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arccot(x)+arccot(1+x)= pi/4

Solución

arccot (x) + arccot (1 + x) = \frac{π}{4}

Solución

x = 2

Pasos de solución

arccot (x) + arccot (1 + x) = \frac{π}{4}

Re-escribir usando identidades trigonométricas

arccot (x) + arccot (1 + x)

Utilizar la identidad suma-producto:

arccot (s) + arccot (t) = arccot (\frac{s t - 1}{t + s})

= arccot (\frac{x ( 1 + x ) - 1}{1 + x + x})

arccot (\frac{x ( 1 + x ) - 1}{1 + x + x}) = \frac{π}{4}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

arccot (\frac{x ( 1 + x ) - 1}{1 + x + x}) = \frac{π}{4}

arccot (x) = a \Rightarrow x = cot (a)

\frac{x ( 1 + x ) - 1}{1 + x + x} = cot (\frac{π}{4})

cot (\frac{π}{4}) = 1

cot (\frac{π}{4})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

cot (\frac{π}{4}) = 1

cot (\frac{π}{4})

cot (x)

tabla de valores periódicos con

πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cot (x) \mp \infty 31 \frac{3}{3} 0 - \frac{3}{3} - 1 - 3

= 1

= 1

\frac{x ( 1 + x ) - 1}{1 + x + x} = 1

\frac{x ( 1 + x ) - 1}{1 + x + x} = 1

Resolver

\frac{x ( 1 + x ) - 1}{1 + x + x} = 1 : x = 2, x = - 1

\frac{x ( 1 + x ) - 1}{1 + x + x} = 1

Simplificar

\frac{x ( 1 + x ) - 1}{1 + x + x} : \frac{x ( 1 + x ) - 1}{1 + 2 x}

\frac{x ( 1 + x ) - 1}{1 + x + x}

Sumar elementos similares:

x + x = 2 x

= \frac{x ( x + 1 ) - 1}{1 + 2 x}

\frac{x ( 1 + x ) - 1}{1 + 2 x} = 1

Multiplicar ambos lados por

1 + 2 x

\frac{x ( 1 + x ) - 1}{1 + 2 x} = 1

Multiplicar ambos lados por

1 + 2 x

\frac{x ( 1 + x ) - 1}{1 + 2 x} (1 + 2 x) = 1 \cdot (1 + 2 x)

Simplificar

\frac{x ( 1 + x ) - 1}{1 + 2 x} (1 + 2 x) = 1 \cdot (1 + 2 x)

Simplificar

\frac{x ( 1 + x ) - 1}{1 + 2 x} (1 + 2 x) : x (1 + x) - 1

\frac{x ( 1 + x ) - 1}{1 + 2 x} (1 + 2 x)

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( x ( 1 + x ) - 1 ) ( 1 + 2 x )}{1 + 2 x}

Eliminar los terminos comunes:

1 + 2 x

= x (1 + x) - 1

Simplificar

1 \cdot (1 + 2 x) : 1 + 2 x

1 \cdot (1 + 2 x)

Multiplicar:

1 \cdot (1 + 2 x) = (1 + 2 x)

= (1 + 2 x)

Quitar los parentesis:

(a) = a

= 1 + 2 x

x (1 + x) - 1 = 1 + 2 x

x (1 + x) - 1 = 1 + 2 x

x (1 + x) - 1 = 1 + 2 x

Resolver

x (1 + x) - 1 = 1 + 2 x : x = 2, x = - 1

x (1 + x) - 1 = 1 + 2 x

Desarrollar

x (1 + x) - 1 : x + x^{2} - 1

x (1 + x) - 1

Expandir

x (1 + x) : x + x^{2}

x (1 + x)

Poner los parentesis utilizando:

a (b + c) = ab + a c

a = x, b = 1, c = x

= x \cdot 1 + xx

= 1 \cdot x + xx

Simplificar

1 \cdot x + xx : x + x^{2}

1 \cdot x + xx

1 \cdot x = x

1 \cdot x

Multiplicar:

1 \cdot x = x

= x

xx = x^{2}

xx

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

xx = x^{1 + 1}

= x^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= x^{2}

= x + x^{2}

= x + x^{2}

= x + x^{2} - 1

x + x^{2} - 1 = 1 + 2 x

Mover

2 x

al lado izquierdo

x + x^{2} - 1 = 1 + 2 x

Restar

2 x

de ambos lados

x + x^{2} - 1 - 2 x = 1 + 2 x - 2 x

Simplificar

x^{2} - x - 1 = 1

x^{2} - x - 1 = 1

Mover

1

al lado izquierdo

x^{2} - x - 1 = 1

Restar

1

de ambos lados

x^{2} - x - 1 - 1 = 1 - 1

Simplificar

x^{2} - x - 2 = 0

x^{2} - x - 2 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

x^{2} - x - 2 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 1, b = - 1, c = - 2

x_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 2 )}{2 \cdot 1}

x_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 2 )}{2 \cdot 1}

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 3

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 2

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Aplicar la regla

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

4 \cdot 1 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

= 8

= 1 + 8

Sumar:

1 + 8 = 9

= 9

Descomponer el número en factores primos:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

3^{2} = 3

= 3

x_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 3}{2 \cdot 1}

Separar las soluciones

x_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 3}{2 \cdot 1}, x_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 3}{2 \cdot 1}

x = \frac{- ( - 1 ) + 3}{2 \cdot 1} : 2

\frac{- ( - 1 ) + 3}{2 \cdot 1}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{1 + 3}{2 \cdot 1}

Sumar:

1 + 3 = 4

= \frac{4}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{4}{2}

Dividir:

\frac{4}{2} = 2

= 2

x = \frac{- ( - 1 ) - 3}{2 \cdot 1} : - 1

\frac{- ( - 1 ) - 3}{2 \cdot 1}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{1 - 3}{2 \cdot 1}

Restar:

1 - 3 = - 2

= \frac{- 2}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{2}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

x = 2, x = - 1

x = 2, x = - 1

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

x = - \frac{1}{2}

Tomar el(los) denominador(es) de

\frac{x ( 1 + x ) - 1}{1 + x + x}

y comparar con cero

Resolver

1 + x + x = 0 : x = - \frac{1}{2}

1 + x + x = 0

Sumar elementos similares:

x + x = 2 x

1 + 2 x = 0

Mover

1

al lado derecho

1 + 2 x = 0

Restar

1

de ambos lados

1 + 2 x - 1 = 0 - 1

Simplificar

2 x = - 1

2 x = - 1

Dividir ambos lados entre

2

2 x = - 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplificar

x = - \frac{1}{2}

x = - \frac{1}{2}

Los siguientes puntos no están definidos

x = - \frac{1}{2}

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

x = 2, x = - 1

x = 2, x = - 1

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

arccot (x) + arccot (1 + x) = \frac{π}{4}

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

2 :

Verdadero

2

Sustituir

n = 1

2

Multiplicar

arccot (x) + arccot (1 + x) = \frac{π}{4}

por

x = 2

arccot (2) + arccot (1 + 2) = \frac{π}{4}

Simplificar

0.78539 \dots = 0.78539 \dots

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

- 1 :

Falso

- 1

Sustituir

n = 1

- 1

Multiplicar

arccot (x) + arccot (1 + x) = \frac{π}{4}

por

x = - 1

arccot (- 1) + arccot (1 - 1) = \frac{π}{4}

Simplificar

3.92699 \dots = 0.78539 \dots

\Rightarrow Falso

x = 2

Ejemplos populares

arcsin(x-0.355)=0.489

arcsin (x - 0.355) = 0.489

cos(pi/2-x)= 4/5

cos (\frac{π}{2} - x) = \frac{4}{5}

6=10cos(4*o)

6 = 10 cos (4 \cdot o)

2cos(2θ)+5cos(θ)=4

2 cos (2 θ) + 5 cos (θ) = 4

solvefor y,x=sin(1/2 y)resolver para

y, x = sin (\frac{1}{2} y)