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Popular >

(tan(x)-sec(x))^2=3

Solución

(tan (x) - sec (x))^{2} = 3

Solución

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Grados

x = 21 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 33 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

(tan (x) - sec (x))^{2} = 3

Restar

3

de ambos lados

(tan (x) - sec (x))^{2} - 3 = 0

Expresar con seno, coseno

(\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{1}{cos ( x )})^{2} - 3 = 0

Simplificar

(\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{1}{cos ( x )})^{2} - 3 : \frac{( sin ( x ) - 1 ) ^{2} - 3 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{1}{cos ( x )})^{2} - 3

Combinar las fracciones usando el mínimo común denominador:

\frac{sin ( x ) - 1}{cos ( x )}

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( x ) - 1}{cos ( x )}

= (\frac{sin ( x ) - 1}{cos ( x )})^{2} - 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{( sin ( x ) - 1 ) ^{2}}{cos ^{2} ( x )} - 3

Convertir a fracción:

3 = \frac{3 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{( sin ( x ) - 1 ) ^{2}}{cos ^{2} ( x )} - \frac{3 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{( sin ( x ) - 1 ) ^{2} - 3 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

\frac{( sin ( x ) - 1 ) ^{2} - 3 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

(sin (x) - 1)^{2} - 3 cos^{2} (x) = 0

Sumar

3 cos^{2} (x)

a ambos lados

sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1 = 3 cos^{2} (x)

Elevar al cuadrado ambos lados

(sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1)^{2} = (3 cos^{2} (x))^{2}

Restar

(3 cos^{2} (x))^{2}

de ambos lados

(sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1)^{2} - 9 cos^{4} (x) = 0

Factorizar

(sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1)^{2} - 9 cos^{4} (x) : (sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1 + 3 cos^{2} (x)) (sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1 - 3 cos^{2} (x))

(sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1)^{2} - 9 cos^{4} (x)

Reescribir

(sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1)^{2} - 9 cos^{4} (x)

como

(sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1)^{2} - (3 cos^{2} (x))^{2}

(sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1)^{2} - 9 cos^{4} (x)

Reescribir

9

como

3^{2}

= (sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1)^{2} - 3^{2} cos^{4} (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

cos^{4} (x) = (cos^{2} (x))^{2}

= (sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1)^{2} - 3^{2} (cos^{2} (x))^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

3^{2} (cos^{2} (x))^{2} = (3 cos^{2} (x))^{2}

= (sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1)^{2} - (3 cos^{2} (x))^{2}

= (sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1)^{2} - (3 cos^{2} (x))^{2}

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1)^{2} - (3 cos^{2} (x))^{2} = ((sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1) + 3 cos^{2} (x)) ((sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1) - 3 cos^{2} (x))

= ((sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1) + 3 cos^{2} (x)) ((sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1) - 3 cos^{2} (x))

Simplificar

= (sin^{2} (x) + 3 cos^{2} (x) - 2 sin (x) + 1) (sin^{2} (x) - 3 cos^{2} (x) - 2 sin (x) + 1)

(sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1 + 3 cos^{2} (x)) (sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1 - 3 cos^{2} (x)) = 0

Resolver cada parte por separado

sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1 + 3 cos^{2} (x) = 0 or sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1 - 3 cos^{2} (x) = 0

sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1 + 3 cos^{2} (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1 + 3 cos^{2} (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

1 + sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 3 cos^{2} (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= 1 + sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 3 (1 - sin^{2} (x))

Simplificar

1 + sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 3 (1 - sin^{2} (x)) : - 2 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 4

1 + sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 3 (1 - sin^{2} (x))

Expandir

3 (1 - sin^{2} (x)) : 3 - 3 sin^{2} (x)

3 (1 - sin^{2} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 3 \cdot 1 - 3 sin^{2} (x)

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 1 = 3

= 3 - 3 sin^{2} (x)

= 1 + sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 3 - 3 sin^{2} (x)

Simplificar

1 + sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 3 - 3 sin^{2} (x) : - 2 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 4

1 + sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 3 - 3 sin^{2} (x)

Agrupar términos semejantes

= sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 3 sin^{2} (x) + 1 + 3

Sumar elementos similares:

sin^{2} (x) - 3 sin^{2} (x) = - 2 sin^{2} (x)

= - 2 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1 + 3

Sumar:

1 + 3 = 4

= - 2 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 4

= - 2 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 4

= - 2 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 4

4 - 2 sin (x) - 2 sin^{2} (x) = 0

Usando el método de sustitución

4 - 2 sin (x) - 2 sin^{2} (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

4 - 2 u - 2 u^{2} = 0

4 - 2 u - 2 u^{2} = 0 : u = - 2, u = 1

4 - 2 u - 2 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} - 2 u + 4 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 2 u^{2} - 2 u + 4 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 2, b = - 2, c = 4

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 4}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 4}{2 ( - 2 )}

(- 2)^{2} - 4 (- 2) \cdot 4 = 6

(- 2)^{2} - 4 (- 2) \cdot 4

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 4

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 4

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 2 \cdot 4 = 32

= 2^{2} + 32

2^{2} = 4

= 4 + 32

Sumar:

4 + 32 = 36

= 36

Descomponer el número en factores primos:

36 = 6^{2}

= 6^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

6^{2} = 6

= 6

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 6}{2 ( - 2 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 6}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 6}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- ( - 2 ) + 6}{2 ( - 2 )} : - 2

\frac{- ( - 2 ) + 6}{2 ( - 2 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 + 6}{- 2 \cdot 2}

Sumar:

2 + 6 = 8

= \frac{8}{- 2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{8}{- 4}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{4}

Dividir:

\frac{8}{4} = 2

= - 2

u = \frac{- ( - 2 ) - 6}{2 ( - 2 )} : 1

\frac{- ( - 2 ) - 6}{2 ( - 2 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 - 6}{- 2 \cdot 2}

Restar:

2 - 6 = - 4

= \frac{- 4}{- 2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 4}{- 4}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{4}{4}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= 1

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - 2, u = 1

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) = - 2, sin (x) = 1

sin (x) = - 2, sin (x) = 1

sin (x) = - 2 :

Sin solución

sin (x) = - 2

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

sin (x) = 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1

Soluciones generales para

sin (x) = 1

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1 - 3 cos^{2} (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1 - 3 cos^{2} (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

1 + sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 3 cos^{2} (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= 1 + sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 3 (1 - sin^{2} (x))

Simplificar

1 + sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 3 (1 - sin^{2} (x)) : 4 sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 2

1 + sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 3 (1 - sin^{2} (x))

Expandir

- 3 (1 - sin^{2} (x)) : - 3 + 3 sin^{2} (x)

- 3 (1 - sin^{2} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - 3, b = 1, c = sin^{2} (x)

= - 3 \cdot 1 - (- 3) sin^{2} (x)

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a

= - 3 \cdot 1 + 3 sin^{2} (x)

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 1 = 3

= - 3 + 3 sin^{2} (x)

= 1 + sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 3 + 3 sin^{2} (x)

Simplificar

1 + sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 3 + 3 sin^{2} (x) : 4 sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 2

1 + sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 3 + 3 sin^{2} (x)

Agrupar términos semejantes

= sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 3 sin^{2} (x) + 1 - 3

Sumar elementos similares:

sin^{2} (x) + 3 sin^{2} (x) = 4 sin^{2} (x)

= 4 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1 - 3

Sumar/restar lo siguiente:

1 - 3 = - 2

= 4 sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 2

= 4 sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 2

= 4 sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 2

- 2 - 2 sin (x) + 4 sin^{2} (x) = 0

Usando el método de sustitución

- 2 - 2 sin (x) + 4 sin^{2} (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

- 2 - 2 u + 4 u^{2} = 0

- 2 - 2 u + 4 u^{2} = 0 : u = 1, u = - \frac{1}{2}

- 2 - 2 u + 4 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

4 u^{2} - 2 u - 2 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

4 u^{2} - 2 u - 2 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 4, b = - 2, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 2 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 2 )}{2 \cdot 4}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 4 (- 2) = 6

(- 2)^{2} - 4 \cdot 4 (- 2)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 4 \cdot 2 = 32

= 2^{2} + 32

2^{2} = 4

= 4 + 32

Sumar:

4 + 32 = 36

= 36

Descomponer el número en factores primos:

36 = 6^{2}

= 6^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

6^{2} = 6

= 6

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 6}{2 \cdot 4}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 6}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 6}{2 \cdot 4}

u = \frac{- ( - 2 ) + 6}{2 \cdot 4} : 1

\frac{- ( - 2 ) + 6}{2 \cdot 4}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{2 + 6}{2 \cdot 4}

Sumar:

2 + 6 = 8

= \frac{8}{2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{8}{8}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 2 ) - 6}{2 \cdot 4} : - \frac{1}{2}

\frac{- ( - 2 ) - 6}{2 \cdot 4}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{2 - 6}{2 \cdot 4}

Restar:

2 - 6 = - 4

= \frac{- 4}{2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 4}{8}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{8}

Eliminar los terminos comunes:

4

= - \frac{1}{2}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = 1, u = - \frac{1}{2}

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) = 1, sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x) = 1, sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x) = 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1

Soluciones generales para

sin (x) = 1

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{2}

Soluciones generales para

sin (x) = - \frac{1}{2}

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

(tan (x) - sec (x))^{2} = 3

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

\frac{π}{2} + 2 πn :

Falso

\frac{π}{2} + 2 πn

Sustituir

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

Multiplicar

(tan (x) - sec (x))^{2} = 3

por

x = \frac{π}{2} + 2 π 1

(tan (\frac{π}{2} + 2 π 1) - sec (\frac{π}{2} + 2 π 1))^{2} = 3

Sin definir

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

\frac{7 π}{6} + 2 πn :

Verdadero

\frac{7 π}{6} + 2 πn

Sustituir

n = 1

\frac{7 π}{6} + 2 π 1

Multiplicar

(tan (x) - sec (x))^{2} = 3

por

x = \frac{7 π}{6} + 2 π 1

(tan (\frac{7 π}{6} + 2 π 1) - sec (\frac{7 π}{6} + 2 π 1))^{2} = 3

Simplificar

3 = 3

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

\frac{11 π}{6} + 2 πn :

Verdadero

\frac{11 π}{6} + 2 πn

Sustituir

n = 1

\frac{11 π}{6} + 2 π 1

Multiplicar

(tan (x) - sec (x))^{2} = 3

por

x = \frac{11 π}{6} + 2 π 1

(tan (\frac{11 π}{6} + 2 π 1) - sec (\frac{11 π}{6} + 2 π 1))^{2} = 3

Simplificar

3 = 3

\Rightarrow Verdadero

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Ejemplos populares

solvefor y,ln(x^2+10)+csc(y)=c resolver para

y, ln (x^{2} + 10) + csc (y) = c

sin(a)= 7/15

sin (a) = \frac{7}{15}

(3sqrt(3))/(14)=sin(x)

\frac{3 3}{14} = sin (x)

6cos(x)=2+2cos(x)

6 cos (x) = 2 + 2 cos (x)

cosh(z)=1,cosh(z)=-2

cosh (z) = 1, cosh (z) = - 2