cos^{2} (θ) - 1 - 2 sin (θ) = 0

cos^{2} (θ) - 1 + 2 sin (θ) = 0 : θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

cos^{2} (θ) - 1 + 2 sin (θ) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 1 + cos^{2} (θ) + 2 sin (θ)

Utilizar la identidad pitagórica:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= 2 sin (θ) - sin^{2} (θ)

- sin^{2} (θ) + 2 sin (θ) = 0

Usando el método de sustitución

- sin^{2} (θ) + 2 sin (θ) = 0

Sea:

sin (θ) = u

- u^{2} + 2 u = 0

- u^{2} + 2 u = 0 : u = 0, u = 2

- u^{2} + 2 u = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- u^{2} + 2 u = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 1, b = 2, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 0}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 0}{2 ( - 1 )}

2^{2} - 4 (- 1) \cdot 0 = 2

2^{2} - 4 (- 1) \cdot 0

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 0

Aplicar la regla

0 \cdot a = 0

= 2^{2} + 0

2^{2} + 0 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0

= 2

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2}{2 ( - 1 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 2 + 2}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- 2 - 2}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- 2 + 2}{2 ( - 1 )} : 0

\frac{- 2 + 2}{2 ( - 1 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 2 + 2}{- 2 \cdot 1}

Sumar/restar lo siguiente:

- 2 + 2 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{0}{- 2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{2}

Aplicar la regla

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

u = \frac{- 2 - 2}{2 ( - 1 )} : 2

\frac{- 2 - 2}{2 ( - 1 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 2 - 2}{- 2 \cdot 1}

Restar:

- 2 - 2 = - 4

= \frac{- 4}{- 2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 4}{- 2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{4}{2}

Dividir:

\frac{4}{2} = 2

= 2

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = 0, u = 2

Sustituir en la ecuación

u = sin (θ)

sin (θ) = 0, sin (θ) = 2

sin (θ) = 0, sin (θ) = 2

sin (θ) = 0 : θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

sin (θ) = 0

Soluciones generales para

sin (θ) = 0

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

Resolver

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

sin (θ) = 2 :

Sin solución

sin (θ) = 2

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

cos^{2} (θ) - 1 - 2 sin (θ) = 0 : θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

cos^{2} (θ) - 1 - 2 sin (θ) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 1 + cos^{2} (θ) - 2 sin (θ)

Utilizar la identidad pitagórica:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= - 2 sin (θ) - sin^{2} (θ)

- sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) = 0

Usando el método de sustitución

- sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) = 0

Sea:

sin (θ) = u

- u^{2} - 2 u = 0

- u^{2} - 2 u = 0 : u = - 2, u = 0

- u^{2} - 2 u = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- u^{2} - 2 u = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 1, b = - 2, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 0}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 0}{2 ( - 1 )}

(- 2)^{2} - 4 (- 1) \cdot 0 = 2

(- 2)^{2} - 4 (- 1) \cdot 0

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 0

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 0

Aplicar la regla

0 \cdot a = 0

= 2^{2} + 0

2^{2} + 0 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0

= 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2}{2 ( - 1 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2}{2 ( - 1 )} : - 2

\frac{- ( - 2 ) + 2}{2 ( - 1 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 + 2}{- 2 \cdot 1}

Sumar:

2 + 2 = 4

= \frac{4}{- 2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{4}{- 2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{2}

Dividir:

\frac{4}{2} = 2

= - 2

u = \frac{- ( - 2 ) - 2}{2 ( - 1 )} : 0

\frac{- ( - 2 ) - 2}{2 ( - 1 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 - 2}{- 2 \cdot 1}

Restar:

2 - 2 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{0}{- 2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{2}

Aplicar la regla

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - 2, u = 0

Sustituir en la ecuación

u = sin (θ)

sin (θ) = - 2, sin (θ) = 0

sin (θ) = - 2, sin (θ) = 0

sin (θ) = - 2 :

Sin solución

sin (θ) = - 2

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

sin (θ) = 0 : θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

sin (θ) = 0

Soluciones generales para

sin (θ) = 0

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

Resolver

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

Combinar toda las soluciones

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

Combinar toda las soluciones

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

cos (θ) + 2 tan (θ) = sec (θ)

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

2 πn :

Verdadero

2 πn

Sustituir

n = 1

2 π 1

Multiplicar

cos (θ) + 2 tan (θ) = sec (θ)

por

θ = 2 π 1

cos (2 π 1) + 2 tan (2 π 1) = sec (2 π 1)

Simplificar

1 = 1

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

π + 2 πn :

Verdadero

π + 2 πn

Sustituir

n = 1

π + 2 π 1

Multiplicar

cos (θ) + 2 tan (θ) = sec (θ)

por

θ = π + 2 π 1

cos (π + 2 π 1) + 2 tan (π + 2 π 1) = sec (π + 2 π 1)

Simplificar

- 1 = - 1

\Rightarrow Verdadero

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

Ejemplos populares

(9tan(θ))/(10-tan^2(θ))=1

\frac{9 tan ( θ )}{10 - tan ^{2} ( θ )} = 1

tan(x)=(0.45*cos(5))/(1-0.45*sin(5))

tan (x) = \frac{0.45 \cdot cos ( 5 ^{\circ} )}{1 - 0.45 \cdot sin ( 5 ^{\circ} )}

6sin(2x)=3cos(30)

6 sin (2 x) = 3 cos (3 0^{\circ})

cos(y)=-1

cos (y) = - 1

cot(x)=-2/3

cot (x) = - \frac{2}{3}