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Popular >

8sin(θ)+15cos(θ)=14

Solución

8 sin (θ) + 15 cos (θ) = 14

Solución

θ = 1.09314 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 0.11323 \dots + 2 πn

Grados

θ = 62.63280 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 353.51216 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

8 sin (θ) + 15 cos (θ) = 14

Restar

15 cos (θ)

de ambos lados

8 sin (θ) = 14 - 15 cos (θ)

Elevar al cuadrado ambos lados

(8 sin (θ))^{2} = (14 - 15 cos (θ))^{2}

Restar

(14 - 15 cos (θ))^{2}

de ambos lados

64 sin^{2} (θ) - 196 + 420 cos (θ) - 225 cos^{2} (θ) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 196 - 225 cos^{2} (θ) + 420 cos (θ) + 64 sin^{2} (θ)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 196 - 225 cos^{2} (θ) + 420 cos (θ) + 64 (1 - cos^{2} (θ))

Simplificar

- 196 - 225 cos^{2} (θ) + 420 cos (θ) + 64 (1 - cos^{2} (θ)) : 420 cos (θ) - 289 cos^{2} (θ) - 132

- 196 - 225 cos^{2} (θ) + 420 cos (θ) + 64 (1 - cos^{2} (θ))

Expandir

64 (1 - cos^{2} (θ)) : 64 - 64 cos^{2} (θ)

64 (1 - cos^{2} (θ))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 64, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= 64 \cdot 1 - 64 cos^{2} (θ)

Multiplicar los numeros:

64 \cdot 1 = 64

= 64 - 64 cos^{2} (θ)

= - 196 - 225 cos^{2} (θ) + 420 cos (θ) + 64 - 64 cos^{2} (θ)

Simplificar

- 196 - 225 cos^{2} (θ) + 420 cos (θ) + 64 - 64 cos^{2} (θ) : 420 cos (θ) - 289 cos^{2} (θ) - 132

- 196 - 225 cos^{2} (θ) + 420 cos (θ) + 64 - 64 cos^{2} (θ)

Agrupar términos semejantes

= - 225 cos^{2} (θ) + 420 cos (θ) - 64 cos^{2} (θ) - 196 + 64

Sumar elementos similares:

- 225 cos^{2} (θ) - 64 cos^{2} (θ) = - 289 cos^{2} (θ)

= - 289 cos^{2} (θ) + 420 cos (θ) - 196 + 64

Sumar/restar lo siguiente:

- 196 + 64 = - 132

= 420 cos (θ) - 289 cos^{2} (θ) - 132

= 420 cos (θ) - 289 cos^{2} (θ) - 132

= 420 cos (θ) - 289 cos^{2} (θ) - 132

- 132 - 289 cos^{2} (θ) + 420 cos (θ) = 0

Usando el método de sustitución

- 132 - 289 cos^{2} (θ) + 420 cos (θ) = 0

Sea:

cos (θ) = u

- 132 - 289 u^{2} + 420 u = 0

- 132 - 289 u^{2} + 420 u = 0 : u = \frac{2 ( 105 - 4 93 )}{289}, u = \frac{2 ( 105 + 4 93 )}{289}

- 132 - 289 u^{2} + 420 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 289 u^{2} + 420 u - 132 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 289 u^{2} + 420 u - 132 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 289, b = 420, c = - 132

u_{1, 2} = \frac{- 420 \pm 42 0 ^{2} - 4 ( - 289 ) ( - 132 )}{2 ( - 289 )}

u_{1, 2} = \frac{- 420 \pm 42 0 ^{2} - 4 ( - 289 ) ( - 132 )}{2 ( - 289 )}

42 0^{2} - 4 (- 289) (- 132) = 1693

42 0^{2} - 4 (- 289) (- 132)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 42 0^{2} - 4 \cdot 289 \cdot 132

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 289 \cdot 132 = 152592

= 42 0^{2} - 152592

42 0^{2} = 176400

= 176400 - 152592

Restar:

176400 - 152592 = 23808

= 23808

Descomposición en factores primos de

23808 : 2^{8} \cdot 3 \cdot 31

23808

23808

divida por

223808 = 11904 \cdot 2

= 2 \cdot 11904

11904

divida por

211904 = 5952 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 5952

5952

divida por

25952 = 2976 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2976

2976

divida por

22976 = 1488 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1488

1488

divida por

21488 = 744 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 744

744

divida por

2744 = 372 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 372

372

divida por

2372 = 186 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 186

186

divida por

2186 = 93 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 93

93

divida por

393 = 31 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 31

2, 3, 31

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 31

= 2^{8} \cdot 3 \cdot 31

= 2^{8} \cdot 3 \cdot 31

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 2^{8} 3 \cdot 31

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{8} = 2^{\frac{8}{2}} = 2^{4}

= 2^{4} 3 \cdot 31

Simplificar

= 1693

u_{1, 2} = \frac{- 420 \pm 16 93}{2 ( - 289 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 420 + 16 93}{2 ( - 289 )}, u_{2} = \frac{- 420 - 16 93}{2 ( - 289 )}

u = \frac{- 420 + 16 93}{2 ( - 289 )} : \frac{2 ( 105 - 4 93 )}{289}

\frac{- 420 + 16 93}{2 ( - 289 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 420 + 16 93}{- 2 \cdot 289}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 289 = 578

= \frac{- 420 + 16 93}{- 578}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 420 + 1693 = - (420 - 1693)

= \frac{420 - 16 93}{578}

Factorizar

420 - 1693 : 4 (105 - 493)

420 - 1693

Reescribir como

= 4 \cdot 105 - 4 \cdot 493

Factorizar el termino común

4

= 4 (105 - 493)

= \frac{4 ( 105 - 4 93 )}{578}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{2 ( 105 - 4 93 )}{289}

u = \frac{- 420 - 16 93}{2 ( - 289 )} : \frac{2 ( 105 + 4 93 )}{289}

\frac{- 420 - 16 93}{2 ( - 289 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 420 - 16 93}{- 2 \cdot 289}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 289 = 578

= \frac{- 420 - 16 93}{- 578}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 420 - 1693 = - (420 + 1693)

= \frac{420 + 16 93}{578}

Factorizar

420 + 1693 : 4 (105 + 493)

420 + 1693

Reescribir como

= 4 \cdot 105 + 4 \cdot 493

Factorizar el termino común

4

= 4 (105 + 493)

= \frac{4 ( 105 + 4 93 )}{578}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{2 ( 105 + 4 93 )}{289}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{2 ( 105 - 4 93 )}{289}, u = \frac{2 ( 105 + 4 93 )}{289}

Sustituir en la ecuación

u = cos (θ)

cos (θ) = \frac{2 ( 105 - 4 93 )}{289}, cos (θ) = \frac{2 ( 105 + 4 93 )}{289}

cos (θ) = \frac{2 ( 105 - 4 93 )}{289}, cos (θ) = \frac{2 ( 105 + 4 93 )}{289}

cos (θ) = \frac{2 ( 105 - 4 93 )}{289} : θ = arccos (\frac{2 ( 105 - 4 93 )}{289}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2 ( 105 - 4 93 )}{289}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{2 ( 105 - 4 93 )}{289}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (θ) = \frac{2 ( 105 - 4 93 )}{289}

Soluciones generales para

cos (θ) = \frac{2 ( 105 - 4 93 )}{289}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{2 ( 105 - 4 93 )}{289}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2 ( 105 - 4 93 )}{289}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{2 ( 105 - 4 93 )}{289}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2 ( 105 - 4 93 )}{289}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{2 ( 105 + 4 93 )}{289} : θ = arccos (\frac{2 ( 105 + 4 93 )}{289}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2 ( 105 + 4 93 )}{289}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{2 ( 105 + 4 93 )}{289}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (θ) = \frac{2 ( 105 + 4 93 )}{289}

Soluciones generales para

cos (θ) = \frac{2 ( 105 + 4 93 )}{289}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{2 ( 105 + 4 93 )}{289}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2 ( 105 + 4 93 )}{289}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{2 ( 105 + 4 93 )}{289}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2 ( 105 + 4 93 )}{289}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

θ = arccos (\frac{2 ( 105 - 4 93 )}{289}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2 ( 105 - 4 93 )}{289}) + 2 πn, θ = arccos (\frac{2 ( 105 + 4 93 )}{289}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2 ( 105 + 4 93 )}{289}) + 2 πn

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

8 sin (θ) + 15 cos (θ) = 14

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

arccos (\frac{2 ( 105 - 4 93 )}{289}) + 2 πn :

Verdadero

arccos (\frac{2 ( 105 - 4 93 )}{289}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arccos (\frac{2 ( 105 - 4 93 )}{289}) + 2 π 1

Multiplicar

8 sin (θ) + 15 cos (θ) = 14

por

θ = arccos (\frac{2 ( 105 - 4 93 )}{289}) + 2 π 1

8 sin (arccos (\frac{2 ( 105 - 4 93 )}{289}) + 2 π 1) + 15 cos (arccos (\frac{2 ( 105 - 4 93 )}{289}) + 2 π 1) = 14

Simplificar

14 = 14

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

2 π - arccos (\frac{2 ( 105 - 4 93 )}{289}) + 2 πn :

Falso

2 π - arccos (\frac{2 ( 105 - 4 93 )}{289}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

2 π - arccos (\frac{2 ( 105 - 4 93 )}{289}) + 2 π 1

Multiplicar

8 sin (θ) + 15 cos (θ) = 14

por

θ = 2 π - arccos (\frac{2 ( 105 - 4 93 )}{289}) + 2 π 1

8 sin (2 π - arccos (\frac{2 ( 105 - 4 93 )}{289}) + 2 π 1) + 15 cos (2 π - arccos (\frac{2 ( 105 - 4 93 )}{289}) + 2 π 1) = 14

Simplificar

- 0.20926 \dots = 14

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

arccos (\frac{2 ( 105 + 4 93 )}{289}) + 2 πn :

Falso

arccos (\frac{2 ( 105 + 4 93 )}{289}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arccos (\frac{2 ( 105 + 4 93 )}{289}) + 2 π 1

Multiplicar

8 sin (θ) + 15 cos (θ) = 14

por

θ = arccos (\frac{2 ( 105 + 4 93 )}{289}) + 2 π 1

8 sin (arccos (\frac{2 ( 105 + 4 93 )}{289}) + 2 π 1) + 15 cos (arccos (\frac{2 ( 105 + 4 93 )}{289}) + 2 π 1) = 14

Simplificar

15.80787 \dots = 14

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

2 π - arccos (\frac{2 ( 105 + 4 93 )}{289}) + 2 πn :

Verdadero

2 π - arccos (\frac{2 ( 105 + 4 93 )}{289}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

2 π - arccos (\frac{2 ( 105 + 4 93 )}{289}) + 2 π 1

Multiplicar

8 sin (θ) + 15 cos (θ) = 14

por

θ = 2 π - arccos (\frac{2 ( 105 + 4 93 )}{289}) + 2 π 1

8 sin (2 π - arccos (\frac{2 ( 105 + 4 93 )}{289}) + 2 π 1) + 15 cos (2 π - arccos (\frac{2 ( 105 + 4 93 )}{289}) + 2 π 1) = 14

Simplificar

14 = 14

\Rightarrow Verdadero

θ = arccos (\frac{2 ( 105 - 4 93 )}{289}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2 ( 105 + 4 93 )}{289}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

θ = 1.09314 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 0.11323 \dots + 2 πn

Ejemplos populares

cos(x-1)=0

cos (x - 1) = 0

2sin(t)+3cos(t)=0

2 sin (t) + 3 cos (t) = 0

tan(θ)=(-11/3-(-4/3))/(1+(-4/3)(-11/3))

tan (θ) = \frac{- \frac{11}{3} - ( - \frac{4}{3} )}{1 + ( - \frac{4}{3} ) ( - \frac{11}{3} )}

csc(2x)=2,x0<x<360

csc (2 x) = 2, x 0^{\circ} < x < 36 0^{\circ}

tan(x)= 6/7

tan (x) = \frac{6}{7}