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cot(θ)+3csc(θ)=5

Solución

cot (θ) + 3 csc (θ) = 5

Solución

θ = 0.82641 \dots + 2 πn, θ = 2.70997 \dots + 2 πn

Grados

θ = 47.34982 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 155.27003 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

cot (θ) + 3 csc (θ) = 5

Restar

5

de ambos lados

cot (θ) + 3 csc (θ) - 5 = 0

Expresar con seno, coseno

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + 3 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} - 5 = 0

Simplificar

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + 3 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} - 5 : \frac{cos ( θ ) + 3 - 5 sin ( θ )}{sin ( θ )}

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + 3 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} - 5

3 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} = \frac{3}{sin ( θ )}

3 \cdot \frac{1}{sin ( θ )}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 3}{sin ( θ )}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 3 = 3

= \frac{3}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{3}{sin ( θ )} - 5

Combinar las fracciones usando el mínimo común denominador:

\frac{cos ( θ ) + 3}{sin ( θ )}

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( θ ) + 3}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) + 3}{sin ( θ )} - 5

Convertir a fracción:

5 = \frac{5 sin ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) + 3}{sin ( θ )} - \frac{5 sin ( θ )}{sin ( θ )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( θ ) + 3 - 5 sin ( θ )}{sin ( θ )}

\frac{cos ( θ ) + 3 - 5 sin ( θ )}{sin ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cos (θ) + 3 - 5 sin (θ) = 0

Sumar

5 sin (θ)

a ambos lados

cos (θ) + 3 = 5 sin (θ)

Elevar al cuadrado ambos lados

(cos (θ) + 3)^{2} = (5 sin (θ))^{2}

Restar

(5 sin (θ))^{2}

de ambos lados

(cos (θ) + 3)^{2} - 25 sin^{2} (θ) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

(3 + cos (θ))^{2} - 25 sin^{2} (θ)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= (3 + cos (θ))^{2} - 25 (1 - cos^{2} (θ))

Simplificar

(3 + cos (θ))^{2} - 25 (1 - cos^{2} (θ)) : 26 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) - 16

(3 + cos (θ))^{2} - 25 (1 - cos^{2} (θ))

(3 + cos (θ))^{2} : 9 + 6 cos (θ) + cos^{2} (θ)

Aplicar la formula del binomio al cuadrado:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 3, b = cos (θ)

= 3^{2} + 2 \cdot 3 cos (θ) + cos^{2} (θ)

Simplificar

3^{2} + 2 \cdot 3 cos (θ) + cos^{2} (θ) : 9 + 6 cos (θ) + cos^{2} (θ)

3^{2} + 2 \cdot 3 cos (θ) + cos^{2} (θ)

3^{2} = 9

= 9 + 2 \cdot 3 cos (θ) + cos^{2} (θ)

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 3 = 6

= 9 + 6 cos (θ) + cos^{2} (θ)

= 9 + 6 cos (θ) + cos^{2} (θ)

= 9 + 6 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 25 (1 - cos^{2} (θ))

Expandir

- 25 (1 - cos^{2} (θ)) : - 25 + 25 cos^{2} (θ)

- 25 (1 - cos^{2} (θ))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - 25, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= - 25 \cdot 1 - (- 25) cos^{2} (θ)

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a

= - 25 \cdot 1 + 25 cos^{2} (θ)

Multiplicar los numeros:

25 \cdot 1 = 25

= - 25 + 25 cos^{2} (θ)

= 9 + 6 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 25 + 25 cos^{2} (θ)

Simplificar

9 + 6 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 25 + 25 cos^{2} (θ) : 26 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) - 16

9 + 6 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 25 + 25 cos^{2} (θ)

Agrupar términos semejantes

= 6 cos (θ) + cos^{2} (θ) + 25 cos^{2} (θ) + 9 - 25

Sumar elementos similares:

cos^{2} (θ) + 25 cos^{2} (θ) = 26 cos^{2} (θ)

= 6 cos (θ) + 26 cos^{2} (θ) + 9 - 25

Sumar/restar lo siguiente:

9 - 25 = - 16

= 26 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) - 16

= 26 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) - 16

= 26 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) - 16

- 16 + 26 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) = 0

Usando el método de sustitución

- 16 + 26 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) = 0

Sea:

cos (θ) = u

- 16 + 26 u^{2} + 6 u = 0

- 16 + 26 u^{2} + 6 u = 0 : u = \frac{- 3 + 5 17}{26}, u = - \frac{3 + 5 17}{26}

- 16 + 26 u^{2} + 6 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

26 u^{2} + 6 u - 16 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

26 u^{2} + 6 u - 16 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 26, b = 6, c = - 16

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 6 ^{2} - 4 \cdot 26 ( - 16 )}{2 \cdot 26}

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 6 ^{2} - 4 \cdot 26 ( - 16 )}{2 \cdot 26}

6^{2} - 4 \cdot 26 (- 16) = 1017

6^{2} - 4 \cdot 26 (- 16)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 6^{2} + 4 \cdot 26 \cdot 16

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 26 \cdot 16 = 1664

= 6^{2} + 1664

6^{2} = 36

= 36 + 1664

Sumar:

36 + 1664 = 1700

= 1700

Descomposición en factores primos de

1700 : 2^{2} \cdot 5^{2} \cdot 17

1700

1700

divida por

21700 = 850 \cdot 2

= 2 \cdot 850

850

divida por

2850 = 425 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 425

425

divida por

5425 = 85 \cdot 5

= 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 85

85

divida por

585 = 17 \cdot 5

= 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 17

2, 5, 17

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 17

= 2^{2} \cdot 5^{2} \cdot 17

= 2^{2} \cdot 5^{2} \cdot 17

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 17 2^{2} 5^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 217 5^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

5^{2} = 5

= 2 \cdot 517

Simplificar

= 1017

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 10 17}{2 \cdot 26}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 6 + 10 17}{2 \cdot 26}, u_{2} = \frac{- 6 - 10 17}{2 \cdot 26}

u = \frac{- 6 + 10 17}{2 \cdot 26} : \frac{- 3 + 5 17}{26}

\frac{- 6 + 10 17}{2 \cdot 26}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 26 = 52

= \frac{- 6 + 10 17}{52}

Factorizar

- 6 + 1017 : 2 (- 3 + 517)

- 6 + 1017

Reescribir como

= - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 517

Factorizar el termino común

2

= 2 (- 3 + 517)

= \frac{2 ( - 3 + 5 17 )}{52}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{- 3 + 5 17}{26}

u = \frac{- 6 - 10 17}{2 \cdot 26} : - \frac{3 + 5 17}{26}

\frac{- 6 - 10 17}{2 \cdot 26}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 26 = 52

= \frac{- 6 - 10 17}{52}

Factorizar

- 6 - 1017 : - 2 (3 + 517)

- 6 - 1017

Reescribir como

= - 2 \cdot 3 - 2 \cdot 517

Factorizar el termino común

2

= - 2 (3 + 517)

= - \frac{2 ( 3 + 5 17 )}{52}

Eliminar los terminos comunes:

2

= - \frac{3 + 5 17}{26}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{- 3 + 5 17}{26}, u = - \frac{3 + 5 17}{26}

Sustituir en la ecuación

u = cos (θ)

cos (θ) = \frac{- 3 + 5 17}{26}, cos (θ) = - \frac{3 + 5 17}{26}

cos (θ) = \frac{- 3 + 5 17}{26}, cos (θ) = - \frac{3 + 5 17}{26}

cos (θ) = \frac{- 3 + 5 17}{26} : θ = arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{- 3 + 5 17}{26}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (θ) = \frac{- 3 + 5 17}{26}

Soluciones generales para

cos (θ) = \frac{- 3 + 5 17}{26}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{3 + 5 17}{26} : θ = arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{3 + 5 17}{26}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (θ) = - \frac{3 + 5 17}{26}

Soluciones generales para

cos (θ) = - \frac{3 + 5 17}{26}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

θ = arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn, θ = arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

cot (θ) + 3 csc (θ) = 5

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn :

Verdadero

arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 π 1

Multiplicar

cot (θ) + 3 csc (θ) = 5

por

θ = arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 π 1

cot (arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 π 1) + 3 csc (arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 π 1) = 5

Simplificar

5 = 5

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

2 π - arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn :

Falso

2 π - arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

2 π - arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 π 1

Multiplicar

cot (θ) + 3 csc (θ) = 5

por

θ = 2 π - arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 π 1

cot (2 π - arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 π 1) + 3 csc (2 π - arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 π 1) = 5

Simplificar

- 5 = 5

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn :

Verdadero

arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 π 1

Multiplicar

cot (θ) + 3 csc (θ) = 5

por

θ = arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 π 1

cot (arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 π 1) + 3 csc (arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 π 1) = 5

Simplificar

5 = 5

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

- arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn :

Falso

- arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

- arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 π 1

Multiplicar

cot (θ) + 3 csc (θ) = 5

por

θ = - arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 π 1

cot (- arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 π 1) + 3 csc (- arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 π 1) = 5

Simplificar

- 5 = 5

\Rightarrow Falso

θ = arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn, θ = arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

θ = 0.82641 \dots + 2 πn, θ = 2.70997 \dots + 2 πn

Ejemplos populares

2cos^2(θ)-2sin^2(θ)=sqrt(3)

2 cos^{2} (θ) - 2 sin^{2} (θ) = 3

1-|cos(x)|=0

1 - ∣ cos (x) ∣ = 0

sin(θ)=-0.789

sin (θ) = - 0.789

1/2*cos(a)=0

\frac{1}{2} \cdot cos (a) = 0

94.5^2=60^2+50^2+6000cos(θ)

94. 5^{2} = 6 0^{2} + 5 0^{2} + 6000 cos (θ)