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sec(y)+5tan(y)=3cos(y)

Solución

sec (y) + 5 tan (y) = 3 cos (y)

Solución

y = 0.33983 \dots + 2 πn, y = π - 0.33983 \dots + 2 πn

Grados

y = 19.47122 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, y = 160.52877 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

sec (y) + 5 tan (y) = 3 cos (y)

Restar

3 cos (y)

de ambos lados

sec (y) + 5 tan (y) - 3 cos (y) = 0

Expresar con seno, coseno

\frac{1}{cos ( y )} + 5 \cdot \frac{sin ( y )}{cos ( y )} - 3 cos (y) = 0

Simplificar

\frac{1}{cos ( y )} + 5 \cdot \frac{sin ( y )}{cos ( y )} - 3 cos (y) : \frac{1 + 5 sin ( y ) - 3 cos ^{2} ( y )}{cos ( y )}

\frac{1}{cos ( y )} + 5 \cdot \frac{sin ( y )}{cos ( y )} - 3 cos (y)

Multiplicar

5 \cdot \frac{sin ( y )}{cos ( y )} : \frac{5 sin ( y )}{cos ( y )}

5 \cdot \frac{sin ( y )}{cos ( y )}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( y ) \cdot 5}{cos ( y )}

= \frac{1}{cos ( y )} + \frac{5 sin ( y )}{cos ( y )} - 3 cos (y)

Combinar las fracciones usando el mínimo común denominador:

\frac{1 + 5 sin ( y )}{cos ( y )}

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + 5 sin ( y )}{cos ( y )}

= \frac{5 sin ( y ) + 1}{cos ( y )} - 3 cos (y)

Convertir a fracción:

3 cos (y) = \frac{3 cos ( y ) cos ( y )}{cos ( y )}

= \frac{1 + sin ( y ) \cdot 5}{cos ( y )} - \frac{3 cos ( y ) cos ( y )}{cos ( y )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + sin ( y ) \cdot 5 - 3 cos ( y ) cos ( y )}{cos ( y )}

1 + sin (y) \cdot 5 - 3 cos (y) cos (y) = 1 + 5 sin (y) - 3 cos^{2} (y)

1 + sin (y) \cdot 5 - 3 cos (y) cos (y)

3 cos (y) cos (y) = 3 cos^{2} (y)

3 cos (y) cos (y)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (y) cos (y) = cos^{1 + 1} (y)

= 3 cos^{1 + 1} (y)

Sumar:

1 + 1 = 2

= 3 cos^{2} (y)

= 1 + 5 sin (y) - 3 cos^{2} (y)

= \frac{1 + 5 sin ( y ) - 3 cos ^{2} ( y )}{cos ( y )}

\frac{1 + 5 sin ( y ) - 3 cos ^{2} ( y )}{cos ( y )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

1 + 5 sin (y) - 3 cos^{2} (y) = 0

Sumar

3 cos^{2} (y)

a ambos lados

1 + 5 sin (y) = 3 cos^{2} (y)

Elevar al cuadrado ambos lados

(1 + 5 sin (y))^{2} = (3 cos^{2} (y))^{2}

Restar

(3 cos^{2} (y))^{2}

de ambos lados

(1 + 5 sin (y))^{2} - 9 cos^{4} (y) = 0

Factorizar

(1 + 5 sin (y))^{2} - 9 cos^{4} (y) : (1 + 5 sin (y) + 3 cos^{2} (y)) (1 + 5 sin (y) - 3 cos^{2} (y))

(1 + 5 sin (y))^{2} - 9 cos^{4} (y)

Reescribir

(1 + 5 sin (y))^{2} - 9 cos^{4} (y)

como

(1 + 5 sin (y))^{2} - (3 cos^{2} (y))^{2}

(1 + 5 sin (y))^{2} - 9 cos^{4} (y)

Reescribir

9

como

3^{2}

= (1 + 5 sin (y))^{2} - 3^{2} cos^{4} (y)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

cos^{4} (y) = (cos^{2} (y))^{2}

= (1 + 5 sin (y))^{2} - 3^{2} (cos^{2} (y))^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

3^{2} (cos^{2} (y))^{2} = (3 cos^{2} (y))^{2}

= (1 + 5 sin (y))^{2} - (3 cos^{2} (y))^{2}

= (1 + 5 sin (y))^{2} - (3 cos^{2} (y))^{2}

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(1 + 5 sin (y))^{2} - (3 cos^{2} (y))^{2} = ((1 + 5 sin (y)) + 3 cos^{2} (y)) ((1 + 5 sin (y)) - 3 cos^{2} (y))

= ((1 + 5 sin (y)) + 3 cos^{2} (y)) ((1 + 5 sin (y)) - 3 cos^{2} (y))

Simplificar

= (3 cos^{2} (y) + 5 sin (y) + 1) (5 sin (y) - 3 cos^{2} (y) + 1)

(1 + 5 sin (y) + 3 cos^{2} (y)) (1 + 5 sin (y) - 3 cos^{2} (y)) = 0

Resolver cada parte por separado

1 + 5 sin (y) + 3 cos^{2} (y) = 0 or 1 + 5 sin (y) - 3 cos^{2} (y) = 0

1 + 5 sin (y) + 3 cos^{2} (y) = 0 : y = arcsin (- \frac{- 5 + 73}{6}) + 2 πn, y = π + arcsin (\frac{- 5 + 73}{6}) + 2 πn

1 + 5 sin (y) + 3 cos^{2} (y) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

1 + 3 cos^{2} (y) + 5 sin (y)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= 1 + 3 (1 - sin^{2} (y)) + 5 sin (y)

Simplificar

1 + 3 (1 - sin^{2} (y)) + 5 sin (y) : 5 sin (y) - 3 sin^{2} (y) + 4

1 + 3 (1 - sin^{2} (y)) + 5 sin (y)

Expandir

3 (1 - sin^{2} (y)) : 3 - 3 sin^{2} (y)

3 (1 - sin^{2} (y))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 1, c = sin^{2} (y)

= 3 \cdot 1 - 3 sin^{2} (y)

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 1 = 3

= 3 - 3 sin^{2} (y)

= 1 + 3 - 3 sin^{2} (y) + 5 sin (y)

Sumar:

1 + 3 = 4

= 5 sin (y) - 3 sin^{2} (y) + 4

= 5 sin (y) - 3 sin^{2} (y) + 4

4 - 3 sin^{2} (y) + 5 sin (y) = 0

Usando el método de sustitución

4 - 3 sin^{2} (y) + 5 sin (y) = 0

Sea:

sin (y) = u

4 - 3 u^{2} + 5 u = 0

4 - 3 u^{2} + 5 u = 0 : u = - \frac{- 5 + 73}{6}, u = \frac{5 + 73}{6}

4 - 3 u^{2} + 5 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 3 u^{2} + 5 u + 4 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 3 u^{2} + 5 u + 4 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 3, b = 5, c = 4

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 5 ^{2} - 4 ( - 3 ) \cdot 4}{2 ( - 3 )}

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 5 ^{2} - 4 ( - 3 ) \cdot 4}{2 ( - 3 )}

5^{2} - 4 (- 3) \cdot 4 = 73

5^{2} - 4 (- 3) \cdot 4

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 5^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 4

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 3 \cdot 4 = 48

= 5^{2} + 48

5^{2} = 25

= 25 + 48

Sumar:

25 + 48 = 73

= 73

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 73}{2 ( - 3 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 5 + 73}{2 ( - 3 )}, u_{2} = \frac{- 5 - 73}{2 ( - 3 )}

u = \frac{- 5 + 73}{2 ( - 3 )} : - \frac{- 5 + 73}{6}

\frac{- 5 + 73}{2 ( - 3 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 5 + 73}{- 2 \cdot 3}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 5 + 73}{- 6}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 5 + 73}{6}

u = \frac{- 5 - 73}{2 ( - 3 )} : \frac{5 + 73}{6}

\frac{- 5 - 73}{2 ( - 3 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 5 - 73}{- 2 \cdot 3}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 5 - 73}{- 6}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 5 - 73 = - (5 + 73)

= \frac{5 + 73}{6}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - \frac{- 5 + 73}{6}, u = \frac{5 + 73}{6}

Sustituir en la ecuación

u = sin (y)

sin (y) = - \frac{- 5 + 73}{6}, sin (y) = \frac{5 + 73}{6}

sin (y) = - \frac{- 5 + 73}{6}, sin (y) = \frac{5 + 73}{6}

sin (y) = - \frac{- 5 + 73}{6} : y = arcsin (- \frac{- 5 + 73}{6}) + 2 πn, y = π + arcsin (\frac{- 5 + 73}{6}) + 2 πn

sin (y) = - \frac{- 5 + 73}{6}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sin (y) = - \frac{- 5 + 73}{6}

Soluciones generales para

sin (y) = - \frac{- 5 + 73}{6}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

y = arcsin (- \frac{- 5 + 73}{6}) + 2 πn, y = π + arcsin (\frac{- 5 + 73}{6}) + 2 πn

y = arcsin (- \frac{- 5 + 73}{6}) + 2 πn, y = π + arcsin (\frac{- 5 + 73}{6}) + 2 πn

sin (y) = \frac{5 + 73}{6} :

Sin solución

sin (y) = \frac{5 + 73}{6}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

y = arcsin (- \frac{- 5 + 73}{6}) + 2 πn, y = π + arcsin (\frac{- 5 + 73}{6}) + 2 πn

1 + 5 sin (y) - 3 cos^{2} (y) = 0 : y = arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn, y = π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

1 + 5 sin (y) - 3 cos^{2} (y) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

1 - 3 cos^{2} (y) + 5 sin (y)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= 1 - 3 (1 - sin^{2} (y)) + 5 sin (y)

Simplificar

1 - 3 (1 - sin^{2} (y)) + 5 sin (y) : 3 sin^{2} (y) + 5 sin (y) - 2

1 - 3 (1 - sin^{2} (y)) + 5 sin (y)

Expandir

- 3 (1 - sin^{2} (y)) : - 3 + 3 sin^{2} (y)

- 3 (1 - sin^{2} (y))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - 3, b = 1, c = sin^{2} (y)

= - 3 \cdot 1 - (- 3) sin^{2} (y)

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a

= - 3 \cdot 1 + 3 sin^{2} (y)

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 1 = 3

= - 3 + 3 sin^{2} (y)

= 1 - 3 + 3 sin^{2} (y) + 5 sin (y)

Restar:

1 - 3 = - 2

= 3 sin^{2} (y) + 5 sin (y) - 2

= 3 sin^{2} (y) + 5 sin (y) - 2

- 2 + 3 sin^{2} (y) + 5 sin (y) = 0

Usando el método de sustitución

- 2 + 3 sin^{2} (y) + 5 sin (y) = 0

Sea:

sin (y) = u

- 2 + 3 u^{2} + 5 u = 0

- 2 + 3 u^{2} + 5 u = 0 : u = \frac{1}{3}, u = - 2

- 2 + 3 u^{2} + 5 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

3 u^{2} + 5 u - 2 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

3 u^{2} + 5 u - 2 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 3, b = 5, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 5 ^{2} - 4 \cdot 3 ( - 2 )}{2 \cdot 3}

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 5 ^{2} - 4 \cdot 3 ( - 2 )}{2 \cdot 3}

5^{2} - 4 \cdot 3 (- 2) = 7

5^{2} - 4 \cdot 3 (- 2)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 5^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 3 \cdot 2 = 24

= 5^{2} + 24

5^{2} = 25

= 25 + 24

Sumar:

25 + 24 = 49

= 49

Descomponer el número en factores primos:

49 = 7^{2}

= 7^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

7^{2} = 7

= 7

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 7}{2 \cdot 3}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 5 + 7}{2 \cdot 3}, u_{2} = \frac{- 5 - 7}{2 \cdot 3}

u = \frac{- 5 + 7}{2 \cdot 3} : \frac{1}{3}

\frac{- 5 + 7}{2 \cdot 3}

Sumar/restar lo siguiente:

- 5 + 7 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 3}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{2}{6}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{1}{3}

u = \frac{- 5 - 7}{2 \cdot 3} : - 2

\frac{- 5 - 7}{2 \cdot 3}

Restar:

- 5 - 7 = - 12

= \frac{- 12}{2 \cdot 3}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 12}{6}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{12}{6}

Dividir:

\frac{12}{6} = 2

= - 2

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{1}{3}, u = - 2

Sustituir en la ecuación

u = sin (y)

sin (y) = \frac{1}{3}, sin (y) = - 2

sin (y) = \frac{1}{3}, sin (y) = - 2

sin (y) = \frac{1}{3} : y = arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn, y = π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

sin (y) = \frac{1}{3}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sin (y) = \frac{1}{3}

Soluciones generales para

sin (y) = \frac{1}{3}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

y = arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn, y = π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

y = arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn, y = π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

sin (y) = - 2 :

Sin solución

sin (y) = - 2

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

y = arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn, y = π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

y = arcsin (- \frac{- 5 + 73}{6}) + 2 πn, y = π + arcsin (\frac{- 5 + 73}{6}) + 2 πn, y = arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn, y = π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

sec (y) + 5 tan (y) = 3 cos (y)

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

arcsin (- \frac{- 5 + 73}{6}) + 2 πn :

Falso

arcsin (- \frac{- 5 + 73}{6}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arcsin (- \frac{- 5 + 73}{6}) + 2 π 1

Multiplicar

sec (y) + 5 tan (y) = 3 cos (y)

por

y = arcsin (- \frac{- 5 + 73}{6}) + 2 π 1

sec (arcsin (- \frac{- 5 + 73}{6}) + 2 π 1) + 5 tan (arcsin (- \frac{- 5 + 73}{6}) + 2 π 1) = 3 cos (arcsin (- \frac{- 5 + 73}{6}) + 2 π 1)

Simplificar

- 2.42074 \dots = 2.42074 \dots

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

π + arcsin (\frac{- 5 + 73}{6}) + 2 πn :

Falso

π + arcsin (\frac{- 5 + 73}{6}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

π + arcsin (\frac{- 5 + 73}{6}) + 2 π 1

Multiplicar

sec (y) + 5 tan (y) = 3 cos (y)

por

y = π + arcsin (\frac{- 5 + 73}{6}) + 2 π 1

sec (π + arcsin (\frac{- 5 + 73}{6}) + 2 π 1) + 5 tan (π + arcsin (\frac{- 5 + 73}{6}) + 2 π 1) = 3 cos (π + arcsin (\frac{- 5 + 73}{6}) + 2 π 1)

Simplificar

2.42074 \dots = - 2.42074 \dots

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn :

Verdadero

arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arcsin (\frac{1}{3}) + 2 π 1

Multiplicar

sec (y) + 5 tan (y) = 3 cos (y)

por

y = arcsin (\frac{1}{3}) + 2 π 1

sec (arcsin (\frac{1}{3}) + 2 π 1) + 5 tan (arcsin (\frac{1}{3}) + 2 π 1) = 3 cos (arcsin (\frac{1}{3}) + 2 π 1)

Simplificar

2.82842 \dots = 2.82842 \dots

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn :

Verdadero

π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 π 1

Multiplicar

sec (y) + 5 tan (y) = 3 cos (y)

por

y = π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 π 1

sec (π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 π 1) + 5 tan (π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 π 1) = 3 cos (π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 π 1)

Simplificar

- 2.82842 \dots = - 2.82842 \dots

\Rightarrow Verdadero

y = arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn, y = π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

y = 0.33983 \dots + 2 πn, y = π - 0.33983 \dots + 2 πn

Ejemplos populares

-2sinh(t-2)=0

- 2 sinh (t - 2) = 0

cos(x)sin(x)+2cos^2(x)=0

cos (x) sin (x) + 2 cos^{2} (x) = 0

tan(x)= 130/45

tan (x) = \frac{130}{45}

csc(pi/(42)x)=1

csc (\frac{π}{42} x) = 1

arctan(4-2x)=arctan(2x)

arctan (4 - 2 x) = arctan (2 x)